2019高考数学大题专题练习-立体几何(一)

2019—2020年高考数学大题专题练习--立体几何(一)1.如下图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，点E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.(1)求证：PAEF；（2)求二面角DFGE的余弦值.2。如下图，该几何体是由一个直角三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF,AEAD2。(1）证明：平面PAD平面ABFE;（2)求正四棱锥PABCD的高h,使得二面角CAFP的余弦值是22。313。四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，PADC为锐角，M为PB的中点．M（Ⅰ)求证：PD∥面ACM．(Ⅱ）求证：PACD．CB(Ⅲ）求三棱锥PABCD的体积．DA4.如图，四棱锥SABCD知足SA面ABCD,DABABC90．SAABBCa，AD2a．（Ⅰ）求证:面SAB面SAD．(Ⅱ)求证：CD面SAC．SADBC25。在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形,测棱PD底面ABCD，PDDC，点E是BC的中点，作EFPPB交EFPB于F．（Ⅰ）求证：平面PCD平面PBC．DC(Ⅱ)求证:PB平面EFD．AB6。在直棱柱ABCA1B1C1中,已知ABAC，设AB1中点为D，A1C中点为E．(Ⅰ）求证：DE∥平面BCC1B1．(Ⅱ）求证:平面ABB1A1平面ACC1A1．ABCD

EA1B1C137。在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB//CD，ABAD，PAPB，AB:AD:CD2:2:1.（1）证明BDPC；（2）求二面角APCD的余弦值；(3）设点Q为线段PD上一点，且直线AQ平面PAC所成角的正弦值为2，求PQ的3PD值.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；2)若λ=2，求证：平面CDE⊥平面CD1O。4P9。如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四M边形，∠BCD135，侧面PAB⊥底面ABCD，AD∠BAP90，ABACPA2，E，F分别为BC，FAD的中点，点M在线段PD上．BEC（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC．（Ⅱ）若M为PD的中点，求证:ME∥平面PAB．（Ⅲ)假如直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所在的角相等,求PM的PD值．C1A110.如图,在三棱柱ABCA1B1C1，AA1⊥底面ABC，GB1FAB⊥AC,ACABAA1，E，F分别是棱BC，A1A的中点，G为棱CC1上的一点，且C1F∥平面AEG．

CAEB1）求CG的值．CC12）求证：EG⊥AC1．3）求二面角A1AGE的余弦值．511。如图,在四棱锥PABCD中，PB⊥底面ABCD，PF底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PBABAD3,BC1．AD1(Ⅰ）若点F为PD上一点且PFPD,CF∥3证明：BC平面PAB．（Ⅱ）求二面角BPDA的大小．（Ⅲ）在线段PD上能否存在一点M，使得CM⊥PA?若存在，求出PM的长；若不存在，说明原因．12。如图，在四棱锥EABCD中,平面EAD⊥平面ABCD，CD∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB4,BCCDEAED2．Ⅰ证明：BD⊥AE．Ⅱ求平面ADE和平面CDE所成角(锐角）的余弦值．6ED

CPABFADBEC13。己知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD,底面ABCD是菱形，且PAAB2．ABC60,BC、PD的中点分别为E，F．(Ⅰ)求证BCPE．（Ⅱ）求二面角FACD的余弦值．（Ⅲ）在线段AB上能否存在一点G,使得AF平行于平面PCG？若存在,指出G在AB上的地点并赐予证明，若不存E在，请说明原因．FDCAB14.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AF∥DE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60．（Ⅰ)求证：AC平面BDE．（Ⅱ）求二面角FBED的余弦值．（Ⅲ）设点M线段BD上一个动点，试确立点M的地点，使得AM∥平面BEF,并证明你7的结论．CDABMP15。如图，PA面ABC,ABBC，ABPA2BC2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM平面PBC．（Ⅱ）求二面角APCB的余弦值．（Ⅲ）在线段PC上能否存在点D，使得BDAC，若存在，求出PD的值，若不存在，PC说明原因．16。如下图,在四棱锥P—ABCD中，AB⊥平面PAD,AB//CD,E是PB的中点，PD2,PA5,ABAD3,AH2.HD证明：PH⊥平面ABCD；（2)若F是CD上的点，且FC2FD3，求二面角BEFC的正弦值。817。如图，DC⊥平面ABC，EB//DC，ACBCEB2DC2，ACB120,Q为AB的中点．(Ⅰ）证明：CQ⊥平面ABE;（Ⅱ)求多面体ACED的体积；（Ⅲ）求二面角A-DE—B的正切值．18.如图1，在△ABC中,AB=BC=2,∠B=90°,D为BC边上一点，以边AC为对角线做平行四边形ADCE,沿AC将△ACE折起，使得平面ACE⊥平面ABC，如图2。91）在图2中，设M为AC的中点,求证:BM丄AE；2)在图2中，当DE最小时,求二面角A—DE-C的平面角。19。如下图，在已知三棱柱ABF-DCE中，ADE90，ABC60，ABAD2AF，平面ABCD⊥平面ADEF,点M在线段BE上，点G是线段AD的中点．1）试确立点M的地点，使得AF∥平面GMC；2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值．1020。已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC=AB,PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点.（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；(Ⅱ)若AB2AP2，求平面PAD与平面PCE所成锐二面角的余弦值。如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，BCD,PDBCCD1AD,APPD.221)若E为AP的中点,求证：BE∥平面PCD；2）求二面角P-AB—C的余弦值。22.如图（1）所示，已知四边形SBCD是由Rt△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的,此中SABSDC90.且点A为线段SD的中点,AD2DC1，AB2。现将△SAB11沿AB进行翻折，使得二面角S-AB—C的大小为90°，获得图形如图(2）所示，连结SC，点E，F分别在线段SB,SC上.（Ⅰ）证明：BDAF；2（Ⅱ）若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-ABCD体积的,求5点E到平面ABCD的距离。23。四棱锥S-ABCD中，AD∥BC，BCCD,SDASDC600，ADDC1BC1SD，E为SD的中点.21）求证：平面AEC⊥平面ABCD；2）求BC与平面CDE所成角的余弦值。1224.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，PA⊥AC，BA=BC=PA=2，二面角P—AC—B的大小为120°。（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC—A的正切值.25.如图,在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABCBCD900，PAPDDCCB1AB，E是PB的中点，2（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P-AB—D的余弦值。1326.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2,PB=PD=22，E，F，G,H分别为棱PA,PB,AD，CD的中点．1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；2）研究棱PD上能否存在点M,使得平面CFG⊥平面MEH，若存在,求出PM的值；若PD不存在，请说明原因．14试卷答案1以点D为坐标原点,成立如下图的空间直角坐标系Dxyz，则D0,0,0，A0,2,0，C2,0,0，P0,0,2，E1,0,1，F0,0,1，G2,1,0.(1)∵PA0,2,2，EF1,0,0，则PAEF0，∴PAEF.(2）易知DF0,0,1，FG2,11，设平面DFG的法向量mx1,y1,z1，则mDF0z10，，即mFG02x1y1z10令x11，则m1,2,0是平面DFG的一个法向量，同理可得n0,1,1是平面EFG的一个法向量，∴cosm,nmn210，mn525由图可知二面角DFGE为钝角，∴二面角DFGE的余弦值为10.52.（1）证明：直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，因此:ABAD，又ADAF,因此：AD平面ABFE，AD平面PAD,因此：平面PAD平面ABFE.(2）由（1）AD平面ABFE，以A为原点，AB,AE,AD方向为x,y,z轴成立空间直角坐15标系Axyz，设正四棱锥PABCD的高h，AEAD2,则A0,0,0,F2,2,0，C2,0,2,P1,h,1.AF2,2,0，AC2,0,2,AP1,h,1.设平面ACF的一个法向量mx1,y1,z1,则：mAF2x12y10,取x11，则y1z11，因此：m1,1,1.nAC2x12z10设平面AFP的一个法向量nx2,y2,z2,则nAF2x22y20nAPx2hy2z2，0取x21，则y21,z21h，因此：n1,1,1h，二面角CAFP的余弦值是22，因此：cosm,nmn111h22，3mn32h123解得：h1。3.PMCBEODA（Ⅰ）证明:连结AC交BD于O,则O是BD中点，∵在△PBD中，O是BD的中点，M是PB的中点,PD∥MO，又PD平面ACM，MO平面ACM，16PD∥平面ACM．(Ⅱ）证明：作PE⊥CD,则E为CD中点，连结AE，∵底面ABCD是菱形，边长为2，面积为23，∴S1ADDCsinADC2122sinADC223,22∴sinADC3ADC60，，2∴△ACD是等边三角形,CD⊥AE，又∵CD⊥PE，CD⊥平面PAE,CD⊥PA．(Ⅲ）VPABCD1SABCDPE12332．334.SAEDBC（1）证明：∵SA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，AB⊥SA，又∵BAD90，AB⊥AD，∵SAADA，AB⊥平面SAD，又AB平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．（Ⅱ）证明：取AD中点为E，∵DABABC90，AD2a，BCa，E是AD中点,∴ABCE是矩形，CEABa，DEa，17∴CD2a，在△ACD中，AC2a，CD2a，AD2a，∴AC2CD2AD2，即CD⊥AC,又∵SA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，CD⊥SA，CD⊥平面PAC．5。PEFDCAB（Ⅰ）证明：∵PD底面ABCD，BC平面ABCD,PDBC，又∵底面ABCD为矩形，BCCD，BC平面PCD,BC平面PBC,∴平面PCD平面PBC．（Ⅱ)证明:∵PDDC，E是PC中点，DEPC，又平面PCD平面PBC，平面PCD平面PBCPC，DE平面PBC,DEPB，又∵EFPB，EFDEE，∴PB平面EFD．186.ABCDEA1B1C1（Ⅰ）证明：连结A1B，∵D是AB1的中点，∴D是A1B的中点，∵在△A1BC中，D是A1B的中点，E是A1C的中点，DE∥BC，又DE平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，DE∥平面BCC1B1．(Ⅱ）证明：∵ABCA1B1C1是直棱柱，AA1平面ABC,∴AA1AB，又ABAC,∴AB平面ACC1A1，AB平面ABB1A1,∴平面ABB1A1平面ACC1A1．7.,成立空间直角坐标系B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，C(1,2,0)以A为坐标原点（1）BD(2,2,0)，PC(1,2,2),∵BD?PC0∴BDPC(2)AC(1,2,0)，AP(0,0,2)，平面PAC的法向量为m(2,1,0)DP(0,2,2)，AP平面DPC的法向量为n(0,2,1).(1,0,0),cosm,nm?n2，二面角BPCD的余弦值为2。m?n33(3）∵AQAPPQAPtPD，t0,119∴AQ(0,0,2)t(0,2,2)(0,2t,22t)设为直线AQ与平面PAC所成的角sincosAQ,mAQ?m2AQ?m332t2t)223t26t28t4，解得t2（舍)或2。2t2(233因此，PQ2即为所求。PD38.(1）不如设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD1解：为单位正交基底成立如下图的空间直角坐标系Dxyz．则A（1，0,0)，O12，12，0，C0，1，0,D1（0，0，1），1，1，1，442于是，.由cos＝＝。因此异面直线AE与CD13所成角的余弦值为.61111CO＝0，m·CD1＝0(2）设平面CDO的向量为m=（x，y，z），由m·得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1,1，1).由D1E＝λEO,则E，.又设平面CDE的法向量为n＝（x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.CDDE得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ。)由于平面CDE⊥平面CD1F,因此m·n＝0，得λ＝2．9.(Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，20∵ABAC，∠BCD135，∠ABC45，AB⊥AC,∵E,F分别为BC，AD的中点，EF∥AB，∴EF⊥AC，∵侧面PAB⊥底面ABCD,且∠BAP90，PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF,又∵PAACA，PA平面PAC,AC平面PAC，∴EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明：∵M为PD的中点,F为AD的中点,∴MF∥PA,又∵MF平面PAB，PA平面PAB，MF∥平面PAB，同理，得EF∥平面PAB,又∵MFEFF，MF平面MEF，EF平面MEF，∴平面MEF∥平面PAB，又∵ME平面MEF，ME∥平面PAB．（Ⅲ)解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC,AP，AB，AC两两垂直,故以AB，AC，AP分别为x轴,y轴和z轴成立如图空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2),D(2,2,0)，E(1,1,0),因此PB(2,0,2)，PD(2,2,2)，BC(2,2,0),设PM([0,1])，则PM(2,2,2)，PD∴M(2,2,22)，ME(12,12,22)，易得平面ABCD的法向量m(0,0,1)，设平面PBC的法向量为n(x,y,z)，则：nBC0，即2x2y0，令x1，得n，nPB02x2z0(1,1,1)∴直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等,∴|cosME,m||cosME,n|,即|MEm||MEn|，|ME||m||ME||n|∴|21|2,解得333332或2（舍去），故PM33．PD221zPMAFDxBCyE10.（1)∵C1F∥平面AEG，又C1F平面ACC1A1，平面ACC1A1平面AEGAG,C1F∥AG,∵F为AA1的点，且侧面ACC1A1为平行四边形,G为CC1中点,CG1∴．CC12（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC,如图,以A为原点成立空间直角坐标系Axyz，设AB2，则由ABACAA1可得C(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(2,0,2)，A1(0,0,2)，E，G分别是BC，CC1的中点,∴E(1,1,0),G(2,0,1)，∴EGCA1(1,1,1)(2,0,2)0,EG⊥CA1，EG⊥AC1．（3）设平面AEG的法向量为,n(x,y,z)则：nAE0xy01，则y1，z2，nAG,即2xz,令x00n(1,1,2)，由已知可得平面A1AG的法向量m(0,1,0)，∴cosn,mnm6|n||m|，6由题意知二面角A1AGE为钝角，∴二面角A1AGE的余弦值为6．622zC1A1GB1FxCAEBy11。（Ⅰ）证明：过点F作FH∥AD，交PA于H，连结BH，如下图，∵PF1PD，3∴HF1ADBC，3又FH∥AD，AD∥BC，HF∥BC，∴四边形BCFH为平行四边形，∴CF∥BH，又BH平面PAB，CF平面PAB，∴CF∥平面PAB．zPHFyADxBC(Ⅱ)解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，BC⊥AB，PB⊥平面ABCD，∴PB⊥AB，PB⊥BC,∴如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴成立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，D(3,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，23设平面BPD的一个法向量为n(x,y,z)，平面APD的一个法向量为m(a,b,c)，PD(3,3,3)，BP(0,0,3),PDn03x3y3z0∴n0，即3z0,BP令x1得n(1,1,0)，同理可得m(0,1,1)，∴cosn,mnm1，|n||m|2∵二面角BPDA为锐角，∴二面角BPDA为π．3(Ⅲ）假定存在点M知足题意，设PMPD(3,3,3),∴CMCPPD(13,3,33)，∵PA(0,3,3),∴PACM93(33)0，解得1，2∴PD上存在点M使得CM⊥PA,且PM1332PD．212.Ⅰ∵BC⊥CD,BCCD2，∴BD22，同理EA⊥ED，EAED2，∴AD22，又∵AB4，∴由勾股定理可知BD2AD2AB2,BD⊥AD，又∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面AED，又∵AE平面AED，∴BD⊥AE．Ⅱ解：取AD的中点O,连结OE,则OE⊥AD，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，∴OE⊥平面ABCD，取AB的中点F,连结DF∥BD，以O为原点，成立如下图的空间直角坐标系Oxyz,则D(2,0,0)，C(22,2,0)，E(0,0,2)，DC(2,2,0)，DE(2,0,2)，设平面CDE的法向量为n(x,y,z)，24DCn0xz0，令x1，则z1,y1，则n0即xy0DE∴平面CDE的法向量n(1,1,1)，又平面ADE的一个法向量为1(0,1,0)，n设平面ADE和平面CDE所成角（锐角)为,则cos|cosn,n1|nn13，|n||n1|3∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为3．3zDCAOxFBy13.zPFADyBECx（1）证明：连结AE,PE．∵PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC．又∵底面ABCD是菱形,ABBC，ABC60，∴△ABC是正三角形．∵E是BC的中点，∴AEBC．25又∵PAAEA,PA平面PAE，PE平面PAE，∴BC平面PAE，∴BCPE．（2)由（1）得AEBC，由BC∥AD可得AEAD．又∵PA底面ABCD,∴PAAE,PAAD．∴以A为原点，分别以AE，AD,AP为x轴，y轴，z轴成立空间直角坐标系Axyz,如图所示,则A(0,0,0)，E(3,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，B(3,1,0)，C(3,1,0)，F(0,1,1)．PA平面ABCD，∴平面ABCD的法向量为AP(0,0,2)．又∵AC(3,1,0)，AF(0,1,1)．设平面ACF的一个法向量n(x,y,z)，则:ACn03xy0，令x1，则y3，z3，,即AFn0y+z0∴n(1,3,3)．∴cosAP,nAPn21|AP||n|7．∵二面角FACD是锐角,∴二面角FACD的余弦值为21．7（3）G是线段AB上的一点，设AGtAB(0≤t≤1)．∵AB(3,1,0)，∴G(3t,t,0)．又∵PC(3,1,2)，PG(3t,t,2)．设平面PCG的一个法向量为n(x,y,z)，则:PCn10，即3x1+y12z101),3t),,∴n1(t+1,3(tPGn103tx1ty12z10∵AF∥平面PCG，∴AFn，AFn0，即3(t1)+3t0，解得t1．2故线段AB上存在一点G，使得AF平行于平面PCG，G是AB中点．2614.（1）证明：∵DE平面ABCD,AC平面ABCD，∴DEAC．∵ABCD是正方形，∴ACBD．又DEBDD，∴AC平面BDE．（2）∵DA,DC,DE两双重叠，∴成立空间直角坐标系Dxyz如下图．zEFDCyABx∵BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，∴ED3．DB由AD3，可知DZ316，AF6,则A(3,0,0)，F(3,0,6),E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．∴BF(0,3,6)，EF(3,0,26)，设平面BEF的法向量为n(x,y,z)，则nBF03y6z06，则n(4,2,6)．nEF，即26z,令z03x0AC平面BDE,CA为平面BDE的一个法向量，CA(3,3,0)，∴cosn,CAnCA613．|n||CA|322613∵二面角FBED为锐角，∴二面角FBED的余弦值为13．13（3)点M线段BD上一个动点，设M(t,t,0)，则AM(t3,t,0)．27∵AM∥平面BEF,∴AMn0，即4(t3)2t0，解得t2，此时，点M坐标为(2,2,0)，BM1BD，切合题意．315.zCDAByMPx（1）证明:∵PA平面ABC，BC平面ABC，PABC．∵BCAB，PAABA，∴BC平面PAB．又AM平面PAB，AMBC．∵PAAB，M为PB的中点,AMPB．又∵PBBCB，∴AM平面PBC．(2)如图,在平面ABC内作AZ∥BC，则AP,AB，AZ两两垂直，成立空间直角坐标系Axyz．则A(0,0,0)，P(2,0,0),B(0,2,0)，C(0,2,1)，M(1,1,0)．AP(2,0,0),AC(0,2,1),AM(1,1,0)．设平面APC的法向量为n(x,y,z)，则：nAP0x02．，即，令y1,则znAC02yz0n(0,1,2)．由（1)可知AM(1,1,0)为平面PBC的一个法向量，28∴cosnAMAMn110．|AM||n|5210∵二面角APCB为锐角,∴二面角APCB的余弦值为10．10（3）证明：设D(,v,w)是线段PC上一点，且PDPC，(0≤≤1),即(2,v,w)(2,2,1)，∴22，v2，w．∴BD(22,22,)．由BDAC0，得4[0,1],5∴线段PC上存在点D，使得BDAC，此时PD4．PC516.解：（1)证明：由于AB平面PAD，因此PHAB，由于AD3,AH2，因此AH2,HD1，HD设PHx，由余弦定可得，x2HD2PH2x21PHAx2HA2PH2x21cosPHD2xHDcos2xHA4x2x由于cosPHDcosPHA，故PHx1，因此PHAD，由于ADABA，故PH平面ABCD。（2)以H为原点，以HA,HP,HP所在的直线分别为x,y,z轴,成立空间直角坐标系，则B(2,3,0),P(0,0,1),E(1,3,1),F(1,3,0),C(1,9,0)，2222因此可得,BF(3,3,0),BE(1,3,1),EF(2,0,1),FC(0,3,0),2222设平面BEF的法向量n(x,y,z)，BFn03x3y0则有：2n(1,2,4)，BEn03zx0y22设平面EFC的法向量m(x,y,z)，29EFm02xz02(1,0,4)，则有：0mFCm3y0故cosn,mnm1717,nm211721设二面角BEFC的平面角为,则sin221。2117。解（Ⅰ）证明：∵DC平面ABC，BE//DCBE平面ABCCQBE①又∵ACBC2，点Q为AB边中点CQAB②ABBEB故由①②得CQ平面ABE（Ⅱ）过点A作AMBC交BC延伸线于点M∵AMBC,AMBEAM平面BEDC1∴VACEDSCDEAM3AMACsin33，SCDE11212113∴VACED333（Ⅲ)延伸ED交BC延伸线于S，过点M作MQES于Q，连结AQ由（Ⅱ）可得：AQM为ADEB的平面角CD//1BC2SCCB2SEBE2SB225MCMS1∵SQM∽SBE30∴QMSMBESE∴QM15即QM5225∴tanAQMAM315QM5518。（1)证明:∵在中，,∴当为的中点时,∵平面平面，平面，平面平面∴平面∵平面∴（2）如图，分别以射线，的方向为,轴的正方向,成立空间直角坐标系设,则，,，∵，，平面平面∴∴当且仅当时，最小,此时，31设，平面,则,即∴令，可得，，则有∴∴察看可得二面角的平面角19.（1）取FE的中点P，连结CP交BE于点M，M点即为所求的点．连结PG，∵G是AD的中点，P是FE的中点，∴PG//AF，又PG平面MGC，AF平面MGC,因此直线AF//平面MGC，∵PE//AD,AD//BC,∴PE//BC，∴BMBC2，MEPE故点M为线段BE上凑近点E的三平分点．（2）不如设AD2,由（1）知PGAD,又平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD,PG平面ADEF，∴PG平面ABCD．故PGGD，PGGC，以G为坐标原点，GC，GD,GP分别为x，y，z轴成立空间直角坐标系Gxyz，∵ABC60,ABAD2AF,∴ADC为正三角形，GC3,∴G(0,0,0)，C(3,0,0)，D(0,1,0)，E(0,1,1)，∴GE(0,1,1),GC(3,0,0)，设平面CEG的一个法向量n1yz0,(x,y,z)，则由n1GE0，n1GC0可得3x0,令y1，则n(0,1,1)，1∵CD(3,1,0)BA，且A(0,1,0),故B(3,2,0)，故BG(3,2,0)，故直线BG与平面GCE所成角的正弦值为sin|n1BG|14．|n1||BG|73220。（Ⅰ）取PC中点H,连结EH、FH.∵E为AB的中点，ABCD是菱形，∴AE//CD，且1，又FPD的中点H为PC的中点，∴FH//CD且AECD为,2FH1CD，∴AE//FH，且AEFH,则四边形AEHF是平行四边形，2∴AF//EH.又AF平面PCE，EH面PCE，∴AF//平面PCE.（Ⅱ）取BC的中点为O，∵ABCD是菱形，ACAB,∴AOBC,以A为原点,AO,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,成立空间直角坐标系Axyz，则B3,1,0,C3,1,0,D0,2,0，O3,0,0,P31,∴PC3,1,1,EC330,0,1,E,,0,,0,2222AO3,0,0，设平面的法向量为n1x,y,zn1PC0，则，即n1EC03xyz03x3y，令y1,则x3,z2,∴平面PCE的一个法向量为022n13,1,2，又平面PAD的一个法向量为n21,0,0。∴cosn1,n2n1n236。即平面PAD与平面PCE所成锐二面|n1||n2|3144角的余弦值为6。43321.解：（1)证明：取PD的中点F，连结EF,CF，由于E,F分别是PA,PD的中点，因此EF//AD且EF1AD,2由于BC1AB,BC//AD,因此EF//BC且EFBC，因此BE//CF，2又BE平面PCD,CF平面PCD,因此BE//平面PCD。（2）以P为坐标原点,PD,PA所在直线分别为x轴和y轴，成立如下图的空间直角坐标系，不如设BC1，则P(0,0,0),A(0,3,0),D(1,0,0),C(1,0,1),B(13,1)，,22133,0)，PA(0,3,0),AB(,1),AD(1,22nPA03y0设平面PAB的一个法向量为n(x,y,z)，则13y，nAB0z0x22令x2，得n(2,0,1)，同理可求平面ABD的一个法向量为34m(3,3,0)cosn,mnm615，nm5125平面ABD和平面ABC为同一个平面,因此二面角PABC的余弦值为15.522.解：（Ⅰ）证明：由于二面角SABC的大小为90°,则SAAD，又SAAB，故SA平面ABCD，又BD平面ABCD,因此SABD；在直角梯形ABCD中，BADADC90,AD2CD1，AB2,1因此tanABDtanCAD，又DACBAC90，2因此ABDBAC90,即ACBD；又ACSAA，故BD平面SAC，由于AF平面SAC，故BDAF。（Ⅱ)设点E到平面ABCD的距离为h，由于VBABCVEABC2VEABC，且，VSABCD5151VSABCDS梯形ABCDSA21532故11，VEABCh21h2SABC23故h1，做点E到平面ABCD的距离为1。22。（1)E为SD的中点，ADDC1SD,SDASDC600232EDECADDC.设O为AC的中点，连结EO,DO则EOACAD//BC,BCCDADBC.又ODOAOCEOCEOD进而EOODACABCDDO面ABCDACDO0EO面ABCDEO面AEC35面EAC面ABCD6分（2)设F为CD的中点,连结OF、EF，则OF平行且等于1AD2AD∥BCEF∥BC不难得出CD面OEF（EOCDFOCD）面ECD面OEFOF在面ECD射影为EF,EFO的大小为BC与面ECD改成角的大小设ADa，则OFaEF3a22cosEFOOF3EF3即BC与ECD改成角的余弦值为3。（亦能够建系达成）12分324。解（Ⅰ）过点P作PO⊥底面ABC,垂足为O，连