测量误差与检测分析

测量误差与检测分析第1页，共67页，2023年，2月20日，星期日2.相对误差是指绝对误差与真值之比，用百分数表示，即3.诱导相对误差测量中最大绝对误差与仪器量程范围之比。也称引用误差。即通常用引用误差表示仪器的精度等级。第2页，共67页，2023年，2月20日，星期日

国家标准GB776-76《电测量指示仪器通用技术条件》规定，电测仪器精度分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0等7级。它们的基本误差以最大引用误差计，分别不超过：。需要强调指出，仪器，仪表的等级，所表明的是其最大引用误差在范围内，不能误认为在量程内各示值的相对误差均在以内。例如：量程为的级仪器，当示值为时，其绝对误差为：相对误差为：第3页，共67页，2023年，2月20日，星期日例：测量一个约80V的电压，现有两块电压表，一块量程300V，0.5级，另一块量程100V，1.0级，问选哪一块为好？解：如使用300V，0.5级电表，示值相对误差为：如使用100V，1.0级电表，示值相对误差为：故选用100V，1.0级电表为好。第4页，共67页，2023年，2月20日，星期日三.误差的来源

工具误差：它包括试验装置，测量仪器仪表带来的误差。如试验装置加工粗糙，安装调整不准确和摩擦间隙过大等，仪器仪表的非线性，滞后，刻度不准，以及运动元件之间的摩擦和间隙等带来的误差。

环境误差:

在测量过程中，因环境条件的变化而产生的误差称为环境误差。环境误差主要指环境的温度，湿度，气压，电场，磁场以及振动，气流，辐射等。如温度的变化会引起传感器的零点漂移和灵敏度漂移，微小的振动或电信号干扰会对高灵敏磁电式仪表和光线示波器的振子产生扰动。第5页，共67页，2023年，2月20日，星期日

方法误差测量方法不正确而引起的误差称为方法误差。测量仪器安装和使用方法不正确，测量时所依据的原理不正确而产生的误差。

人员误差测量者生理特性和操作熟练程度的优劣而引起的误差称为人员误差。测量者的习惯和精神状态的变化也都会带来误差。第6页，共67页，2023年，2月20日，星期日四.误差的分类1.随机误差在实际测量条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着。也就是说，产生误差的原因及误差数值的大小、正负都是不固定的，也没有确定的规律性，它的出现具有随机性，或者说带有偶然性，这样的误差称为随机误差。特点：个别出现的偶然性。总体呈现的统计规律性。

第7页，共67页，2023年，2月20日，星期日2.

系统误差误差的数值大小和正负在测量过程中恒定不变，或按一定规律变化的误差称为系统误差。系统误差可分为：⑴.恒值系统误差：误差的数值和符号已经确定的系统误差。⑵.变值系统误差：误差的数值或符号变化不定或按一定规律变化的误差。按不同的变化规律，又分为：线性系统误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。系统误差由于它的数值恒定或具有一定的规律性，因此可通过实验的方法找出，并予以消除，或加修正值对测量结果予以修正。

第8页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.

粗大误差(疏失误差)

测量过程中出现的明显与事实不符的误差。主要是由于测量人员的疏失或环境条件的突变影响所致。粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量结果中发现，一经发现有粗大误差，可以认为该次测量无效，测量数据作废，即可消除它对测量结果的影响。第9页，共67页，2023年，2月20日，星期日五.精度

正确度表示测量结果偏离真值的程度。它标志着系统误差的大小。系统误差愈小，正确度愈高，测量结果就愈接近真值。

精密度测量结果的离散程度，它标志着随机误差的大小。随机误差愈小，离散程度小，重复性好，精密度就愈高。

精确度它反映系统误差和随机误差合成的大小程度，或者说是测量的精密度和正确度的综合。对于一个实验而言，精密度高，正确度不一定高，反之，正确度高，不一定精密度高。但准确度高，则精密度和正确度都高。第10页，共67页，2023年，2月20日，星期日六.不确定度

不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量不能确定的程度。不确定度按估计其数值所用的方法不同归并成两类：A类分量：对一系列多次重复测量后，用统计方法计算出的标准偏差。B类分量：用其它方法估算出的近似的标准偏差。

然后用通常合成标准偏差的方法来合成A类分量和B类分量，合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确定度。该不确定度仍具有概率的概念。总不确定度用公式表示为：第11页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.2.随机误差

一.随机误差的特性设在相同的条件下，对某一物理量进行多次重复观测，测得变化量……，是随机变量。其概率密度可由正态分布概率密度函数表示为

其中——标准误差——理论均值——剩余误差第12页，共67页，2023年，2月20日，星期日随机误差正态分布特点：

单峰性：小误差比大误差出现的机会多。

对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相同。

有界性：随机误差时的概率，因此把作为单次测量随机误差的界限。相互补偿性：当测量次数增加到无限多次时，随机误差的算术平均值趋于零。第13页，共67页，2023年，2月20日，星期日二.随机误差的评定1.

测量结果的最佳估计理论均值是无限多次重复测量的结果；实际上，也是难于求得的。因此，如果能求得的最佳估计值，就可以把它作为最信赖的实际测量结果。由最小二乘法可证明：的无偏估计为算数平均值。即：第14页，共67页，2023年，2月20日，星期日2.

测量值的离散性参数估计

求得测量结果的最佳估计，尚不能衡量测量的可靠性。因为在实际测量中，总是存在随机误差，各个测量值相对最佳测量结果，总有一定的离散性。这种离散性就表明了各次测量的不可信赖程度。评定这种不可信赖程度的参数就是总体的方差

或标准差。总体方差与标准差也是一个理想的概念，也必须求得它的最佳估计值才有实际意义。上式称为贝塞尔公式，适用于测量次数较多的情况。第15页，共67页，2023年，2月20日，星期日

愈小，分布曲线的形状越陡，即高而瘦。小误差出现的概率大，大概率出现的概率小。随机误差的离散性小，可信赖程度大。反之，愈大，分布曲线的形状就愈“矮”且“胖”，随机误差的离散性就愈大，可信赖程度就小。第16页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.

测量值的精确度评定

测量值的精确度评定就是用一定置信条件下的极限误差来规定测量值得可靠性。

服从正态分布的随机变量落在区间的概率为：设：即：第17页，共67页，2023年，2月20日，星期日则：把称为标准型正态分布，也称为拉普拉斯函数，具体数值可查表，其中第18页，共67页，2023年，2月20日，星期日实际测试中，服从正态分布的随机误差区间相对对称，即，上式可表示为：式中：——置信区间——置信系数——危险率(或称显著水平，不可信度)取——置信概率第19页，共67页，2023年，2月20日，星期日由图可见，随机误差超出的概率只有0.27%，已近乎不可能出现。因此在测试中通常把称为最大极限随机误差，并用它来评定测量的精密度。(称为“准则”)第20页，共67页，2023年，2月20日，星期日4.

测量结果的重复性精度评定

上述所谓的测量结果最佳估计，是指一列有限n次测量值构成的样本。很显然，同一总体中再取不同列测量值构成各个不同的样本，其各个样本均值也不一样，亦即各个单列测量结果的最佳估计仍然是随机变量，而且其分布规律也同于测量值的分布规律。因此，其相对真值仍然有一定的离散性或不重复性。这种不重复性可用样本均值的标准差或样本均值的极限误差来表征。即第21页，共67页，2023年，2月20日，星期日三.不等精度测量时的加权处理方法当对某一被测量进行多次测量时，由于测量条件(方法、仪器及人员素质等)不同，使各次测量数值具有不同的精密度，这就是不等精度测量。不等精度测得各测量数据的可信赖度不同，在最后计算测量结果时所占比重应有差别。为权衡轻重，区别对待，引入权的概念，用作测量结果精密度的数字表征。在无系统误差的测量数据处理中，通常定义权与方差成反比。一般用20

表示权p0=1之测量数据的方差。如某次测量数据的方差为，则的权为：第22页，共67页，2023年，2月20日，星期日

加权后算术平均值为：加权后平均值的方差估计值为：第23页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.3系统误差

一.系统误差的分类系统误差按其表现特点，可分为恒值系统误差和变值系统误差。1.

恒值系统误差在测量过程中误差出现的数值大小和符号都不变的系统误差。2.

变值系统误差在测量过程中误差的大小或符号是变化不定的或按一定规律变化的误差。第24页，共67页，2023年，2月20日，星期日按变化规律的不同又可分为：⑴线性变化系统误差：线性变化系统误差是指在测量过程中，随着时间或测量次数的增加，按一定比例不断增大或不断减小的误差。⑵周期变化的系统误差：周期变化的系统误差是指系统误差的数值和符号按周期性规律变化。⑶复杂规律变化的系统误差：复杂规律变化的系统误差是指系统误差按复杂规律变化的，但其规律经多次测量具有重复性，可用曲线、表格或经验公式表示。第25页，共67页，2023年，2月20日，星期日二.系统误差对测量结果的影响1.恒值系统误差对测量结果的影响如果在多次重复测量时有恒值系统误差存在，则一组测量值中每一个都含有该恒值系统误差，因此，不含系统误差的测量值为其平均值为第26页，共67页，2023年，2月20日，星期日定义：为残余误差(剩余误差)上式表明，用包含恒值系统误差的测量值计算残差，与用不包含恒值系统误差的测定值计算残余误差相同，因此，标准偏差也相同。因而，恒值系统误差对标准偏差无影响，即不影响测量结果的精密度。第27页，共67页，2023年，2月20日，星期日2．变值系统误差对测量结果的影响设有一系列测量值，并含有变量系统误差，则不含系统误差的测定值为：其平均值为：由上式可知，如果测量中含有变化的系统误差，它将以算术平均值的形式影响测量结果，应消除，以作为测量结果。第28页，共67页，2023年，2月20日，星期日残余误差：上式表明：用计算出的标准偏差，因受变值系统误差的影响，与用计算出来的标准偏差不同。也即变值系统误差也影响标准偏差。第29页，共67页，2023年，2月20日，星期日三.发现系统误差的方法1.

实验对比法实验对比法是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量，以发现系统误差。这种方法适用于发现常值系统误差。2.

剩余误差观察法剩余误差观察法是根据测量列的各个剩余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。根据测量列的剩余误差列表或作图进行观察可以判断有无系统误差。第30页，共67页，2023年，2月20日，星期日a.

若剩余误差大体上是正负相同，且无明显得变化规律，则无根据怀疑存在具有规律性变化的系统误差，但存在常值误差的可能性尚无法排除。b.

若剩余误差值有规律的递增或递减，且在测量开始与结束时误差符号相反，则存在线性系统误差。c.

若剩余误差的符号有规则的交替变化，则存在周期性误差。d.

若剩余误差具有的变化规律，则存在复杂规律系统误差。第31页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.剩余误差校核法将测量列中前面k个剩余误差相加，后面(n-k)个剩余误差相加(当n为偶数时，取，当n为奇数时，取)。两者相减得:若显著不为零，则有理由认为测量列中存在系统误差。需要指出，有时按剩余误差校核法得=0，但仍有可能存在系统误差。它适用于检查测量列中是否有线性系统误差存在。第32页，共67页，2023年，2月20日，星期日阿贝—赫梅特判据阿贝—赫梅特判据适用于判断测量列是否有周期性系统误差的存在，该判据公式为：只要测量列满足上式，就认为该测量列有周期性系统误差存在。第33页，共67页，2023年，2月20日，星期日5.

计算数据比较法对同一被测量独立测得m组结果，各组的算术平均值及算术平均值的标准偏差为：

，其中任一个平均值是服从正态分布的，即，因此，任意两个平均值之差是一个统计量，且服从正态分布，即有其中根据正态分布，有或当时，，第34页，共67页，2023年，2月20日，星期日即在100次测量中，的可能性有三次。因此，在测量次数不是很多且测量中无系统误差时，一般不应出现的情况。如果，则说明有系统误差存在。故常用作为鉴别测量中有无系统误差的标志。第35页，共67页，2023年，2月20日，星期日四.系统误差的消除

1.

恒值系统误差的消除方法

⑴代替法代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量并放到测量装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即差值＝被测量－标准量⑵抵消法这种方法要求进行两次测量，以使两次读数时出现的系统误差大小相等而相反。因此，取两次测量值的平均值作为测量结果，则可消除系统误差。⑶交换法这种方法是根据误差产生的原因，将某些条件交换，以便消除误差。第36页，共67页，2023年，2月20日，星期日2.

消除线性系统误差的方法－对称法线性系统误差的数值随测量时间或测量次数呈线性规律变化，消除这类误差的方法是对称测量法。由图可以看出，以某一时刻为中点，对称于该点的一对系统误差的算术平均值彼此相等，即：根据这一特点，可采用对称测量法来消除线性系统误差。第37页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.

消除周期性系统误差的方法－半周期偶次观察法对于周期性误差，有效的消除方法是每经过半个周期进行偶次观测，此法称为半周期偶次观察法。周期性误差一般可表示为：

当时，误差为：当时，误差为：因此，消除这种周期性误差的方法是：在时测得一个数据后，相隔半个周期再测一个数据，取两次数据的平均值第38页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.4.

疏失误差

测试中出现的过大或过小的测定值，这可能是由于疏失误差引起的，也可能是由特大的随机误差引起的，对它们的取舍要十分慎重。对于有充分根据由过失引起的异常数据应舍弃；对原因不明的异常数据，则应根据统计学准则决定取舍。用统计学方法取舍异常数据的根据是：超过某界限的测量值出现的概率很小，有理由认为是由过失误差引起的，应该舍弃。拉依达准则：以正态分布情况下的置信概率为99.73%时的置信区间是3为出发点，认为随机误差绝对值超过3的概率很小，而认为是不可能事件，故可视为疏失误差而剔除之。

第39页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.5.误差的合成在测量过程中，可能同时存在多个系统误差，随机误差，测量的精度是用总误差来度量的。随机误差的合成与随机不确定度设有m个随机误差分量，各自的标准偏差为i(i=1m)，其合成方法为：

当时，即随机误差的合成按方和根法。在测量工作中，常用给定的置信概率的极限偏差来表示随机误差的大小，对此可表示为：(随机不确定度)第40页，共67页，2023年，2月20日，星期日二.确定的系统误差合成对于误差数值大小和符号正负都已确定的各已定系统误差分量的合成，按代数和方法计算。第41页，共67页，2023年，2月20日，星期日不确定的系统误差是指误差数值大小和符号正负都不确定或其中之一不确定，即该系统误差表现出一定的随机性。但在一定的测量条件下，存在的不确定系统误差必定落在所估计的误差区间之内，这个称为不确定系统误差的误差限，可表示为：三、不确定的系统误差合成第42页，共67页，2023年，2月20日，星期日多个不确定的系统误差合成总的不确定系统误差的方法：

1.

绝对值和法

这种合成方法估计的误差偏大，是一种极为保险的方法。在n<10时才用这种方法。2.

方和根法采用随机误差的合成方法：在n较大时，用方和根法得出的误差比较接近实际情况，该方法算得的误差偏小。第43页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.

广义方和根法如果不确定系统误差具有不同的置信系数，合成方法采用广义方和根法，即第44页，共67页，2023年，2月20日，星期日四.总不确定度

所谓总不确定度，就是随机不确定度与系统误差不确定度的总和。其合成方法为:⑴绝对值和法：⑵方和根法：第45页，共67页，2023年，2月20日，星期日⑶广义方和根法：测量结果的准确度可表示为：第46页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.6.

间接测量误差的传递与分配一.误差的传递

到目前为止，前述各节皆是就直接测量的情况下进行讨论，但在很多的情况下，由于被测量对象的特点进行直接测量有困难。或是难以保证被测量的精度，因此需要采用间接测量。

若则极限误差为第47页，共67页，2023年，2月20日，星期日二.误差的分配

若给定间接测量参数的误差，要求确定各个直接测量参数的误差。按等作用原则分配误差，即：

第48页，共67页，2023年，2月20日，星期日按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，这是因为计算出来的各个局部误差都相等，这对于其中有的测量值，要保证它的测量误差不超过允许范围较为容易实现，而对其中有的测量值则难以满足，若要保证它的测量精度，势必采用昂贵的高精度仪器，或者要付出较大的劳动。因此必须根据具体情况进行调整，对于测量中难以保证的误差项适当扩大允许的误差值，对于测量中容易保证的误差项应尽可能地缩小允许的误差值，误差调整之后，应按公式计算总误差y，并检查y

是否满足条件。如不满足，则应选择可能缩小的误差项进行再次调整，有必要时，还可改变测量方案，选择更为精确的仪器。第49页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.7.

测量数据的处理方法通过测量获得一系列数据，需要对这些数据处理，分析，以得到各参数之间的函数关系。把测量数据处理成一定的函数关系通常采用的方法有表格法，图示法和经验公式法。

一.表格法在测试中，一系列测量数据都是先列成表格，然后再进行其它处理。表格法简单方便，但要进行深入的分析，表格就不能胜任了。首先，它不能给出所有的函数关系，其次，从表格中不易看出自变量变化时，函数的变化规律，而只能大致估计出函数是递增的，递减的或是周期性变化的。第50页，共67页，2023年，2月20日，星期日二.图示法用图形来表示测量数据的方法是最普通的一种方法。图示法的最大优点是一目了然，即从图形可以非常直观地看出函数的变化规律，如递增或递减，或是是否具有周期性变化规律等等。在直角坐标系中绘制测量数据的图形时，应以横坐标为自变量，纵坐标为与其对应的函数值，将各测量数据点描绘成曲线时，应该使曲线通过应可能多的数据点，曲线以外的数据点尽可能接近曲线，两侧的数据点数目大致相等，最后得到的应是一条平滑的曲线。曲线是否反映出函数关系，在很大程度上取决于图形比例尺的选择，即取决于坐标的分度是否适当。第51页，共67页，2023年，2月20日，星期日三.经验公式测量数据不仅可以用图形表示函数关系，而且可用图形对应的一个公式来表示所有的测量数据。建立经验公式的步骤大致为：第一步：描绘曲线；第二步：对所描绘的曲线进行分析，确定公式的基本形式；第三步：曲线化直；第四步：确定公式中的常量；第五步：检验所确定的公式的准确性。第52页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.8.

一元线性与非线性回归若两个变量x和y之间存在一定的关系，并通过测量获得x和y的一系列数据，用数学处理的方法得出这两个变量之间的关系式，这就是工程上的拟合问题，所得关系式称为经验公式，或称拟合方程。如果两变量之间的关系是线性关系，就称为直线拟合或一元线性回归。如果两变量之间的关系是非线性关系，就称为曲线拟合或一元非线性回归。第53页，共67页，2023年，2月20日，星期日一.直线拟合——一元线性回归

设有一系列测量数据x1，x2，xn，若两参数呈线性关系，则可用一个线性方程来表示，即

所谓直线拟合，实际上就是确定方程中的两个变量和。拟合方法通常有以下几种：第54页，共67页，2023年，2月20日，星期日1.

端值法将测量数据中的两个端点值，即起点值和终点值代入拟合方程，求常数和第55页，共67页，2023年，2月20日，星期日2.

平均法

将全部测量数据分别代入中，得：将上面n个方程分成两组，前半组k个，后半组k个(n为偶数时，k=n/2，n为奇数时，k前=(n+1)/2，k后=(n-1)/2)，分别相加后得：第56页，共67页，2023年，2月20日，星期日令第57页，共67页，2023年，2月20日，星期日则解得：平均法就是将全部测量数据分成前后两组，分别计算各组的平均值，所得和称为各组测量点的“点系中心”，然后用端点法求常数。第58页，共67页，2023年，2月20日，星期日3.

最小二乘法最小二乘法在误差理论中的基本含义是：在具有等精度的多次测量中，求最可靠值时，是当各测量值的残差平方和为最小时所求得的值。

则将上式分别对和取偏导数得：第59页，共67页，2023年，2月20日，星期日解得：第60页，共67页，2023年，2月20日，星期日曲线拟合—一元非线性回归

1.

转化为直线拟合

在实际问题中，两个变量之间的关系除线性关系外，有时也呈现非线性关系，即两变量之间是某种曲线关系。对这种非线性的回归即曲线的拟合可用转化为线性拟合的