§3曲面的第一基本形式

作者：王幼宁作者：王幼宁--#-这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念(将在后续几何或代数课程中出现)的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(E*G*-F*2:||J||Egg-F2.例2以平面弧长参数曲线为准线作柱面S，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数(u,V)下可以表示为dS2=du2+dv2.解：平面弧长参数曲线设为C:a(s*)，设S:r(s*,v)=a(s*)+vl,l=const.,111=1.则其第一基本形式为ds2=|dr|2=|a，(s*)ds*+1dv|2=ds*2+2[a，(s*)•1]ds*dv+dv2.当直纹与准线C所在平面垂直时，a，(s*)•1三0,则令(u,v)=(s*,v)，便可满足要求．当直纹与准线C所在平面不垂直时，可选取新的平面弧长参数曲线使直纹与新准线所在平面垂直(想想理由并自行给出解析论证)，故可转化为上一种情形. 口三．交角与面积元素作为应用，下面考虑如何利用曲面的第一基本形式，以确定交角和面积等几何量．对于不同的曲线或曲面，它们在公共点的交角总是指它们在该点处的切线或切平面之间的夹角，而有向交角通常是指它们在该点处的单位切向或有向切平面之间的有向夹角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会.1．曲面上的曲线的交角假设曲面S的第一基本形式以(3.2)式确定；曲面S上的两条曲线Ci:{uv==vuii((ttii))相交于点P0:r(u0,v0)，(u0,v0)=(ui(ti0),vi(ti0))，i=1,2．Ci在点P0处的自然切向为r(勺，v0)uif(to0)+rv(勺，v0)匕'“•简记ai=ui，(t00)，bi=vi，(ti0)，

E0=E(u0,%),F0=F(u0,%),G0=G(勺，%).则Ci在点P0处的交角00的余弦确定为r,(uo,％)ui'(4o)土r，(uo,％)匕'Go)•r,四%)u；(加)士r，(uo,％)3'(M)Iru(u0，v0)u1f(t10)+rv(u0，v0)v1f(t10)1 Iru(u0，v0)u2‘(t20)+rv(u0，v0)v2‘(t20)1 %。2E0+(4b2+b1a2)F0+b1b2G0 \,a12E0+2a1b1F0+b12G0a2a22E0+2a2b2F0+b22G0利用微分形式的不变性，可知vi=vi(ti);广「W:vif(ti0)=ai:bvi=vi(ti);广「W:vif(ti0)=ai:biEdu1du2+F(du1dv2+Jv1du2)+Gdv1dv2 |\'Edu12+2Fdu1dv1+Gdv12Edudu22+2Fdu2dv2+Gdv22ui=u(t),vt=vi(t)；t.=ti0此式自然推广到一般切方向之上；即，设点(u,v)处的两个切向微元在自然基｛ru,rv｝下分别为du:dv和5u:5v，则其间夹角余弦确定为(3.12)cos0=Edu5u+F(du5v+dv5u)+Gdv5v(3.12)cos0=Edudu2+2Fdudv+Gdv2E5u5u2+2F5u5v+G5v2该式表明：曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．此处要注意，参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系.可参考图3-13观察这个事实.将（3.12）式用于坐标曲线族，将得到有价值的推论，列为如下定理.定理1对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第基本形式系数矩阵处处是对角阵．证明（从自然切向的数量积出发，直接易证；下述过程是为了帮助理解（3.12）式）在本节通用记号下，两族坐标曲线的切线分别为1:0和0:1，；从而两族坐标曲F0:1，；从而两族坐标曲代入（3.12）式即得坐标曲线夹角余弦cos0=寻线处处正交的充要条件为F三0，即得结论. 口定义2对正则曲面S:r=r（u，v），若两族坐标曲线处处正交，则称参数（u，v）为曲面S的一组正交参数，同时称这两族坐标曲线构成曲面S的一组正交参数网或正交网．

定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．在计算问题中，简短的第一基本形式显然会带来许多方便；因此，正交参数无疑是曲面上的一种较好的参数．关于曲面上较“好”参数(不一定正交)的讨论，将在§5以及第四章和第六章中多处出现．例3对正则曲面S:r=r(u,v)，求两族坐标曲线的二等分角轨线C的微分方程．-u-+EE-解：对于两族坐标曲线的自然切向ru和r-u-+EE-即沿C有I即沿C有故轨线C的切向微元rudu+rvdv处处与该向量场平行，du:dv=从而所求微分方程为EEdu-Ggdv=0.口例4已知正则曲面S:r=r(u,v)的第一基本形式确定为(3.2)式．设微分方程a(u,v)du2+2p(u,v)dudv+y(u,v)dv2=0在定义区域内过点(u0,v0)有且仅有不相切的正则解曲线「：{u=ui(ti)，i=1,2；两条曲面S上的曲线iv=vi(ti)C:{u=ui(ti)相交于点P:r(u,v)．试证：两条曲线C正交于点P的充要iv=vi(ti) 0 00 i 0条件为(Ey-2Fp+Ga)| =0.证明：记a0=a(u0,；):=P00=0)p(u0,v0),y0=y(u0,v0).记两条曲线g在点(u0,v0)处的两个切向微元分别为a.:々，则由正则性可知ai2+b2丰0；由微分方程可知a。a.2+2P°abi+y0bi2=0•而由(3.⑵式,Ci之间正交条件写为a1a2E0+(a1b2+b1a2)F0+b1b2G0=0．以下分两种情形讨论．情形①：a0=y0=0，则p0w0；否则过点(u0,v0)的正则曲线都是解曲线，而与已知矛盾．此时，由微分方程知aibi=0，故只能有两组解{a1=0,b1w0， {b1=0,a1w0，a2w0,b2=0；或b2w0,a2=0；

对应正交条件等价化为F0=0，即为所论条件.情形②：％和Y0不同时为0，不妨设%丰0；则由微分方程可知，必有bi丰0；此时，不妨规范为b.=1，则方程转化为%a2+2P0a.+30•此时，由一元二次方程系数的性质，得知a1+aa1+a2%0a1a2%0从而a1a2E0+(a1b2+b1a2)F0+b1b2G0=a1a2E0+(a1+a2)F0+G0=十E0+*F0+G0=}(Y0E0-2p0F0+a0G0).%0 %0 %0此式说明所论条件为充要条件．以上情形是完全分类，故结论得证. 口2．曲面的面积元素和区域面积现考虑曲面S的面积在已知第在参数区域U内，任取矩形使其分别以点(u,v),(u+du,v),(u,v+dv),(u+du,v+dv)为顶点，则在曲面S上对应形成以点P1:(u,v),P2:(u+du,v),P3:(u,v+dv),P4:(u+du,v+dv)为顶点的坐标曲线四边形．按照微积分理论，在略去更高阶无穷小量时，该曲边四边形的面积就等于直边三角形P1P2P3面积的二倍，从而就等于由向量P1P2和P1P3所张成的平行四边形的面积．而在略去更高阶无穷小量时，P1P2xP1P3=[r(u+du,v)-r(u,v)]x[r(u,v+dv)-r(u,v)]~[r(u,v)du]x[r(u,v)dv]=yEG-F2dudvn(u,v),故曲面的面积元素可以表示为do=|ruxrv\dudv=Egg-F2dudv,其中第二个等号是根据(3.7)式.进而，曲面上任一有界区域r(U0)的面积A(U0)可以表示为A(U0)=JJdo=JI|ruxrjdudv=JJ7EG-F2dudv.U0 U0UV U0在参数变换下，根据(3.8)和(3.10)式以及二重积分的变量代换公式，易知面积元素对应相同，面积也对应相同；这与几何属性是相容的.以上结果的核心，列为如下定理．定理2正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．.证明正则曲面的第一基本形式在容许参数变换下不变..证明正则曲面的第一基本形式在3的正交标架变换下不变..试求下列曲面的第一基本形式：2K2vK2+"2-1)U2+V2+1，u2+V2+1，u2+V2+1②悬链面r(u,t)=(t,cosucht,sinucht)．.在螺面r=(ucosv,usinv,Incosu+v)上，试证：每两条螺线(v线)在任一u曲线上截取等长的曲线段．.球面上的斜驶线是指与经线交成定角的轨线，试在经纬参数化下确定其微分方程．.已知正则曲面S:r(u,v)之上有两族正则曲线我u,v)=a和v(u,v)=b，其中a和b与(u,v)无关．试证：它们互相正交的充要条件为E①vVv-F9uvv