广东省2022年专升本《高等数学》真题解析

广东省2022年普通高等学校专升本招生考试高等数学本试卷共20小题，满分100分。考试时间120分钟。得分阅卷人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，每小题只有一项符合题目要求）x1,x1f()x在x1处连续，则常数a（）1.若函数a,x1，A.-1B.0C.1D.212.lim(13)x（）xx0eA.313eD.3B.C.1elimu0u收敛的（）是级数3.nnx0n1A.充分条件C.充要条件B.必要条件1D.即非充也非公必要条件+1f()xdx4.已知x是函数f()x的一个原函数，则（）21A.2B.1C.-1D.-2110x5.将二次积分Idxf(x)dy化为极坐标形成的二次积分，则I（）y22secccsdf(p)dpdpf(p2)dp442B.00A.002022第1页共3页22seccscpf(p2)dpdf(p2)dpdB.D.0404得分阅卷人二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若x0时，无穷小量2x与3x2mx等价，则常数m=x5ttdy27.设,则ylogtdxt22xy228.椭圆1x所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体体积为43exy'29.微分方程的通解是10.函数Zxlny在点(,)ee处的全微分dz(,)ee三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）d2y求2得分阅卷人12.设y=artan,cxdxx121xxsin,x02，利用导数定义f(0).13.设函数0,x02x23x14.求不定积分x1xdx.22022第2页共3页tanxdxlncosxC15.已知，求定积分xse2xcdx40.zz.16.设Zf(,)xy是由方程Z2xye2z所确定的隐函数，计算yxy和曲线y0,cosxd,Dysinx(0x)其中是曲线217.计算二重积分Dx2围成的有界闭区域。n3(18.判断级数)的敛散性。32nnn1得分阅卷人四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）119.设函数f()x2xlnxx2x（1）求曲线yf()x的拐点；（2）讨论曲线yf()x上是否存在经过坐标原点的切线。20.设函数f()x连续−=;（1）证明（2）若00=3+1+−−，求.满足002022第3页共3页广东省2022年普通高等学校专升本招生考试一、单项选择题1.【答案】Df(1),limaf()xlim(x1)2,lim()fxf(x)，若函数【解析】0x1x1x1所以a2.则lim()fx2f(1),ax12.【答案】A3lim(31))xe313x11lim(13)xlim(1(3))x3x3x【解析】x0x0x03.【答案】B【解析】级数收敛，一般项趋于零；一般项趋于零，级数不一定收敛；一般项趋于零是级数收敛的必要条件，非充分条件。4.【答案】Cf()xdx1lim11【解析】112x1x12x5.【答案】D【解析】作出积分区域1r1cscsinsin,r由图可知，11。1[,]y421[0,][0,csc]sin已知的积分区域为，的积分区域为，即，故I1dx1f(x2y2)dy2dcosf((cosr)2(sinr))rdr240x0dcscr(fr2)dr240二、填空题6.【答案】23xMx23MMlimx为等价无穷，所以M2.lim,lim1又222x0【解析】2xx017.【答案】2ln2dy1dxdy1dydydttln2【解析】dt52,tdttln2,所以dxdx52tdx,t2dt11tln21.542ln2ln48.【答案】8x2x22V22dx213(1)y3(1)dx402ydy442【解析】000222x323(1)dx2(33x2)dx2(3x)2(62)8x20044409.【答案】y2exCdyxdxdydy2ex,ey'e2,化简得对等式两边积分得2e,xx【解析】dxdx得y2exC,即方式通解为y=2exCdxdy10.【答案】zzdzdxdyy【解析】xzlnyx,xln,x故dz(lnyx)dx(xlnylnx1)d,ln1yez法一：lny1lny1lnyxyydz(,)ee(lnee)dx(elnelne1)dydxd.yln1eeZxe法二：lnlnyxlnyz1z11elnlnyxlny,elnx,dz(elny)dxlnlnyxlnlnyxxxyyx(,)ee1(elnx)dydxd.yyxlnlny三、计算题3x6x93(x3)(x1)x3lim22lim11.【答案】原式3x3lim2x13(x1)(x1)x1x1x112x由题y'=2x1x1x442(1x)26x44y''12.【答案】(1x)(1x)4242d2yy''1x1dx2x113.【答案】根据导数定义得1xsin2x2f(x0)f(0)1lim(sin2)2x2xxf'(0)limlimxxx0x0x014.【答案】原式=2x3dx2d(1x2)3dx21x23arcsinxC11x221x21x24015.【答案】xse2xcdx40xdtanx40xtaxn4tanxdx0lncoxs4402ln24142ln216.【答案】对方程F(,,)xyz2xy2ezz0,有F'2,'F2yez,xyzF'所以2ye1ye12,F'ye1,z2zxxF'2z2zzF'z2yezye1ye12yezyF'y2z2zzzzyye1y(ye1ye1ye122yez22ye2z2故y)x2z2z2z2z17.【答案】由题可知，区域D为下图xddxsinxcosxdycos620所以0Dsinxdx20dxcosyx020sinxcosxdx2sin2x2012n18.【答案】由题意知为正项级数3nn1ann131n1n3a令n3limlimn1，n1an3nxnn根据正项级数比值审敛法，是收敛的。3nn13而为等比级数，公比12q1，也收敛。2nn1n3(故由级数的线性性质可知级数)是收敛的。32nnn1四、综合题19.【答案】f()x(0,)定义域为（1）由的111f()x2ln2x12lnxx2x22(x21)22f()xxx3x3x10x1,x1（舍掉）令f()x02，即12f()x0代入原式，故曲线yf()x(1,0)拐点为(x,y)（2）由于定义域为，设是曲线的切线，切点为00f()x(0,)ykxyf()x1x2xlnxx2kx00000根据题意，可列出方程组1x2lnx1k0011xxk消去，可得00此方程无实数解，故不存在经过原点的切线。xtutxudtdu20.【答案】（1）证令，则，txt0ux令，，xf(xt)dt0f()uduxf()uduxftdt()x00故0故原命题成立fxxxt()ftdtxxftdt()31()（2）由（1）知①②00两边求导得f()x3x()fx