高数第一章d11函数

第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限

第一章第一节函数元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合与区间1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.简称集简称元表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:二、映射与函数某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.引例2.引例3.(点集)(点集)向y

轴投影定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称

f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠

)Y(数集)f称为X

上的泛函R

f称为定义在X

上的函数映射又称为算子.名称.例如,定义域函数的概念定义5.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为称为值域函数图形:自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；例4.

已知函数解:及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域三.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.(见P11)(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x

为有理数x为无理数四.反函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:使其中2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数若函数y=f(x)定义在某个区间I上并在该区间上单调（增加或减少），则它的反函数必存在。思考：不单调的函数是不是一定没有反函数例如：例.正弦函数的定义域为，显然对于不存在反函数。如果把正弦函数的定义域限制在它的一个单调区间上，就可以得到反函数了。这个反函数成为反正弦函数。记为思考：反正弦函数的值域类似，定义在上的余弦函数的反函数，称为反余弦函数，记为定义在上的正切函数的反函数，称为反正切函数，记为定义在上的余切函数的反函数，称为反余切函数，记为函数统称为反三角函数五.复合函数,初等函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数当改两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,

默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.

初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,

双曲函数与反双曲函数也是初等函数.非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当

设函数

x

换为f(x)例5.解:例6.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函