山西省吕梁市2022届高三上学期第一次模拟数学(理)试题 附答案

第第#页共1810分10分11分2即如+br bn=——1- n2灯+奴+…+如_\=—-1(»>2)n-\\=--—nn一2当/?=1时，/?!=J-1=所以九=,1,〃=1一〃(〃一1)心212分18.【解析】(1)由己知得cosA=c2+b2-a2_a/3"T2bc因0vA<;r,所以A=—因为cosA=3-竺竺，由正弦定理得cosA=3-SmAC°SflsmB3sin5=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,所以c=3b(2)由(1)得A=-•/\ACD中，

6由正弦定理得，ADCDACsinZACDsinAsinZADC? ・7t5CDsinZ4CD2XsmT2x1

所以AD= —-——= =—=4,SMIASin-62xsm—2x—.-CDsinZADC 3 7所以b=2后sin—6又c=3b,所以BD=c-AD=6\/3-4所以SF=?CDXBDsmZBDC=2乂(6旧一斗=9-2—10分12分TOC\o"1-5"\h\z［解析】⑴广(】)二丄_乌二涔(工>0), 1分XJTT当a<0时，f(x)>0,函数/(x)在(0,+刃)单调递增： 2分当〃>0时，由f(x)<。得，x<a,由/V)>0得，x>a 4 分所以函数/'(X)在(0~)单调递减，在(劣+8)单调递增. 5分综上所述当OV0时，函数/⑴在(0,+8)单调递增：当67>0时，函数/⑴在(0，“J单调递减，在(劣+8)单调递増. 6分(2)解法一：由(1)得，当〃式0时，函数在(0,+口)单调递増，最多有一个实根，不满足条件 7分当。>0时，函数/(X)在(0,。)单调递减，在0+0。)单调递増所以f⑴在X 时，有最小值/(t7)=ln«+l由f(a\<0得,Oviv丄 8 分e所以0<«2<-<1,f(a2)=21na+—e a下面证明:/(a2)>0I 2 1 ]设g(x)=21nx+—(x>0).g\x)= 9分X X X"当Ovxc?时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当时，g'(x)>0,g(x)单调递増>0所以^(x)>g^|j=21ii^+2=2(l-lii2)>0所以g(x)>0恒成立，即f(a2)>010分所以g(x)>0恒成立，即f(a2)>010分又f(l)=o>0上各有一个零点11分所以当OvnvL时，f(x)有两个零点一e12分解法二：由f(x)=lnx+-=0分离参数得，a=-x\nx 7分x设g(x)=-xmx，则g\x)=-lnx-lt上单调递増,由g'(x)>0得，0<上单调递増,由g'(X)VO得，8(*)在(j+8)E单调递减,TOC\o"1-5"\h\z所以g(x)在X=-处有最大值L, 10分e e易知当X21时，g(x)《0：当Ovxvl时，M(x)>0,x—0时，g(x)TO,所以当ne|o,i)时，>=«与y=g(.()有两个公共点， 11分Ve)即函数f(x)有两个零点. 12分【解析】(1)取对角线AC,BD的交点O,因为M、N分别为SA、SC的中点，所以MN//AC,分又ACU平面ACE,MNU平面ACE,所以MN〃平面ACE；取SE的中点F,连结DN交CE于G,则NF//CE,又E为DF的中点，所以G为DN的中点， 3分又。为BD的中点，所以OG/BN.OGu平面ACE,BNCZ平面ACE,所以BN〃平面ACE,又BMu平面BMN,&Vu平面BMN,MNC\BN=N,所以平面8协V〃平面ACE： 6 分(2)以。为坐标原点，OB,OC,ON所在直线为WZ轴建立空间直角坐标系。-格空・则A(0,—2,0),C(0,2,0),BQ&0,0),S(0,—2,3),D(-2^10,0),设E(jb,c),设E(jb,c),由DE=-DS得,所以o=—堑，AC=(0,4,0)>BS=(-2>/5,-2.3) 8 分设平面人CE所以o=—堑，AC=(0,4,0)>BS=(-2>/5,-2.3) 8 分设平面人CE的一个法向量为〃=（x,y,z）,由〈〃・AE=0可得<〃-AC=O4^3 44v=0W不妨设%=73•nI得〃=(JJ,0.4),10分设直线as与平面厶京所成的角为3,则sin0=cos<n,BS>= 6^191〃丨•丨灼~73+16x712+4+9nBS|-6+12|11分TOC\o"1-5"\h\z所以直线跪与平面ME所成角的正弦值为饗. 】2分【解析】（1）由抛物线的定义得，|四尸|=2+号=3 2分所以P=2 ,《的方程为/=4.r- 4分（2）假设存在实数t,便得8C与圆A，相切.当A为坐标原点。（0.0）时，由8C与圆'相切得，8（,+2,2*7三）,直线的方程为2.—后方=0,市直线与圆n相切得，-7=£J==2\J4+t+2解之得J=3或』=-2当？=-2时，A.B.C三点重合，舍去.下面证明当/=3时，满足条件.设A号，丸,TOC\o"1-5"\h\z则直线的旭方程为：4'一（"+为），+为）1=。 7分, -, *3+）成|因AB与圆N:（s3）-+y-=4相切，所以”, 厂=2小6+（乂+丸）・即我一4）质+16.\仍一4（戎一20）=0 8分同理由AC与圆2:（—3）'+.『=4相切得，（戈-4）y；+16以-4（引20）=0 9分即凹况为方程（），4））；+16>o・V-4（.菊-20）=0的两根,所以.为+凫=一营JW/一岑乎10分N到直线BC的距离为"=”x3+"）』12(^-4)-4(^-20)|8(房+4)J16+（）\+yj小6（招一4）'+（16&）‘4（赤+4）所以直线BC与圖N相切. 11分因此存在实数，=3,使得使得直线BC与圆JV相切. 12分22.【解析】（1）解法一：设圆C上任意一点的坐标为户（Q,〃），则|PC|=5,由余弦定理得I+p'-2x572/?cos|0一号）=25化简得-10p(cos+sin^)+25=0圆C的极坐标方程为Q‘-lOQ（sin0+cos0）+25=O・解法二：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则圆心°的直角坐标为C（5,5）,圆C的方程为(x-5)：+(y-5)2=25,即.v+-y2-10x-10y+25=0,illx=pcos0,y=psm^.得圆C的极坐标方程为"T°"(smQ+cos8)+25=0(2)将6=a代入圆C的极坐标方程得/?2-10(sm«+cosa)p+25=0,设点的极坐标分别为•（必.a）,闰外.a）.{PCPr=10(sina+cos。)—厶%V 丿①PaPb=25由AB=WA,得00=5函,即Pr=、Pz代入①解得Pa-Pr=^Pa=25.故&=底％=54^，即pA+Pb=10(sma+cos<z)=6>/5故sin«+cosa=^510分23.【解析】(1)解法一：x2+4y2>2yjx2x4y2=4xy所以2(丁+4y2)>x2+4/+4包=(x+2y)2=16TOC\o"1-5"\h\z所以x2+4y2>8.当且仅当x=2,y=1时等号成立. 5分解法二：x2+4y2=（4-2y）：+4r=8r-16y+16=8（y-l）：+8>