特征值和乘幂法方法

特征值和乘幂法方法第1页，共37页，2023年，2月20日，星期日引言/*Introduction*/工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。第2页，共37页，2023年，2月20日，星期日G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRank（网页级别）vector“The$25,000,000,000Eigenvector”搜索引擎第3页，共37页，2023年，2月20日，星期日设A是n阶矩阵,x是非零列向量.如果有数λ存在,满足Ax=λx,那么,称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.§1特征值与特征向量/*Eigenvalueandeigenvector*/如果把右端写为λIx，那么又可写为:

(λI-A)x=0

即|λI-A|=0

记它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式，其中a0=(-1)n|A|.齐次线性方程组定义1第4页，共37页，2023年，2月20日，星期日A的特征值也称为A的特征根.显然,当λ是A的一个特征值时,它必然是f(λ)=0的根.反之,如果λ是f(λ)=0的根,那么齐次方程组(λI-A)x=0有非零解向量x,使Ax=λx成立.从而，λ是A的一个特征值.矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要条件是A有零特征值.

设矩阵A与矩阵B相似，那么它们有相同的特征值.

n阶矩阵A与AT有相同的特征值.

设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特征值，x、

y分别是其相应的右特征向量和左特征向量，那么，xTy=0.定理1定理2定理3定理4第5页，共37页，2023年，2月20日，星期日§2Hermite矩阵特征值问题设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH.如果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵一、Hermite矩阵的有关性质设是Hermite矩阵A的n个特征值.有以下性质:全是实数.有相应的n个线性无关的特征向量，它们可以化为一组标准酉交的特征向量组,即第6页，共37页，2023年，2月20日，星期日

是酉空间中的一组标准酉交基.记U=(),它是一个酉阵，即UHU=UUH=I，那么即A与以为对角元的对角阵相似A为正定矩阵的充分必要条件是全为正数.第7页，共37页，2023年，2月20日，星期日设是Hermite矩阵A的n个特征值，那么因此又由得定理5证明第8页，共37页，2023年，2月20日，星期日

如果A的n个特征值为其相应的标准酉交的特征向量为那么有

设A是Hermite矩阵，那么设x是一个非零向量,A是Hermite矩阵,称为矩阵A关于向量x的Rayleigh商，记为R(x).或定理6定理7第9页，共37页，2023年，2月20日，星期日二、极值定理

(极值定理)

设Hermite矩阵的n个特征值为，其相应的标准酉交特征向量为用Ck表示酉空间Cn中任意的k维子空间，那么或定理8第10页，共37页，2023年，2月20日，星期日矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就单个特征值或整体特征值给出条件数进行分析.对于Hermite矩阵，由于其特征值问题的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明Hermite矩阵特征值的扰动定理.三、Hermite矩阵特征值问题的性态矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都存在当矩阵A的原始数据有小变化(小扰动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题，如果引起的变化小，称该特征值问题是良态的.反之，称为病态的.第11页，共37页，2023年，2月20日，星期日(扰动定理

)

设矩阵A,E,A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为,,,那么,设矩阵A关于特征值λ1,λ2,…,λn

的标准酉交特征向量为u1,u2,…,un，是由ui,ui+1,…,un生成的n-i+1维子空间.对中任意非零向量x,由极值定理,有定理9证明第12页，共37页，2023年，2月20日，星期日由定理又由定理，对任意x≠0，有从而有另一方面,A=(A+E)-E.那么，重复上面的过程,可得从而有为矩阵-E的特征值记，第13页，共37页，2023年，2月20日，星期日设矩阵A和A’=A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为和，那么

这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化不会超过‖E‖2.一般‖E‖2小，因此，Hermite矩阵特征值是良态的.定理10第14页，共37页，2023年，2月20日，星期日乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相应特征向量的算法.§3乘幂法设A是n阶矩阵,其n个特征值按模从大到小排序为又假设关于λ1,λ2,…,λn的特征向量v1,v2,…,vn线性无关一、乘幂法第15页，共37页，2023年，2月20日，星期日任意取定初始向量x0建立迭代公式：第16页，共37页，2023年，2月20日，星期日故当k→∞时，xk→λ1ka1v1.因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量有一严重缺点，当|1|>1（或|1|<1时）{vk}中不为零的分量将随k的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随k的增大而很快出现下溢）因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量xk进行“规范化”。迭代格式改为:因为第17页，共37页，2023年，2月20日，星期日对任意给定的初始向量x0类似地当1>0时第18页，共37页，2023年，2月20日，星期日按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂法的计算公式：当1<0时若λ1为A的实重根,幂法仍然有效.第19页，共37页，2023年，2月20日，星期日试用幂法求按模最大的特征值和相应的特征向量例1第20页，共37页，2023年，2月20日，星期日通过B求λ1-p的速度快于通过A求λ1的速度二、加速方法幂法计算A的特征值λ1的收敛速度主要由决定有特征值λ1-p,λ2-p,…,λn-p选择p使λ1-p仍为B的主特征值,且满足第21页，共37页，2023年，2月20日，星期日求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法,又称为反迭代法.§4反幂法反幂法可以求一个非奇异矩阵A的逆矩阵A-1的按模最小的特征值及相应的特征向量，又可以求A的某个近似特征值相应的特征向量.若A非奇异,且Ax=λx,则A-1x=λ-1x因此,求A按模最小特征值就是求A-1按模最大特征值第22页，共37页，2023年，2月20日，星期日一、λi的近似求法若A有特征值λi,λi有近似值:先对矩阵进行LU分解记第23页，共37页，2023年，2月20日，星期日

“半迭代法”的命名也由此而得.二、半迭代法一种选取特殊的初始向量x0的反幂法选取初始向量x0满足‖x0‖∞=1，这时z0=x0对照上页中的第二个式子.可把z0看成满足Le=z0这里，e=(1,1,…,1)T,而z0的各个分量的取值多少是无关重要的这样,在第一个迭代步的计算中,只需求解上页中的上三角方程组Ux1=e.假设第24页，共37页，2023年，2月20日，星期日例2试用反幂法求矩阵A最接近于的特征值和相应的特征向量取作半迭代，计算结果如表第25页，共37页，2023年，2月20日，星期日由于A是对称矩阵，做一次Rayleigh商加速与精确值λs=2相比，这次加速有较好效果第26页，共37页，2023年，2月20日，星期日理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元的对角阵.问题是如何构造这样的正交矩阵呢?Jacobi方法就是通过构造特殊的正交矩阵序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的.§5Jacobi方法第27页，共37页，2023年，2月20日，星期日一、平面旋转矩阵与相似约化先看一个简单的例子.设是二阶实对称矩阵,即a21=a12,其特征值为λ1,λ2.容易验证BT=B,且令使得第28页，共37页，2023年，2月20日，星期日当时为使RTAR为对角阵，要求b12=b21=0解之得:当时可选取一般的n阶平面旋转矩阵第29页，共37页，2023年，2月20日，星期日构造一个相似矩阵序列，使{Ak}收敛于一个对角阵.其中Qk为平面旋转矩阵，其旋转角θk由使Ak的绝对值最大元a(k)pq=a(k)qp=0或按列依次使A的非对角元零化来确定.二、经典的Jacobi方法设A是实对称矩阵，记A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式Ak+1=QTkAkQk,k=1,2,…第30页，共37页，2023年，2月20日，星期日

设A是n阶实对称矩阵，那么由Jacobi方法产

生的相似矩阵序列{Ak}的非对角元收敛于0.也就

是说，{Ak}收敛于以A的特征值为对角元的对角记其中Ek是Ak除主对角元外的矩阵.由平面旋转矩阵的性质中,对于,有因此,定理11第31页，共37页，2023年，2月20日，星期日又由假设,因此,这样,便有从而,当第32页，共37页，2023年，2月20日，星期日循环Jacobi方法必须一次又一次扫描,才能使{Ak}收敛于对角阵，计算量很大.在实际计算中，往往用一些特殊方法来控制扫描次数,减少计算量.减少阈值的方法通常是先固定一个正整数M≥n，扫描一次后，让.而阈值的下界是根据实际问题的精度要求选定的.三、实用的Jacobi方法下面介绍一种应用最为广泛的特殊循环Jacobi方法——阈Jacobi方法.阈Jacobi方法首先确定一个阈值δ，在对非对角元零化的一次扫描中，只对其中绝对值超过阈值的非对角元进行零化.当所有非对角元素的绝对值都不超过阈值后，将阈值减少，再重复下一轮扫描，直至阈值充分小为止.第33页，共37页，2023年，2月20日，星期日当Ak+1的非对角元素充分小，Qk的第j列qj可以看成是近似特征值a(k+1)jj相应的特征向量了.四、用Jacobi方法计算特征向量假定经过k次迭代得到Ak+1=RTk…RT1AR1…Rk，这时Ak+1是满足精度要求的一个近似的对角阵.记Qk=R1R2…Rk=Qk-1Rk，则，Qk是一个正交矩阵，Ak+1=QTkAQk.在实际计算中，把Qk看成是Qk-1右乘一个平面旋转矩