初等数论练习

初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第0章序言及预备知识第一节序言(1)1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)华罗庚2、 理论计算与证明：(1)J2是无理数。(2)ShowthatthereareinfinitelymanyUlamnumbers3、 用Mathematica数学软件实现AUlamnumberisamemberofanintegersequencewhichwasdevisedbyStanislawUlamandpublishedinSIAMReviewin1964.ThestandardUlamsequence(the(1,2)-Ulamsequence)startswithU1=1andU2=2beingthefirsttwoUlamnumbers.Thenforn>2,Unisdefinedtobethesmallestintegerthatisthesumoftwodistinctearliertermsinexactlyoneway。Bythedefinition,3=1+2isanUlamnumber;and4=1+3isanUlamnumber(Thesum4=2+2doesn'tcountbecausetheprevioustermsmustbedistinct.)Theinteger5isnotanUlamnumberbecause5=1+4=2+3.Thefirstfewtermsare1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69,72,77,82,87,97,99(1)Findthefirst200Ulamnumbers(2)WhatconjecturescanyoumakeaboutthenumberofUlamnumberslessthananintegern？Doyourcomputationssupporttheseconjetures？初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第2节序言（2）1、 数论人物、资料查询：（每人物写60字左右的简介）（2）陈景润2、 理论计算与证明：（1） 用数学归纳法证明：n!<nn（2） 用数学归纳法证明：2n<n!（n>4）3、 用Mathematica数学软件实现The3x+1problem,alsoknownastheCollatzproblem,theSyracuseproblem,Kakutani'sproblem,Hasse'salgorithm,andUlam'sproblem,concernsthebehavioroftheiteratesofthefunctionwhichtakesoddintegersnnto3n+1andevenintegersnto^.The3x+1Conjectureassertsthat,startingfromanypositiveintegern,repeatediterationofthisfunctioneventuallyproducesthevalue1.参考文献：JeffreyC.Lagarias,"The3x+1problemanditsgeneralizations".初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第3节预备知识1、数论人物、资料查询：（每人物写60字左右的简介）1）王小云（山东大学）2、理论计算与证明：1)设f是第1）王小云（山东大学）2、理论计算与证明：1)设f是第n个Fabonacci数，nF二I1则Fn二 n+1Ifnn-1求证：ff+ff+...+ff=f21223 2n-12n2n3、用Mathematica数学软件实现ThetowerofHanoipuzzle)ThetowerofHanoipuzzle)TheTowerofHanoiorTowersofHanoiisamathematicalgameorpuzzle.Itconsistsofthreerods,andanumberofdisksofdifferentsizeswhichcanslideontoanyrod.Thepuzzlestartswiththedisksinaneatstackinascendingorderofsizeononerod,thesmallestatthetop,thusmakingaconicalshape.Theobjectiveofthepuzzleistomovetheentirestacktoanotherrod,obeyingthefollowingrules:Onlyonediskmaybemovedatatime.Eachmoveconsistsoftakingtheupperdiskfromoneoftherodsandslidingitontoanotherrod,ontopoftheotherdisksthatmayalreadybepresentonthatrod.Nodiskmaybeplacedontopofasmallerdisk参考文献：［1］、http://wipos.p.lodz.pl/zylla/games/hanoi5e.html［2］、/wiki/Tower_of_Hanoi初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩第一章整数的可除性第1节整数的整除性1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)素数有无限个的多种证明方法.(2)欧几里德高斯2、 理论计算与证明：证明：31n(n+1)(2n+1)，其中n是任何整数。若ax+by是形如ax+by(x,y是任意整数，a,b是两个不全为零的整数)的数中的最小00正数，则(ax+by)I(ax+by)。00初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第2节带余数除法、辗转相除法1、 数论人物、资料查询：（每人物写60字左右的简介）（1）DONALDKUNTH2、 理论计算与证明：（1）证明（a,b）二ax+by，其中ax+by是形如ax+by（x,y是任意整数）的整数里的最0000小正数，并将此结果推广到n个整数的情形。（2）求（252,198）。（3）设f和f是连续的Fibonacci序列，n>1，求证：（f，/）二1n+1 n+2 n+1n+2初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第3节最大公约数1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)Fibonacci2、 理论计算与证明：证明两整数a,b互质的充分与必要条件是：存在两个整数s,t满足条件as+bt=1。设m,n是正整数，a是大于1的整数。证明：(am—1,an—1)二a(m,n)—1。如果m,n是正整数，则(f,f)=f 。mn (m,n)初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第4节最小公倍数、素数与算术基本定理1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)ALTESELBERG2、 理论计算与证明：若2n+1是素数，则n是2的方幕。设a,b,c都是正整数，则max{a,b,c}=a+b+c-min{a,b}-min{a,c}-min{b,c}+min{a,b,c}由此证明：[a,b,c]=E,b,c)(a,b)(a,c)(b,c)初等数论练习册作业成绩 作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第6节函数［x］与{x}1、数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)PAULERDOS2、理论计算与证明：1)求30!的标准分解式。2)求20!的末尾有多少个零？3)1)求30!的标准分解式。2)求20!的末尾有多少个零？3)i)设n是任一正整数，«是实数，证明:「％］］ii)nn-1]=[na]初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩第二章不定方程第一节二元一次不定方程1、 数论人物、资料查询：（每人物写60初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩第二章不定方程第一节二元一次不定方程1、 数论人物、资料查询：（每人物写60字左右的简介）（1）整理Fermatlasttheorem的历史过程2、 理论计算与证明（1）解方程15x+2y= 1002）证明：二元次不定方程ax+by二N,a>0,b>0,（a,b）二1的非负整数解为牛或abab解方程2x+3y+4z二5初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第三章同余第一节同余的概念1、 数论人物、资料查询：（每人物写60字左右的简介）（1）G.L.DIRICHLET2、 理论计算与证明（1）找出被2,3,5,6,7,9整除的整数的刻画.（2） 设a=a10n+a10n-i+...+a,0<a<9，证明：IllaoIll£（-l）'an n-1 0 i ii=0（3） 证明：6411232+1.初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第二节剩余类及完全剩余系、简化剩余系1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)DAVIDHILBERT2、 理论计算与证明证明P(1)+9(P)+P(P2)+…+P(,P为素数。求9(200)。初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第三节欧拉定理及费马小定理1、 数论人物、资料查询：（每人物写60字左右的简介）（1）PIEEREDEFERMAT（2） ANDREWWILES2、 理论计算与证明（1）设p是素数，h,h是整数，则（h+h）p三hp+hp（modp）.121212（2） 设n是正整数，则工9（d）=n.d|n（3） 设p是素数，如果xp+yp二zp，证明:pIx+y-z.初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第四章同余式第一节基本概念及一次同余式、孙子定理1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)RSA三个人物(2)整理TheRSACryptosystem2、 理论计算与证明(1)解同余式⑴2x三5(mod7) (iii)9x三5(mod25) (iii)256x三179(mod337)设m是正整数，(a,m)=1，证明：x三ba叭m)-i(modm)是同余式ax三b(modm)的解。x三1(mod3)解方程组＜x三2(mod5)x三3(mod7)(4)十一数余三，七二数余二，十三数余一，问本数?初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第二节高次同余方程的解数及解法1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)KURTHENSEL2、 理论计算与证明解同余式4x2+27—1全0(mod15)解同余式6X3+27x2+17x+20三0(mod30)解同余式x4+2x3+8x+9(mod35)初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第四节高次同余方程的解数及解法1、 数论人物、资料查询：(每人物写60字左右的简介)(1)LEONHARDEULER2、 理论计算和证明、设nIp-1,n>1,(a,p)二1,证明：同余式xn三a(modp)有解的充分必要是a叮三1(modp)，并且在有解的情况下就有n个解。初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作业成绩 第五章二次同余式与平方剩余、奇素数的平方剩余与平方非剩余1、 数论人物、资料查询：（每人物写60字左右的简介）（1）SRINIVASARAMANUJAN2、 理论计算和证明（1） 求模11，19，37的平方剩余与平方非剩余。（2） 证明两个平方剩余的乘积是平方剩余；平方剩余与平方非剩余的乘积初等数论练习册作业次数： 学号 姓名 作