广东省惠州市2022届高三第二次调研考试-数学

惠州市2022届高三第二次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A． B．C．D．2.在四边形中，，那么四边形为（）A．平行四边形 B．菱形 C．长方形D．正方形3.在等差数列中，若，则（）是否k≤n开始S=1,k=1结束S=S×2输出S是否k≤n开始S=1,k=1结束S=S×2输出Sk=k+1输入n第5题图4.给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（）A．充分非必要条件.B．必要非充分条件.C．充要条件.D．既非充分也非必要条件.5.如右图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是（）A．B．C．D．6.△ABC中，，则△ABC的面积等于（）A． B．C． D．7.从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有（）A．140种B．120种C．35种D．34种8.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图像大致是（）ABABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一学生抽取的人数是．10.若，其中是虚数单位，则__________．11.曲线在点处切线的方程为__________．12.在的二项展开式中，的系数是___________．ABCD甲乙ABCDEF甲乙将l向右平移lxyO①②③13.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被、甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值，那么甲的面积是乙的面积的倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形，乙：小矩形）、②（甲：大直角三角形，乙：小直角三角形）中体会这个原理ABCD甲乙ABCDEF甲乙将l向右平移lxyO①②③（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）ABCDO（第14题图）14.（几何证明选讲选做题）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，AC和AD是⊙O的两条弦，ACABCDO（第14题图）则∠CAD=．15.（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本题满分12分）已知向量（1）若，求向量与的夹角；（2）当时，求函数的最大值。17.（本题满分12分）如图，平面⊥平面，为正方形，，且分别是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．18.（本题满分14分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．19.（本题满分14分）已知数列中，（1）设，求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式（3）设，求证：数列的前项和．20.（本题满分14分）已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程：（2）若点为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．21.（本题满分14分）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意D，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；（3）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.惠州市2022届高三第二次调研考试数学试题(理科）答案一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678答案DBABCDDB1．【解析】A为函数的定义域，于是A=，故,故选D。2．【解析】平行四边形ABCD，又由于，故为菱形。故选B.3．【解析】，故。故选A。4．【解析】由于“直线与平面垂直”与“直线与平面内任意一条直线都垂直”互为充要条件，故“直线与平面垂直”可推出“直线与平面内无数条直线都垂直”，但反推不成立，故选B。5．【解析】k=1累加至k=3，共执行循环体3次，故累乘至,故选C.6．【解析】由正弦定理解得，故或；当时，，△ABC为Rt△，；当时，，△ABC为等腰△，，故选D。BD1QGP0MPN7．BD1QGP0MPN8．【解析】取中点Q，中点G，中点，则过MN和的截面如图所示：由图可知，P由B运动到P0过程中，y随x的增大而增大；P由P0运动到D1过程中，y随x的增大而减小，故排除A,C。而P由B运动到P0过程中，为定值，故y为关于x的一次函数，图像为线段；后半段亦同理可得，故选B。二.填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）9．4010．311．12．1513．14．15．9．【解析】设高一抽取x人，由分层抽样的等概率原则，，解得。10．【解析】由得，故11．【解析】由点斜式得切线方程：，整理得。12．【解析】的二项展开的通项为，即，令，得，故系数为。13．【解析】由①②类比推理可知:,故14．【解析】连结BC、BD，则∠ACB=∠ADB=90°，Rt△ABC中，；Rt△ABD中，；.∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=.15．【解析】两圆的标准方程为，，两圆心坐标为，由两点间的距离公式可得圆心距为。三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本题满分12分）解：（1）当，…………1分 …………3分 …………4分…………5分（2） …………9分 ， ， 故…………11分 …………12分17．（本题满分12分）（1）证明：由于平面⊥平面,且平面∩平面=………1分而即，且平面…………2分由面面垂直的性质定理得：平面…………4分M（2）解法一：取BC的中点M，连结EM、FM，则FMyzxMyzx…………12分yxOFHABD 所以函数是集合M中的元素.…………4分yxOFHABD（2）假设方程存在两个实数根）， 则，………5分不妨设，根据题意存在数 使