线段的最大值与最小值的解题策略

14-5线段最大值与最小值的解题思路回顾：1.线段公理一一两点之间，线段最短；2・对称的性质一一①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3.三角形两边之和大于第三边；4.三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短一、两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。例1.如图，在平面直角坐标系My中，口ABC三个点的坐标分别为A（—6,0），B（6,0），C.,4*），延长AC到点D,使CD=1AC,过点D作DE#AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径： 看数据的特殊性，30°简化图形一转化题意一由果索因一画图说理课堂练习：1如图，在△ABC中，AC=BC=2,NACB=90。，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是2在锐角△ABC这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径： 看数据的特殊性，30°简化图形一转化题意一由果索因一画图说理课堂练习：1如图，在△ABC中，AC=BC=2,NACB=90。，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是2在锐角△ABC中，AB=4\2，ZBAC=45°,ZBAC的平分线交BC于点D，M、N分别P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍.P点在GH上运动速度等于它在直线GA上运动速度是AD和AB上的动点，则BM+M最小值是-求GH+GA的最小值.i)例2、如图2,正方形ABCD的边长为4,ZDCB的平分线CE交DB于点E,若点P,Q分别是CD和CE上的动点，则DQ+PQ的最小值() A.2B.2拽C.4D.4巨已知:在^ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且NACB=60。，则CD=；如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且NACB=90。，则CD=；如图3,当NACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的NACB的度数.图1 图2 图3二、三角形两边之和大于第三边求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。例1.在RtMBC中，NACB=90°，tanNBAC=1.点D在边AC上(不与A，C重合)，连2结BD，F为BD中点.若过点D作DEYAB于E，连结CF、EF、CE，如图1.设CFkEF，则k=；若将图1中的AIDE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE-DE=2CF；若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值.

课堂练习（西城8）如图，在△ABC中，匕C=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在j轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是A.2^2+2 B.2\.MC。2*6 D.6三、线段差的问题已知两点A、B与直线l（AB与l不平行且在l同侧），动点P在l上，求\PA-\PB\max连接AB并延长交直线l于点P，则点P为所求最大值时所取的点，AB=|PA|-|PB||max先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）【材料一】：如图⑴，直线l上有A1、A2两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A、A的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A和A之间的任何地方，此时距离TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2之和为A1到a2的距离.如图⑵，，直线l上依次有A1、A2、A3三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A、A、A的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点A处，此时距离之和为1 2 3 2A1到气的距离.（想一想，这是为什么？）1不难知道，如果直线l上依次有A、A、A、A四个点，同样要确定一点P，使它到12 3 4各点的距离之和最小，则点P应取在点A和A之间的任何地方;如果直线l上依次有A、A、2 3 1 2A、A、A五个点，则相应点P的位置应取在点A的位置.3 4 5 3A3图⑴ 图⑵【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为|a-^.【问题一】：若已知直线l上依次有点A、A、A、、A共25个点，要确定一点1 2 3 25P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 ;若已知直线l上依次有点A、A、A、、A共50个点，要确定一点P，使它到1 2 3 50已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 .【问题二】：现要求x+1|+x+x—1+x—2+x—3++x—97|的最小值，根据问题一的解答思路，可知当因值为时，上式有最小值为.四、几种变式变式1.如图1,E为正方形ABCD的边BC上的中点，且BC=2，请在对角线BD上找一个点P使PC+PEP使PC+PE的值最小为变式2.如图3,在直角梯形ABCD中，匕ABC=90°P变式2.如图3,在直角梯形ABCD中，匕ABC=90°P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，变式3、如图3,梯形ABCD中，AD//BC，BE平:，AD〃BC，AD=4，AB=5，BC=6，点>B的长为.WABC，且BE±CD于E，P是BE上一动点。若BC=6，CE=2DE，贝IPC-PAI的最大值是变式4如图2，如图，CD是。O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，则（1）AP+BP的最小值为.（2）AP-BP的最大值为变式5.如图3-7，正方形ABCD的边长为4，CE=3，CF=2，请在边AB,AD上找两个点G、H使四边形EFGHH使四边形EFGH周长最小，并求出此时的周长。F变式6、抛物线y=3X2变式6、抛物线y=3X2-18x+3和y轴的交点为A,M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。图3-7C变式7、如图（1），直线y=—r'3x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，0A经过点B和点O，直线BC交。A于点D。（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。变式8、如图3-8,以矩形OABC的顶点O为原点，变式8、如图3-8,以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.直接写出点E、F的坐标；设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，・..且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.变式9(2010天津市)在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，’顶图如8、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4,D为边OB的中点.若E为边OA上的一个动点，当^CDE的周长最小时，求点E的坐标；若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.变式10.如图，已知直线y=1X+1与y轴交于点A，与X轴交于点D，抛物线1c,y-—x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使IAM-MCI的值最大，求出点M的坐标。变式11、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，〃)在抛物线y-ax2上.(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点0使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线y-ax2，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB'最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A'B'CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.作业1、(北京市竞赛题)如图(11),在矩形ABCD中，AB=20cm,BC=10cm,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，求这个最小值。2如图(12)在菱形ABCD中，/DAB=1200，点E平分BC,点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是 。3、如图13,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,-1)，且P(-1，-2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B.写出正比例函数和反比例函数的关系式；当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.()图13图14提高作业（利用旋转对称变换）2010宁德第25题：如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB£^ENB；⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由;⑶当AM+BM+CM的最小值为、'31时，求正方形的边长.2.阅读下列材料：问题：如图1,在正方