2017-2018学年高中数学苏教版必修4学案：1.2.3.1三角函数的诱导公式(一～四)

11.2.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一～四)1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)[基础·初探]教材整理1诱导公式(一)阅读教材P18“公式一”的有关内容，完成下列问题．终边相同的角的诱导公式(公式一)：sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．25π9π(1)sin(3)tan6＝________；(2)cos4＝________；)(7π－4＝________.25π(π)π14π＋【解析】(1)sin6＝sin6＝sin6＝2.219π(π)π2422π＋(2)cos＝cos44＝cos＝.(7π)(4＝tanπ)π－－2π＋4＝tan4＝1.(3)tan122【答案】(1)(2)2(3)1教材整理2诱导公式(二)阅读教材P18“公式二”的有关内容，完成下列问题．终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.(π3)－(1)sin＝________；(2)cos330°＝________；(π)－(3)tan4＝________.(π)π3－【解析】(1)sin3＝－sin3＝－2.3(2)cos330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos30°＝2.(π)π－(3)tan4＝－tan4＝－1.33【答案】(1)－2(2)2(3)－1教材整理3诱导公式(三)阅读教材P19“公式三”的有关内容，完成下列问题．终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；21tan(π－α)＝－tan_α.5π3(1)sin6＝________；(2)cos4π＝________；(3)tan1560°＝________.5π(π)π1＝sin6＝2.2π－(1)sin＝sin66【解析】((2)cos4＝cos3ππ)ππ－4＝－cos4＝－2.(3)tan(4×360°＋120°)＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－3.1223【答案】(1)(2)－2(3)－教材整理4诱导公式(四)阅读教材P19“公式四”的有关内容，完成下列问题．终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：sin(π＋α)＝－sin_α；cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.7π(1)sin225°＝________；(2)cos6＝________；10π(3)tan3＝________.2【解析】(1)sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－2.()7πππ3π＋(2)cos6＝cos10π6＝－cos6＝－2.(π3)2π＋π＋(3)tan3＝tan21(π3)＝tanπ＋π＝tan3＝3.23223(3)【答案】(1)－(2)－[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]给角求值求下列各式的值：4π19π21π(1)sin3·cos6·tan4；(2)cos(－2640°)＋sin1665°；1＋2sin290°cos430°(3)sin250°＋cos790°.【导学号：06460012】【精彩点拨】利用诱导公式先把任意角的三角函数化为锐角三角函数，再求值．(π)(7π)(5π4)π＋2π＋4π＋6·tan【自主解答】(1)原式＝sin()()()π7π5π＝－sin3cos6tan43·cos21(π)(π4)3π＋π＋＝－2cos6tan3(π6)(π)－costan＝－243(3)3－＝－2×2×1＝4.(2)原式＝cos[240°＋(－8)×360°]＋sin(225°＋4×360°)＝cos240°＋sin225°＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°)1＋2＝－cos60°－sin45°＝－.21＋2sin－70°＋360°cos70°＋360°(3)原式＝sin180°＋70°＋cos70°＋2×360°sin70°－cos70°21－2sin70°cos70°＝cos70°－sin70°＝cos70°－sin70°sin70°－cos70°＝cos70°－sin70°＝－1.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：[再练一题]1．求下列各三角函数式的值：21()31π－6(1)sin1320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．【解】(1)sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)3＝－sin60°＝－2.(31π)(5ππ)()－－6π＋π－6＝cos6＝cos6(2)cosπ3＝－cos6＝－2.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.化简求值化简下列各式：cosπ＋α·sinα＋2π(1)sin－α－π·cos－π－α；cos190°·sin－210°(2)cos－350°·tan－585°.【精彩点拨】利用诱导公式一，二，四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．－cosα·sinα－sinα＋π·cosπ＋α【自主解答】(1)原式＝－cosα·sinα＝sinα·－cosα＝1.cos190°·－sin210°(2)原式＝cos350°·－tan585°21cos180°＋10°·sin180°＋30°＝cos360°－10°·tan360°＋225°－cos10°·－sin30°＝cos10°·tan225°sin30°sin30°1＝tan180°＋45°＝tan45°＝2.1．三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．2．含有kπ＋α的三角函数式的化简：用诱导公式进行化简，碰到kπ＋α的形式时，常对k分奇数、偶数进行讨论，其目的在于将不符合诱导公式条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的目的．[再练一题]sinkπ－αcos[k－1π－α]2.sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．【解】(1)当k＝2n(n∈Z)时，sin2nπ－αcos[2n－1π－α]原式＝sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋αsin－α·cos－π－α＝＝sinπ＋α·cosα－sinα·－cosα－sinα·cosα＝－1；21当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α]sinπ－α·cosαsinα·cosα＝sinα·cosπ＋α＝sinα·－cosα＝－1.综上，原式＝－1.[探究共研型]给值求值问题探究1“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用α－15°表示“165°＋α”吗？由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．【提示】探究2若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？【提示】由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15)°＝－1.求值．(π)1(5π3)＋α＝－，求sinα－(1)已知sin32的值．(π)(＝，求cos7π6)3＋α＋α)(2)已知cos63的值．(π)(5π3＋α－()()7ππ＋α6＋α＝π.α－3＝2π；【精彩点拨】(1)(2)6－(π)(5π)α＋α－【自主解答】(1)∵3－3＝2π，(5π)[(α＋3＝sinπ3)]α－－2π∴sin21()π1α＋＝sin3＝－2.)()(6－7ππ()[()]＋απ＋α＋＝cos7ππα＋6＝π，α＋(2)∵∴cos66(π＝－cos6)3＋α＝－3.对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.[再练一题](π)3(5)－sinπ－απ＋α636()()ππ＋αα－62α－的值．3．已知cos＝，求cos56)]－sin(cos6【解】[(ππ)2π－－α－α＝cos－sin266(π)[(π)]－α－α1－cos2＝－cos－66(π)(π)－α＝cos6－α－cos6－1()2332＋3＝32－3－1＝－.3[构建·体系]211．sin585°＝________.【解析】sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°2＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－2.22【答案】－23π2．tan6＝________.23π(π)(π6)4π－－6＝tan【解析】tan6＝tanπ3＝－tan6＝－3.33【答案】－23．sin(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1＝________.原式＝sin2α＋cosα·cosα＋1【解析】＝1＋1＝2.【答案】24．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________.【解析】原式＝(－sinα)·(－cosα)·tanα＝sin2α.【答案】sin2α2135．已知sin(π＋α)＝，且5α是第四象限角，求cos(α－2π)的值.【导学号：06460013】33【解】∵sin(π＋α)＝5，∴sinα＝－5，又α是第四象限角，(35)41－2＝5，－∴cosα＝1－sin2α＝4∴cos(α－2π)＝cosα＝5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(五)三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题21()π－31．cos＝________.(π)π1－【解析】cos3＝cos3＝2.12【答案】1()π－，02．若sin(π＋α)＝，2α∈2，则tanα＝________.1【解析】∵sin(π＋α)＝－sinα＝2，1∴sinα＝－2，又α∈(π)－，0，2π∴α＝－6，tanα＝tan(π)6＝－3.3－3【答案】－3(π)30，2，tan(π－α)＝－4，则sin3．(2016·南京高一检测)已知α∈α＝________.33【解析】由于tan(π－α)＝－tanα＝－4，则tanα＝4，解方程组Error!3得sinα＝±5，又α∈()π0，2，所以sinα＞0，3所以sinα＝5.35【答案】(π4)3(2＝，则sin5π)4－α的值为________．α－4．已知sin21(5π)[(π)]－α＝sinπ－α－4sin)4【解析】(π3α－＝sin＝.4232【答案】sinα－3π＋cosπ－αk∈Z)，则sin－α－cosπ＋α的值为π5．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，2________．－sinα－cosαα＝m，原式＝－sinα＋cosα＝【解析】∵tan(5π＋α)＝m，∴tan－tanα－1－m－1m＋1－tanα＋1＝－m＋1＝m－1.m＋1m－1【答案】6．已知f(x)＝sinx，下列式子中成立的是________(填序号)．①f(x＋π)＝sinx；②f(2π－x)＝sinx；③f(－x)＝－sinx；④f(π－x)＝f(x)．【解析】正确的是③④，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx＝f(x)．【答案】③④7．tan300°＋sin450°＝________.【解析】tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin90°＝－tan60°＋sin90°＝1－3.【答案】1－38．(2016·苏州高一检测)若cos100°＝k，则tan80°的值为________.【导学号：06460014】100°＝－k，且k＜0.于是sin80°【解析】cos80°＝－cos211－k2＝1－cos280°＝1－k2，从而tan80°＝－.k1－k2k【答案】－二、解答题29．若cos(α－π)＝－，3sinα－2π＋sin－α－3πcosα－3π求cosπ－α－cos－π－αcosα－4π的值．【解】原式＝－sin2π－－＋αsin3παcos3πα－－cosα－－cosαcosαsinα1－cosαcosα1－cosαsinα－sinαcosα－cosα＋cos2α＝－＝＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα2＝－3，2∴cosα＝3，∴α为第一象限角或第四象限角．2当α为第一象限角时，cosα＝3，5sinα＝1－cos2α＝3，sinα55＝，∴原式＝－2.∴tanα＝cosα22当α为第四象限角时，cosα＝3，215sinα＝－1－cos2α＝－3，sinα55∴tanα＝cosα＝－2，∴原式＝2.5综上，原式＝±2.10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．【解】由条件得sinA＝2sinB，3cosA＝2cosB，2平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±2，π3又∵A∈(0，π)，∴A＝4或4π.33当A＝4π时，cosB＝－2＜0，(π∴B∈2)，，π∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．π3π∴A＝4，cosB＝2，∴B＝6，7∴C＝12π.[能力提升]1．(2016·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sinαcosα的值为________．【解析】∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3，21sinαcosαtanα3∴sinαcosα＝sin2α＋cos2α＝tan2α＋1＝10.310【答案】2．(2016·南通高一检测)已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________．【解析】由于tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3，－3又tan600°＝a，－3∴3＝a，即a＝－