求二面角方法定义法

二面角——1定义法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵便性较大，一般而言，二面角的大小经常转变成其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的要点是，依照不同样问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为S射影三角形，多用于求无棱二面角）求出二面角，则cosS侧面三角形的大小。求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),尔后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类解析以下：定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特别点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特点1.如图，周围体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A－BD－C、B－AC－D的大小解析：(1)取BD的中点O，连AO、OCAA在ABD中，∵AB＝AD＝2，BD＝2，∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BDE∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角。BODBD又AO＝OC＝1，AC＝2，∴∠AOC＝90°CC即二面角A－BD－C为直二面角。(2)取AC的中点E，连BE、DE∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角在BDE中，BE＝DE＝6，21由余弦定理，得cos3在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。解：PPAABPAADPB=PDAB=AD=a，HPBPDADBCDCPBDPDC过B作BH⊥PC于H，连PCPCBC结DH使DH⊥PC，故∠BHD为二面角B－PC－D的平面角。因PB＝2a,BC＝a,PC＝3a,11aPB·BC＝SPBC＝2PC·BH，则BH＝3＝DH又BD＝2a，在△中由余弦定理，得：BHD226622aBH2DH2BD2aa3312BHgBD662cos∠BHD＝2aa3322又0＜∠BHD＜π，则∠BHD＝3，二面角B－PC－D的大小是3。三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC＝6，AD＝4，求二面角A－BC－D的度数。解：由已知条件∠BAC＝90°，AB＝AC，设BC的中点设为O，则OA＝OC＝3

ABC＝23AC∴AD2AO2OC2CD22AOCDcosB解之得：DB

OCD1504.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC＝CD＝1，∠ABC＝30°，求二面角CABD的大小。解：cos

3

A3即所求角的大小为arccos3。3DC（此题也可用垂线法）练习：已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA1B底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。2（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。方案一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD.所以，CD与面PAD内两条订交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD.又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B作BE连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=2，PB=5，cosPBEBE10.PB5（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM2(AC)2AC，2326AN2BN2AB22AN2ANB5.∴AB=2，cos2ANBN3522故所求的二面角为arccos().方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，1).2（Ⅰ）证明：因AP(0,0,1),DC(0,1,0),故APDC0,所以APDC.由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条订交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因AC(1,1,0),PB(0,2