直线与平面的相对位置

§2-5直线与平面、平面与平面

之间的相对位置

一、平行问题

1.直线与平面平行

定理：直线平行于平面上的某一条直线。

即：如果直线平行于平面，则直线的各面投

影必与平面上一直线的同面投影平行。例1：过点M作直线MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'无数解例2：过点M作直线MN平行于V面和△ABC。解：正平线abcmm'a'b'c'因为△ABC为正垂面，所以直线MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又因为MN为正平线，所以mn平行于OX轴。n'n有唯一解有多少解？2.平面与平面平行几何条件：1）若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。2）若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'例3：过点K作平面平行于△ABC。解：••a'ab'bc'ck'k分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。作图：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'1.一般位置直线与特殊位置平面相交

交点是直线与平面的共有点。讨论：（1）求直线与平面的交点；（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。

二、相交问题a'ab'bd'de'ef'f例1：求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性。分析：因△DEF的水平投影def有积聚性，交点K是△DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。kk'1'1(2')2由于ak在平面的前方，故正面投影ak可见，kb被平面遮住的部分为不可见。

例2：求直线AB与水平面的交点K，并判别可见性。aa'bb'k'k由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面投影k。由于a'k'在水平面的上方，故水平投影ak可见，kb被圆遮住的部分为不可见。•2.特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交(e)d•aa'bb'cc'd'e'(k)借助于辅助线的方法求出交点。nn'•判别可见性：由V面的b'c'与d'e'的重影点1'(2')求出H面的1在直线DE上，2在BC上，1的Y坐标大于2，所以d'k'可见，k'e'被遮住部分不可见。k'1'(2')12例3：求铅垂线DE与△ABC的交点K，并判别可见性。例4：求直线MN与平面△ABC的交点。aa'bb'cc'n'•m(m')nk'd'dk•作图：连c'k'与a'b'交于d'，由d'求出d，连cd交mn于k。k为所求。判别可见性：在H面中mn与ac的交点1（2），即是直线MN与平面上AC边对H面的重影点，求出1'、2'；因1'的Z坐标大，所以kn可见。11'(2)2'

两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。讨论：A.求两平面的交线（方法）

1）确定两平面的两个共有点；

2）确定一个共有点及交线的方向。

B.判别可见性。3.一般位置平面与特殊位置平面相交分析：∵△ABC与△DEF交线的正面投影m'n'为△DEF的DE、EF的正面投影d'f'、e'f'与△ABC的正面投影的交点，由m'n'求出m、n，mn为可见与不可见的分界线。判别可见性：∵V面m'n'f'在△a'b'c'的上方，∴mnf可见，demn被△ABC遮挡部分为不可见。m'n'例5：平面△ABC为投影面平行面与一般位置平面△DEF相

交，求交线并判别可见性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'mn例6：求平面△ABC与铅垂面△DEF的交线KL，并判别可见性。aa'bb'cc'dd'ee'ff'kl分析：∵△DEF是铅垂面，∴其水平投影有积聚性。可直接求出k、l，再由k、l求出k'、l'，交线是可见与不可见的分界线。k'l'三、垂直问题1.直线与平面垂直

定理：如果一直线垂直于某一平面内的两相交直

线，则直

线必垂直于该平面。PABCDLG例：过已知点D作平面△ABC的垂线。kXOacbda'b'c'd'k'1'2'12分析：为了使过点D所作的直线垂直于△ABC，可在平面内作一水平线和正平线，然后过点D作直线垂直于平面内的水平线和正平线。过点A作AⅠ∥H面，即过a'作a'1'∥OX轴，并求出水平投影a1；过C作CⅡ∥V面，即过c作c2∥OX轴，并求出c'2'。过D作DK垂直于AⅠ、CⅡ，即作dk⊥a1，d'k'⊥c'2'

投影特性：如果一直线垂直于某一平面，则该直线的水平投影必定垂直于该平面内水平线的水平投影；直线的正面投影必定垂直于该平面内的正平线的正面投影。例10：求点D到正垂面△ABC的距离。因为△ABC的正面投影有积聚性，平面内的正平线的投影与a'b'c'重合，与△ABC垂直的直线的正面投影必垂直于a'b'c'。正垂面内与水平面平行的直线，只有正垂线，可求出k'。正垂线的水平投影与OX轴垂直，因此过点D所作正垂面垂线的水平投影必平行于OX轴，即与正垂面垂直的直线是正平线，根据点的投影规律可求出k。k'kabcda'b'c'd'XO结论：如直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线。2.两平面垂直

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么该两个平面垂直；反之，如果两平面垂直，那么经过第一个平面内一点作垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。pqABCD