快速数字仿真算法

快速数字仿真算法第1页，共42页，2023年，2月20日，星期四

对于一般的数值积分法和按环节离散化方法进行控制系统数字仿真的方法有一个共同的特点是：为使仿真达到一定的精度，计算的步长不能太大，因此使得计算量加大，计算时间加长，仿真运行过程增加，这就提出了精度与快速性之间的矛盾。尤其对于高阶或复杂系统进行数字仿真时，仿真时间太长将会使仿真失去实际意义。而对有些控制系统的数字仿真，由于参数限制，计算步长取得很小，这就加长了仿真时间，如按小的时间常数来确定计算步长，将会引起计算的不稳定，对于仿真都是不利于进行的。一般在实时仿真情况下，在解决计算精度与计算速度这一对矛盾时，以计算速度为主要矛盾，在控制系统数字仿真的过程中一般要求在满足计算稳定性及工程要求精度的条件下，尽可能的提高仿真的计算速度。如采用高速计算机，采用执行速度快的编程语言以及采用快速仿真算法等措施。第2页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．1替换法9．1．1替换法原理替换法是建立在相匹配原理基础上的快速数字仿真算法。相匹配的含义就是指仿真模型与原系统数学模型的动态和静态特性是一致的。即，若G(s)是稳定的，那么与其相匹配的G(z)也应是稳定的，对于同一个输入函数，由G(s)及G(z)所求出的输出函数应具有相同的特征，如终值等。从G(s)直接推导出G(z)的方法一般有两种：一种是替换法，即设法找出s与z的一个对应公式，然后将G(s)中的s转换成z，由此得到G(z)；另一种方法是根匹配法，即设法找到一个G(z)使其与G(s)有相同的零极点，我们将在下一节作介绍。替换法的基本思想就是设法找出一个由s平面到z平面的简单映射关系：z=f(s)。通过控制理论的学习，己知s与z的关系为：z＝esT，但是这是一个超越函数，不能直接用来替换。第3页，共42页，2023年，2月20日，星期四根据欧拉积分公式可得：。

这个公式虽然简单，但是并不实用，因为如将此公式直接代入G(s)获得的G(z)在T较大的情况下会不稳定，不适合于快速数字仿真。比较简单而且实用的替换公式是双线性变换公式，也称为图士汀公式。推导过程如下：已知梯形积分公式为：可得：

(9-1)

式(9-1)就是图士汀公式，也可写成

第4页，共42页，2023年，2月20日，星期四可知：(9-2)

式(9-2)中，若σ＜0，则|z|＜1，若σ＝0，则|z|＝1；而若σ＞0，则|z|＞1。即用公式(9-1)，Z平面上的单位圆，映射到S平面上将是整个左半平面。说明无论采样周期T取多大，双线性变换后的脉冲传递函数G(z)的根都必在z平面的单位圆内，这就保证了稳定的连续系统不会因为离散化而变得不稳定。即如果原来的G(s)是稳定的，则G(z)也是稳定的。用这一关系可将由G(s)描述的连续系统转换为用G(z)描述的采样系统，再按差分方程递推求解输出响应，具有一定的仿真精度。举例如下：第5页，共42页，2023年，2月20日，星期四第6页，共42页，2023年，2月20日，星期四

令T=1时，用ejωT＝cosωT+jsinωT代入可分别求出它们的相频特性和幅频特性，列于表9．1中。第7页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．1．2替换法步骤1．设线性系统的传递函数为

(9-4)要求出双线性变化下得到的z传递函数

第8页，共42页，2023年，2月20日，星期四第9页，共42页，2023年，2月20日，星期四2．将A(z)，B(z)写成向量的形式第10页，共42页，2023年，2月20日，星期四第11页，共42页，2023年，2月20日，星期四

后一个矩阵是单列n+1行的矩阵，其中z幂指数由n到0排列，前一个矩阵[xij]是一个(n+1)行×(n+1)列的矩阵，称为系数矩阵。其中第一行元素为(a+b)n的展开式的各项系数，第一列元素都为1，这样如果n确定以后，第一行各元素均可确定，其余n×n个元素可由式(9-5)确定第12页，共42页，2023年，2月20日，星期四第13页，共42页，2023年，2月20日，星期四第14页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．1．3算法有关公式的证明

1．公式(9-5)的证明

2．二项式系数的算法第15页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．1．4xij计算程序及双线性替换法的程序图第16页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．2根匹配法9．2．1根匹配法原理根匹配法是根据匹配原理提出的又一种快速数字仿真方法。由于连续系统的动静态特性完全由其传递函数的增益大小和零、极点位置所决定，如果能找到一种简单的映射关系z=f(x)，将连续系统G(s)的零极点映射为脉冲传递函数G(z)的零极点，再根据一定的原则确定G(z)的增益大小，则能求得与G(s)相对应的G(z)，使得二者的动静态特性保持一致。根匹配法的基本思想就是要使离散化模型的动态特性和稳定值与原连续系统保持一致，也就是要使离散化所得的脉冲传递函数与原连续系统传递函数的零点和极点相匹配。第17页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．2．2根匹配法的步骤

(1)用根匹配法对连续系统进行离散化首先要求出该系统的零点和极点

(2)用z＝esT在Z平面上一一对应的确定零极点的位置。

(3)从经典的根轨迹法可知，在式(9-10)中如果极点数大于零点数(即n≥m)，则在s平面的无穷远处还存在着(n-m)个零点。因此在Z平面上还必须再配上(n-m)个相应的零点。如果零点位于负实轴的无穷远处，即s＝-∞，那么在z平面上相应的零点应配在原点。

(4)在相同输入作用下，应用终值定理分别确定原连续系统和离散化仿真模型的终值，然后根据终值相等的原则确定G(z)的增益系数Kz。最后求得y的差分方程。第18页，共42页，2023年，2月20日，星期四

根匹配法有一个突出的优点就是无论采样周期T多大，只要原线性系统稳定，则离散化模型也一定稳定。也就是说若G(s)是稳定的，即它的全部极点都在s平面的左半平面，那么根匹配法所得的离散化模型的极点都必在Z平面的单位圆内，所以G(z)也是稳定的。这表明，用根匹配法所建立的仿真模型是恒稳的，且允许选用较大的采样周期进行仿真，但是这种方法只适用于线性稳定系统。第19页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．3时域矩阵法时域矩阵法是一种在时域中用无穷矩阵来进行系统仿真的算法，就是在时域矩阵中引入无穷矩阵来进行系统分析。这种方法不仅适用于采样控制系统，而且可以通过引入适当的采样开关和保持器以后分析连续系统。其好处是如果能获得系统的脉冲相应，其每步的计算量较小，而且与系统的阶次无关，所以很适合于快速数字仿真。第20页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．3．1开环时城矩陈设一连续系统的传递函数为G0(s)，加入传递函数为Gh(s)的保持器后系统的开环传递函数为G(s)＝Gh(s)G0(s)，如图9.2所示。第21页，共42页，2023年，2月20日，星期四第22页，共42页，2023年，2月20日，星期四第23页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．3．2闭环时域矩阵第24页，共42页，2023年，2月20日，星期四第25页，共42页，2023年，2月20日，星期四第26页，共42页，2023年，2月20日，星期四[例9.4]第27页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．4增广矩阵法9．4．1增广矩阵法的基本原理增广矩阵法是在按环节离散化数字仿真方法基础上的改进方法。按环节离散化数字仿真方法是一种非常实用的数字仿真方法，但是仿真精度不高，其产生误差的原因有以下两点：第一，在离散化过程中引入了虚拟的采样开关和保持器，这会引起输入信号失真，从而产生误差；第二，采样周期T不能取太大，否则会增加截断误差。第28页，共42页，2023年，2月20日，星期四9．4．2典型输入函数时的增广矩阵第29页，共42页，2023年，2月20日，星期四第30页，共42页，2023年，2月20日，星期四第31页，共42页，2023年，2月20日，星期四第10章实时仿真技术10．1概述

实时仿真是指仿真模型的时间比例与真实系统的时间比例完全相同的仿真，要求仿真系统实时接收动态输入，并产生实时动态输出。这种仿真不但可以应用于控制系统的分析、研究与设计，而且可以广泛的应用于大型控制系统操作人员的培训和教育，从而避免了在实际控制系统中由于操作不当所带来的危险性及高昂的代价。此外，随着微型计算机的飞速发展，各种新型的微机控制装置不断出现，这些装置在使用前必须经过严格的调试、检验。为此，也必须进行实时仿真，以检验控制装置在整个控制系统中的实用性及安全性。

实时仿真系统即一般我们所说的仿真机，由仿真计算机、数据接口、环境模拟输出设备三大部分组成，是一种有人在回路中的物理仿真。它利用计算机不断计算对象及环境的运动方程，然后通过运动系统、视景系统、音响系统及仪表系统等将被仿真对象的实时运动情况表述出来。

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火电站仿真训练器就是一个实际的实时仿真系统的例子，可以用来培训运行操作人员，考核运行人员实际操作能力和分析判断能力。该系统的环境模拟输出设备包括控制台、显示仪表面板、运行监视器组成，他们与火电站控制室中的实际设备几乎一样，所不同的地方是，从控制台出来的操作信号不是去现场的执行器，而是通过数据接口去计算机，各种显示仪表及运行监视器的信号也并非来自现场的变送器而是同样来自计算机。此外，在系统中加入了指导员台，用来控制整个仿真器的运行，可以设置故障并记录操作人员的操作过程，可以替代实际电站中的就地操作员做就地操作。仿真训练器的计算机主要完成锅炉、汽轮机、电气部分的模型计算任务以及运行监控系统的模型计算。由于计算量较大，应采用运行速度快的计算机。此外，实时仿真技术还广泛应用于航空飞行领域、船舶汽车领域、核电站领域等。不但培训了大量的操作人员，而且对科学研究做出了大量贡献。第33页，共42页，2023年，2月20日，星期四10．2实时仿真算法在实时仿真系统里，由于有实物参与，因此要求仿真时间与被仿真系统时间相同，这就对实时仿真算法有特殊的要求：第一，要求差分方程是可计算的；第二，要求快速计算一个步长内的所有差分方程。下面分别论述这两个问题。10．2．1差分公式的可计算性实时仿真与非实时仿真不同，不是所有的差分公式都是可以计算的。为了说明这个问题，下面看一个例子。对于图10．1所示的单回路系统进行非实时仿真时，可用离散相似法在每个环节入口处加入离散-再现环节，得到如图10．2所示的离散相似系统框图。第34页，共42页，2023年，2月20日，星期四第35页，共42页，2023年，2月20日，星期四

如果按式(10-1)→式(10-2)→式(10-3)→式(10-4)这一顺序计算上述的差分方程，各公式都是可计算的。第36页，共42页，2023年，2月20日，星