利用导数判断函数的单调性课件人教版选修

第一章1.31.3.1理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点二考点一考点三问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．问题3：结合问题1、2探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系？提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．利用导数判断函数单调性的法则1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.[例1]求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．[思路点拨]

根据函数的单调性与导数正负的关系，只要证明f′(x)在(0，＋∞)上为正，在(－∞，0)上为负即可．[精解详析]由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0.故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．[一点通]

利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 (

)A．y＝sin2x

B．y＝xexC．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.答案：B2．证明函数f(x)＝x＋sinx在R上是增函数．证明：f′(x)＝1＋cosx，∵－1≤cosx≤1，∴0≤1＋cosx≤2，当且仅当cosx＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0.∴f(x)＝x＋sinx在R上是增函数．答案：A[一点通]

已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号对有限个x成立．6．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为 (

)A．1 B．2C．－6 D．－12答案：C1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．