2021-2022高三摸底测试数学知识全覆盖黄金8套仿真模拟（1）-备战2022年新高考全真数学模拟试卷（适用新高考地区）解析版

高考模拟试卷系列新高考2021-2022学年度高三摸底测试数学仿真模拟（1）时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，再利用集合的交运算即可求解.【详解】，，所以.故选：C点睛：一元二次不等式、集合交集运算2．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的运算法则求出复数，然后得到对应点的坐标，从而可判断点所在的象限.【详解】复数，所以复数对应的点为，即复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：.3．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将数据与进行比较即可区分大小关系.【详解】因为；；，故.故选：D.【点睛】本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.4．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值.记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记为服用第种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则中最小的，中最大的分别是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图像，依据题意逐个判断得出答案.【详解】①设，则，即直线的斜率，由图可知，直线的斜率最小，即最小；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应在首次降到峰值一半时对应点，不妨记为，由图可知到经历的时间最长，所以中最大的是.故选：B.【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力以及转化与化归的思想，考查了图中量的几何意义，属于基础题.5．函数在上不单调，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，根据题意可得，即可得解.【详解】求导可得，由，可得，所以的最小值为，若要函数在上不单调，则，解得，故选：A6．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，分析可得为奇函数，可以排除D，进而分析可得区间上有，在区间上有，排除B、C，即可得答案.【详解】根据题意，，，有，即函数为奇函数，排除D，在区间上，，，则有，在区间上，，，则有，排除B、C，故选：A.【点评】本题考查函数的图象分析，注意利用排除法分析，属于基础题.7．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为由椭圆和双曲线的定义，不妨设在第一象限，求出为焦点），在中利用余弦定理，求出关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，左右焦点分别为不妨设在第一象限，，得，在中，，即，设椭圆和双曲线的离心率分别为，设，取，，当时，取得最大值为.故选:A.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题.8．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台､三茅宫､白云观的标记物；到中医､气功､武术及中国传统文化的书刊封面､会徽､会标这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.已知函数，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组表示的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意化简即可得出.【详解】题中的不等式组表示的平面区域为或.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．两个相关变量，的5组对应数据如下：8.38.69.911.112.15.97.88.18.49.8根据上表，可得回归直线方程，求得.据此估计，以下结论正确的是（）A． B． C． D．当时，【答案】AC【分析】根据回归直线过样本中心点，求得代入计算即可得出结果.【详解】易求得，，∴..故选:AC.10．已知实数，，，则下列说法中，正确的是（）A． B．C． D．存在a，b，使得直线与圆相切【答案】BC【分析】分别利用基本不等式可化简判断.【详解】实数，，，对A，，当且仅当，即时等号成立，故A错误；对B，，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，可得，则，，当且仅当时等号成立，故C正确；对D，圆心到直线的距离，（），故直线与圆相交，故D错误.故选：BC.11．设F是抛物线的焦点，过F且斜为的直线与抛物线的一个交点为A，半径为的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为D，以下结论正确的是（）A．线段CD的长为8 B．A，C，F三点共线C．为等边三角形 D．四边形ABCD为矩形点睛：抛物线性质探究【答案】BCD【分析】由已知先求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，然后求出过焦点的直线方程并与抛物线方程联立，求出点的坐标，再求出圆的方程，即可求出点，的坐标以及点关于点的对称点的坐标，然后对应各个选项即可判断是否正确．【详解】由抛物线的方程可得：，准线方程为：，过点且斜率为的直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，解得或，取的坐标为，，则，所以圆的方程为：，令，则，，，设关于点的对称点为，所以，，得，所以，故A错误，选项，所以，所以，，三点共线，故B正确，因为，且，所以三角形为等边三角形，故C正确，由，，，的坐标可得：，，，所以四边形为矩形，故D正确，故选：BCD12．由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中不正确的是（）A．平面B．平面平面C．平面平面D．【答案】ACD【分析】作出几何体的直观图，可知几何体为正八面体，根据线面垂直的判定定理可判断A选项的正误，利用面面平行的判定定理可判断B选项的正误，利用求出平面与平面所成二面角的余弦值，可判断C选项的正误，求出异面直线、所成的角，可判断D选项的正误.【详解】作出几何体的直观图如下图所示，由题意可知，该几何体为正八面体，如图所示，此时，、、、分别与、、、重合.对于A选项，由题意可知，为等边三角形，，若平面，由于平面，，这与矛盾，A选项错误；对于B选项，由正八面体的性质可知，四边形、均为菱形，所以，，平面，平面，平面，同理可证平面，，、平面，所以，平面平面，B选项正确；对于C选项，设平面与平面的交线为直线，设，分别取、的中点、，连接、、，四边形为正方形，则，平面，平面，平面，平面，平面平面，，，，是边长为的等边三角形，且为的中点，，，同理可得，所以，二面角的平面角为，且，因为四边形是边长为的正方形，则且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，则，所以，，因此，平面与平面不垂直，C选项错误；对于D选项，由正八面体的性质可知，四边形为菱形，则，所以，异面直线、所成的角等于，故与不垂直，D选项错误.故选：ACD.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式中的常数项为__________.【答案】15【分析】由该二项式的通项公式即可得出.【详解】由题意可得，通项为，令，得，所以常数项为，故答案为：.14．已知数列{an}满足：an＝，定义使a1·a2·a3…ak(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为__________.【答案】1349【分析】根据题意，分类讨论，当时，为幸福数，当时，由，由为整数，即可得解.【详解】当时，为幸福数，符合题意；当时，令，则.由.故“幸福数”的和为.故答案为：1349【点睛】本题考查了与数列相关的新定义，考查了对数的运算以及等比数列求和，考查了分类讨论思想，属于中档题.本题解题关键为：（1）首先理解新定义，对新定义的正确理解是解题关键；（2）陌生的问题熟悉化，把新定义问题转化为熟悉的代数关系.15．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.【答案】【分析】分离参数，构造函数，利用导数讨论的单调性，再结合关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，即可求出的取值范围.【详解】，，设，，设，，即在是减函数，又，当时，，即，当时，，即，在为增函数，在为减函数，当时，，，关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，由上可知，实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数解决方程根的问题，属于较难题.16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，点，点.在点的运动过程中，的面积的最大值为且满足成立的点有且只有个.当点在轴的下方运动时，记的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最大值为________，的外接圆面积的取值范围为______________.【答案】【分析】若成立，分别讨论和时矛盾，可得，则得出，由三角形面积最大值得，求出，设，由余弦定理可得，由三角形面积得，即可求出最大值；设的外接圆的圆心，设,其中，由，可得，令，则，利用导数求出，，即可求出.【详解】若成立，显然当在左右顶点时，等式不成立，则和为锐角，若，则，即，则，即，则，同理，，则，则，与已知矛盾；若，则，即，则，即，则，同理，，则，则，与已矛盾，综上，若成立，，点在以AB为直径的圆上，该圆与椭圆恰有3个交点，由对称性，可得其中一个交点为椭圆的下顶点，，的面积的最大值为，，，可解得，设，在中，由余弦定理可得，，则可得，，又，，则，由正弦定理可得，则，，当在下顶点时，最小，此时，取得最大值为；可得的外接圆的圆心在轴上，设圆心为，设,其中，则，即，可得，令，则，则令，则，当时，，单调递减，时，，单调递增，，，，，，，则，则的外接圆面积.故答案为：；.【点睛】本题考查椭圆综合问题，解题的关键是判断出若成立，，从而求出.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中.若问题中的三角形存在，请求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在，满足且，________________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选①，由正弦定理化边为角后可求得，然后两边平方后．同时由余弦定理把用表示后可得，从而得出，再由余弦定理可求得，选②直接由余弦定理求得，然后两边平方后．同时由余弦定理把用表示后可得，从而得出，再由余弦定理可求得，选③，由正弦定理化边为角后可得或，前者与已知不符，后者得，由勾股定理，已知式平方后求出的关系，说明三角形不存在．【详解】解：选①∵，∴∴又，∴B为锐角，故∵，∴∴，即.∵，∴代入，求得故存在，且选②.∵，∴∵，∴∴，.即.∵，∴代入，求得故存在，且选③.∵，∴∴∴或.∴或∵，∴不合题意∴.∴∴∵，∴∴可看成是关于的一元二次方程，，故不存在．【点睛】方法点睛：本题考查正弦定理、余弦定理，在解三角形问题中出现边角关系时，常常应用正弦定理进行边角转换，转化为角的关系后由三角函数恒等变换公式变形求得角或角的关系，转化为边的关系后直接求出边的比值或应用余弦定理求得角．18．设为数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，设数列的前n项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据与的关系可得，从而可得是公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）可得，再利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）由，得①则当时，②①-②得.所以，即.又因为，且，所以是公比为2的等比数列.所以.（2）由①知，则.所以.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.19．如图，四棱锥，四边形为平行四边形，，，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）推导出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可得出平面，最后利用面面垂直的判定定理可证得结论；（3）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能计算出二面角的余弦值.【详解】（1）四边形为平行四边形，，为中点，为中点，，平面，平面，平面；（2）四边形为平行四边形，，为、中点，，，，，，平面，平面，，又，，平面，平面，平面平面；（3）以点为坐标原点，以、分别为轴、轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，，、、、，，，，设平面和平面的法向量分别为，，由，得，令，可得，由，得，令，可得，，由图形可知，二面角的平面角为钝角，它的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号小区（分钟）小区（分钟）（1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？【答案】（1）210分钟，215分钟；，；（2）①15元；②64元；③选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.【分析】（1）利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可；（2）①计算小区一月至少需要名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；②由一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出小区一月需要专职工作人员数量即可；③根据以上的运算，分析可以得出结论.【详解】（1）（分钟），（分钟），，；（2）①按照方案，小区一月至少需要名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），②由（1）知，小区平均每位住户每周需要分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，∵一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，∴小区一月需要专职工作人员至少（名），则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.【点评】本题文字较多，能够正确分析题意、理解题意是解决问题的关键，所以提醒同学们在备考过程中可以适当的做一些辅助阅读帮助提升此能力.21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于点，直线与轴的交点为．（1）求椭圆的离心率；（2）过点且斜率不为0的直线交椭圆于、点，线段的中点为点，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积