(完整word版)八年级数学全等三角形难题集锦

1.如图①，在^ABC中，/ACB=90°,AC=BC,过点C在^ABC外作直线 MN,AM±MN于点M,BN±MN于点N.|①②(1)试说明:MN=AM+BN.(2)如图②，若过点C作直线MN与线段AB订交,AM±MN于点M,BN±MN于点N(AM>BN),(1)中的结论能否仍旧建立？说明原因.【答案】(1)答案看法析；(2)不建立【分析】试题剖析：(1)利用互余关系证明NMAC=ZNCB，又NAMC=ZCNB=90°,AC=BC,故可证△AMC^ACNB，进而有AM二CN,MC二BN,即可得出结论；(2)近似于(1)的方法，证明△AMC0ACNB，进而有AM=CN,MC二BN,可推出AM、BN与MN之间的数目关系.试题分析：解：(1);AM±MN,BN±MN,・・・ZAMC二ZCNB=90°.VZACB=90°,,ZMAC+ZACM=90°,ZNCB+ZACM=90°,,ZMAC二ZNCB.在^AMC和^CNB中，VZAMC=ZCNB,ZMAC=ZNCB,AC=CB，,△AMC0ACNB(AAS)，,AM=CN,MC=NB.VMN二NC+CM，,MN=AM+BN；(2)图(1)中的结论不建立，MN二BN-AM.原因以下：VAM±MN,BN±MN，工ZAMC二ZCNB=90°.VZACB=90°,,ZMAC+ZACM=90°,ZNCB+ZACM=90°,,ZMAC二ZNCB.在^AMC和^CNB中，VZAMC=ZCNB,ZMAC=ZNCB,AC=CB，,△AMC0ACNB(AAS)，,AM=CN,MC=NB.VMN=CM-CN，,MN=BN-AM.点睛：此题考察了全等三角形的判断与性质.重点是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等.

2.如图，BE、CF是八ABC的高且订交于点P,AQ〃BC交CF延伸线于点Q,如有BP=AC,CQ=AB，线段AP与AQ的关系怎样？说明原因。【答案】证明看法析【分析】试题剖析：由BE、CF是4ABC的高，易得NABP+ZBPF=90°,ZACP+ZCPE=90。，联合NBPF=ZCPE,易得NABP=ZACP，这样联合BP=AC,CQ=AB，即可由“SAS”证得^ACQ/△PBA，进而可得AP=AQ,ZQ=ZPAF，联合ZPAF+ZAPF=90°,可得：ZAPF+ZQ=90。，即可获得ZQAP=90°，进而可得AQ±AP，由此即可获得AQ与AP的关系是相等且相互垂直 .试题分析：AQ与AP的关系是：相等且相互垂直，原因以下：BE、CF是^ABC的高，・・ZBFP=ZCEP=90°,AZABP+ZBPF=90°,ZACP+ZCPE=90°,又・.・ZBPF=ZCPE,AZABP=ZACP,在^ACQ和^PBA中：(BP=AC, ,Er—•工用。户，I AB=CQ|•・△ACQdPBA(SAS)，AAP二AQ,ZQ=ZPAF，ZPAF+ZAPF=90°，AZAPF+ZQ=90°，AAP，AQ，即：AQ与AP的关系是相等且相互垂直3.如图1，四边形3.如图1，四边形ABCD中，AD〃BC，ZABC二ZDCB，AB=DC。图1 图2(1)求证：AC=DB；(2)如图2,E、F两点同时从A、D出发在直线AD上以同样的速度反向而行，BF和CE会相等吗？请证明你的结论。【答案】(1)证明看法析(2)BF=CE【分析】试题剖析：(1)由/ABC二ZDCB,AB二DC联合BC=CB即可证得：4ABC/△DCB，进而可得AC二DB；(2)由题意可得AE=DF，进而可得AF=DE，由AD〃BC联合ZABC二ZDCB，易得ZBAD二ZCDA，再联合AB=DC即可证得4BAF^^CDE，进而可得BF=CE.试题分析：(1)在4ABC和4DCB中，, 工,」二J一，t BC=CB・•・△ABC"DCB(SAS),二•AC二DB；(2)BF=CE，原因以下：由题意可得：AE二DF，・・・AF二DE，VAD〃BC，AZBAD+ZABC=180°，ZCDA+ZDCB=180°，VZABC=ZDCB，AZBAD=ZCDA，在^BAF和^CDE中，(AB=DC1 ［电，( AF=DE・•・△BAFdCDE(SAS)，ABF=CE.

4.如图，在4.如图，在△ABC和^DEC中，NABC=/DEC=90，连结AD交射线EB于F,过A作AG〃DE交射线EB于点G，点F恰巧是AD中点。G(1)求证：△AFG^^DFE；(2)若BC=CE,①求证：NABF二NDEF；②若NBAC=30°,试求NAFG的度数。【答案】(1)证明看法析(2)①证明看法析②NAFG=60°。【分析】试题剖析：(1)由AG〃DE易得：NG=NDEF；由F是AD的中点易得 AF=DF，联合NAFG二NDFE,即可证得：4AGF^^DEF；(2)①由BC=CE可得NCBE二NCEB,联合NABC二DEC=90°，易得NABF+NCBE=90°,NCEB+NDEF=90°，进而可得NABF=NDEF；②由4AGF^^DEF可得NG=NDEF,AG=DE联合NABF=NDEF，可得：NABF=NG,进而可得：AG=AB，这样即可获得：AB=DE，联合NABC=NDEC=90°,BC二CE即可证得：△ABC^^DEC，由此可得AC=CD 、，人 /ACD=N,NEDC=NBAC=30。，联合AC〃DE可得EDC=30。，进而可得NCAD=一；：N；由NBAC=NG+NABG=30。联合NG=NABG■M易得NG=15°,联合NCAD=NG+NAFG即可获得NAFG=60°.试题分析：丁AG〃DE，点F是AD的中点，ANG=NDEF,AF=DF,•・•△AGF和^DEF中，rZG=ZDEFAAFG=£DFEI AF=DF・•・△AGFDEF(AAS)；(2)①:BC二CE,•・ZCBE=ZCEB,ZABC=DEC=90°,ZABF+ZCBE=90°,ZCEB+ZDEF=90° ZABF二ZDEF；②:△AGF"DEF,•・NG=NDEF,ZABF二ZDEF,•・ZABF二ZG,二•AG二AB,△AGF之△DEF,二•AG二DE,：.DE二AB,AABC和ZXDEC中，|AB=DE£ABC=£DEC,I BC=CE I•・△ABCDEC,(SAS)•・AC二CD,ZBAC二ZEDC,VAC〃DE,：.ZEDC=ZACD,：.ZACD二ZBAC=30°,•・ZCAD=75°,ZABF二NG,ZBAC=30°,：.ZG=15°,ZCAD=ZG+Z