第七章习题课机械能守恒定律

习题课机械能守恒定律的应用1．机械能守恒的条件：只有重力、系统内弹力做功．2．机械能守恒定律的三种表达式(1)从能量守恒的角度：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.(2)从能量转化的角度：ΔEk＝－ΔEp.(3)从能量转移的角度：ΔEA＝－ΔEB.物体系统的机械能守恒问题机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：1．系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接．这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系．2．系统内两个物体通过轻绳连接．如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒．解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等．3．系统内两个物体通过轻杆连接．轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体的角速度相等．(2016·合肥一中高一检测)如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可以当作质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆通过竖直位置时，求：小球A、B的速度各是多少？[解析]对A、B(包括轻杆)组成的系统，由机械能守恒定律－ΔEp＝ΔEk得mgeq\f(l,2)＋mgl＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)①又因A、B两球的角速度ω相等，则vA＝ωeq\f(l,2)②vB＝ωl③联立①②③式，代入数据解得vA＝eq\r(\f(3,5)gl)，vB＝2eq\r(\f(3,5)gl).[答案]eq\r(\f(3,5)gl)2eq\r(\f(3,5)gl)1.如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连，已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(此时竖直绳长小于桌高)的距离，木块仍在桌面上，则此时砝码的速度为多大？解析：法一：利用机械能守恒定律求解设砝码开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考平面，则系统的初始机械能E1＝－Mgx系统的末态机械能E2＝－Mg(x＋h)＋eq\f(1,2)(M＋m)v2由E2＝E1，得－Mg(x＋h)＋eq\f(1,2)(M＋m)v2＝－Mgx又M＝2m联立以上两式得v＝eq\f(2,3)eq\r(3gh).法二：利用动能定理求解设拉力对木块所做的功为W，则拉力对砝码所做的功为－W，对木块由动能定理得W＝eq\f(1,2)mv2对砝码由动能定理得Mgh－W＝eq\f(1,2)Mv2，又M＝2m联立以上三式得v＝eq\f(2,3)eq\r(3gh).答案：eq\f(2,3)eq\r(3gh)机械能守恒定律与动能定理的综合应用在多个物体系统中，机械能守恒定律只能解决物体的状态问题，要解决系统内弹力做功问题，必须要应用动能定理．具体步骤如下：1．应用机械能守恒定律求出物体的速度．2．应用动能定理对某一物体列方程．3．求解得出结果．如图所示是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB＝2m，由图示位置从静止开始释放A物体，当物体B达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B所做的功．[解析]A和B两物体组成的系统，机械能守恒，A、B两物体运动过程中速度大小相等，设为v，A物体的重力势能减小，转化为B物体的重力势能和A、B两物体的动能，由机械能守恒得mAg·eq\f(1,2)πR＝mBgR＋eq\f(1,2)mAv2＋eq\f(1,2)mBv2①B物体运动过程中，绳的张力做功，重力做功，由动能定理得W张－mBgR＝eq\f(1,2)mBv2－0②联立①②解得：W张＝eq\f(π＋2,3)mgR.[答案]eq\f(π＋2,3)mgR2.如图，一轻绳跨过距水平面高为H的小滑轮，绳的两端分别系有质量均为m的A、B两物体(可看做质点)，开始时系A的绳与水平面成37°，整个系统处于静止状态，现将B物体由静止释放，求：系A的绳与水平面成53°的过程中，细绳对A物体做的功(所有摩擦均不计)．解析：B物体下降的高度Δh＝eq\f(H,sin37°)－eq\f(H,sin53°)①设B物体的速度为vB，则此时A物体的速度为vA＝eq\f(vB,cos53°)②A、B系统机械能守恒mgΔh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)③联立①②③式得：veq\o\al(2,A)＝eq\f(125,204)gH对A应用动能定理得：W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－0＝eq\f(125,408)mgH.答案：eq\f(125,408)mgH[随堂达标]1.(多选)如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点．已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是()A．小球的动能与重力势能之和保持不变B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和增大D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变解析：选BC.以弹簧为研究对象，小球运动过程中，弹簧的形变量先变小到原长，后变大，所以弹簧的弹性势能Ep1先减小后增大．再以弹簧和小球组成的系统为研究对象，只有重力、弹力做功，所以系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能Ep1、小球的动能Ek和重力势能Ep2之和保持不变，即Ek＋Ep1＋Ep2＝恒量．由于Ep1先减小后增大，故选项A错误，选项B正确．由于Ep2一直减小，所以Ek与Ep1之和一直增大，选项C正确．由题意可知，小球的速度先增大后减小，即Ek先增大后减小，所以Ep1与Ep2之和先减小后增大，选项D错误．2．小物块A的质量为m＝2kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑．坡道顶端距水平面高度为h＝1m，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端连接在水平滑道M处并固定在墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图所示．物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10m/s2，求：(1)物块滑到O点时的速度大小；(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；(3)物块A被弹回到坡道上升的最大高度．解析：(1)由动能定理得mgh－μmghcotθ＝eq\f(1,2)mv2解得v＝eq\r(2gh（1－μcotθ）)，代入数据得v＝2m/s.(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mv2＝Ep，则Ep＝mgh－μmghcotθ，代入数据得Ep＝4J.(3)设物块A能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得－mgh1－μmgh1cotθ＝0－eq\f(1,2)mv2解得h1＝eq\f(（1－μcotθ）h,1＋μcotθ)，代入数据得h1＝eq\f(1,9)m.答案：(1)2m/s(2)4J(3)eq\f(1,9)m[课时作业]一、单项选择题1．(2016·临沂高一检测)如图所示为光滑轻质的滑轮，阻力不计，M1＝2kg，M2＝1kg，M1离地高度为H＝0.5m，g取10m/s2.M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3m时的速度为()A.eq\r(2)m/s B．3m/sC．2m/s D．1m/s解析：选A.M1由静止下落0.3m的过程中，M1和M2组成的系统机械能守恒，则有：M1gh－M2gh＝eq\f(1,2)(M1＋M2)v2，代入数据解得：v＝eq\r(2)m/s，故选A.2.内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为eq\r(2)R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后()A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点解析：选A.环形槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到槽的最低点．3．如图所示，质量分别为m和3m的小球A和B可视为质点，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(h<L)．A球无初速度从桌面滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌面的速度为()A.eq\r(\f(gh,2)) B.eq\r(2gh)C.eq\r(\f(gh,3)) D.eq\r(\f(gh,6))解析：选A.由h<L，当小球A刚落地时，由机械能守恒得mgh＝eq\f(1,2)(m＋3m)v2，解得v＝eq\r(\f(gh,2))，选项A正确．4.如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是()A．2R B.eq\f(5R,3)C.eq\f(4R,3) D.eq\f(2R,3)解析：选C.运用机械能守恒定律：当A下落到地面前，对AB整体有：2mgR－mgR＝eq\f(1,2)×2mv2＋eq\f(1,2)mv2，A落地后，对B球有eq\f(1,2)mv2＝mgh，解得h＝eq\f(R,3)，即A落地后B还能再升高eq\f(R,3)，上升的最大高度为eq\f(4,3)R，故选项C正确，A、B、D错误．5.如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从水平位置静止释放．当b球摆过的角度为90°时，a球对地面压力刚好为零，下列结论正确的是()A．ma∶mb＝3∶1B．b球下落的过程中，绳子拉力对b球做正功C．若只将细杆D水平向右移动少许，则当b球摆过的角度小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为零D．若只将细杆D水平向左移动少许，则当b球摆过的角度小于90°的某值时，a球对地面的压力刚好为零解析：选A.小球b下落过程中机械能守恒，有mbgr＝eq\f(1,2)mbv2，又b球在最低点时，由向心力表达式有：T－mbg＝mbeq\f(v2,r)，又在最低点时，a球对地面压力为零，有T＝mag，联立可得mag－mbg＝2mbg，解得ma∶mb＝3∶1，故A正确；b球下落的过程中，绳子拉力始终与b球的位移方向垂直，不做功，B错误．由上述分析可知，若a球对地面的压力为零，与b球摆动的半径无关，只有b球摆到竖直位置时，a球对地面的压力才会为零，C、D错误．故选A.二、多项选择题6.如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量不计)，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动．现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中()A．b球的重力势能减少，动能增加B．a球的重力势能增加，动能增加C．a球和b球的总机械能守恒D．a球和b球的总机械能不守恒解析：选ABC.a、b两球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒，选项C正确，D错误．其中a球的动能和重力势能均增加，机械能增加，轻杆对a球做正功；b球的重力势能减少，动能增加，总的机械能减少，轻杆对b球做负功，选项A、B正确．7.如图所示，物体从某一高度自由下落到竖直立于地面的轻质弹簧上．在a点时物体开始与弹簧接触，到b点时物体速度为零．则从a到b的过程中，物体()A．动能一直减小B．重力势能一直减小C．所受合外力先增大后减小D．动能和重力势能之和一直减小解析：选BD.物体刚接触弹簧一段时间内，物体受到竖直向下的重力和竖直向上的弹力，且弹力小于重力，所以物体的合外力向下，物体做加速运动，在向下运动的过程中弹簧的弹力越来越大，所以合力越来越小，即物体做加速度减小的加速运动，当弹力等于重力时，物体的速度最大，之后弹力大于重力，合力向上，物体做减速运动，因为物体速度仍旧向下，所以弹簧的弹力仍旧增大，所以合力在增大，故物体做加速度增大的减速运动，到b点时物体的速度减小为零，所以从a到b的过程中物体的速度先增大再减小，即动能先增大后减小，A错误；从a点到b点物体一直在下落，重力做正功，所以物体的重力势能在减小，B正确；所受合外力先减小后增大，C错误；从a到b的过程中物体的机械能转化为弹簧的弹性势能，所以D正确．8.如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A．两滑块组成的系统机械能守恒B．重力对M做的功等于M动能的增加C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功解析：选CD.因为M克服摩擦力做功，所以系统机械能不守恒，A错误．由功能关系知系统减少的机械能等于M克服摩擦力做的功，D正确．对M，除重力外还有摩擦力和轻绳拉力对其做功，由动能定理知B错误．对m，有拉力和重力对其做功，由功能关系知C正确．9.如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1m．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2.则下列说法中正确的是()A．下滑的整个过程中A球机械能守恒B．下滑的整个过程中两球及轻杆组成的系统机械能守恒C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2m/sD．系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为eq\f(2,3)J解析：选BD.下滑过程中小球A、B和轻杆组成的系统机械能守恒，B对，A错；设两球到达光滑水平面上的速度为v，由机械能守恒定律得mAg(Lsin30°＋h)＋mBgh＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2，代入数据得v＝eq\r(\f(8,3))m/s，选项C错；B球的机械能增加量为ΔEB＝eq\f(1,2)mBv2－mBgh＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(8,3))))\s\up12(2)－2×10×0.1))J＝eq\f(2,3)J，故D对．三、非选择题10.如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度，求：(1)斜面倾角α；(2)B获得的最大速度v.解析：(1)设当物体A刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xA.对A有：kxA＝mg此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT三个力的作用．设B的加速度为a，根据牛顿第二定律对B有：FT－mg－kxA＝ma对C有：4mgsinα－FT＝4ma当B获得最大速度时，有a＝0由此解得sinα＝0.5，所以α＝30°.(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝eq\f(mg,k)，显然xA＝xB当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离为xA＋xB.由于xA＝xB，则弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sinα－mg(xA＋xB)＝eq\f(1,2)(4m＋m)v2解得v＝2geq\r(\f(m,5k)).答案：(1)30°(2)2geq\r(\f(m,5k))11．(2016·吉林长春调研)如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧