必修4第二章平面向量导学案

第二章平面向量向量的观点及表示【学习目标】认识向量的实际背景，理解平面向量的观点和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的观点；并会划分平行向量、相等向量和共线向量；经过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；经过学生对向量与数量的辨别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的观点和向量的几何表示；难点：划分平行向量、相等向量和共线向量；基础梳理向量的定义：__________________________________________________________;向量的表示：1）图形表示：2）字母表示：向量的有关观点：1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________2）零向量：___________________，记作：_____________________3）单位向量：________________________________4）平行向量：________________________________5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形____2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请更正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；rrrrrr4）向量a和b是共线向量，b//c，则a和c是方向相同的向量；5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O是正六边形ABCDEF的中心，在图中标出的向量中：uuur（1）试找出与EF共线的向量；EDuuur（2）确定与EF相等的向量；uuuruuurFO（3）OA与BC相等吗CAB例3.如下图的为34的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终uuuruuur2的向点都在小方格的极点处且与向量AB相等的向量共有几个与向量AB平行且模为uuur32的向量共有多少个量共有几个与向量AB的方向相同且模为BA课后稳固训练判断下列说法是否正确，若不正确请更正：uuuruuur1）向量AB和CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；2）单位向量都相等；3）随意一向量与它的相反向量都不想等；uuuruuur（4）四边形ABCD是平行四边形当且仅当ABCD；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；uuur2.平面直角坐标系xOy中，已知|OA|2，则A点组成的图形是__________uuur1uuuruuuruuurABCD的形状是_________3.四边形ABCD中，ABDC,|AD||BC|，则四边形2rrr4.设a0，则与a方向相同的单位向量是______________若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。uuuruuuur求证：EF//NM已知飞机从甲地北偏东30o的方向飞翔2000km抵达乙地，再从乙地按南偏东30o的方向飞翔2000km抵达丙地，再从丙地按西南方向飞翔10002km抵达丁地，问：丁地在甲地的什么方向丁地距甲地多远向量的加法【学习目标】掌握向量加法的定义；会用向量加法的三角法例和向量的平行四边形法例作两个向量的和向量；掌握向量加法的互换律和联合律，并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点：向量加法的三角法例、平行四边形则和加法运算律；难点：向量加法的三角法例、平行四边形则和加法运算律；基础梳理向量的和、向量的加法：r已知向量a和b，______________________________________________________uuurrr则向量OB叫做a与b的和，记作：_____________________________________________________________________叫做向量的加法rBbrrbaOrAa注意：两个向量的和向量仍是一个向量；向量加法的几何作法：（1）三角形法例的步骤：①②③rrOB就是所做的ab2）平行四边形法例的步骤：①②③uuurrrOC就是所做的ab注意：向量加法的平行四边形法例，只合用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角形法例对于任何两个向量都合用。向量加法的运算律：（1）向量加法的互换律：_________________________________________（2）向量加法的联合律：_________________________________________思考：如果平面内有n个向量依次首尾相接组成一条关闭折线，那么这n条向量的和是什么________________【典型例题】例1.如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）OAOC（2）BCEF（3）OAFEEDF?OCAB例2.化简下列各式uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuur（1）ABBCCDDAEA（2）ABMBBOOMuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（3）ABDFCDBCFA（4）ABCD(BCDB)BC例3.在长江南岸某处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应怎样确定课后稳固训练rrrr已知a,b，求作：ab1）rarb2）rarb2.已知O是平行四边形ABCD的交点，下列结论正确的有_________1）3）

uuuruuuruuuruuuruuuruuurABCBAC（2）ABADACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrADCDBD（4）AOCOOBOD03.设点O是uuuruuuruuurrABC的______心；ABC内一点，若OAOBOC0，则点O为rrrrrrrr4.对于随意的a,b，不等式|a||b||ab||a||b|建立吗请说明原因。向量的减法【学习目标】理解向量减法的观点；会做两个向量的差；会进行向量加、减得混淆运算培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点：三角形法例难点：三角形法例，向量加、减混淆运算基础梳理1.向量的减法：rrrrr①a与b的差：若__________________，则向量x叫做a与b的差，记为__________r②向量a与b的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。r向量ab的减法的作图方法：作法：①_______________________________________________________________________________________________uuurrr则BAab减去一个向量等于加上这个向量的相反向量rrraba

r(b)对于向量减法需要注意一下几点：①在用三角形法例做向量减法时，只需记着连结两向量的终点，箭头指向被减向量即可.uuurruuurr②以向量ABa,ADb为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为uuurrruuurrruuurrrACab,BDba，DBab这一结论在此后应用仍是特别宽泛，应加强理解；uuuruuuruuur③对于随意一点O，ABOBOA，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记着.【典型例题】rrrurrrrur例1.已知向量a,b,c,d，求作向量：ab,cd；rbrrcaurd思考：如果

ra

/

r/b

，怎么做出

ra

rb例2.已知O是平行四边形uuurruuurruuurrABCD的对角线的交点，若ABa,DAb,OCc,试证DCrOrbc明：思考

rrruuurbcaOAuuuruuuruuuruuuruuuruuur1.（1）OAOCCAOCCBCDrruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）caOCABOCDCODOAAD随意一个非零向量都能够表示为两个不共线的向量和例3.化简下列各式1）2）

uuuruuuruuuruuurABBC(BDAD)uuuruuuruuuruuuruuurABDABDBCCAuuuruuuruuuruuur（3）(ABDC)(ACBD)课后稳固训练1.在ABC中，C90o，ACBC，下列等式建立的有_____________uuuruuuruuuruuur（1）|CACB||CACB|uuuruuuruuuruuur（2）|ABAC||BABC|uuuruuuruuuruuur（3）|CABA||CBAB|uuuruuuruuuruuuruuuruuur（4）|CACB|2|ABAC|2|BACA|2uuuruuuruuuruuur2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交与O点，且AOOC,BOOD，求证：四边形ABCD是平行四边形。如图，点，已知

ABCD是一个梯形，AB//CD,AB2CD，M,N分别是DC,AB的中uuurruuurrrruuuruuuurABa,ADb,试用a,b表示BC和MNMDCABN向量的数乘（1）【学习目标】掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；经过本课的学习，渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点：向量的数乘及运算律；难点：向量的数乘及运算律；基础梳理向量的数乘的定义：r一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作：_______；它的长度和方向规定如下：rr（1）|a||||a|（2）当0时，_______________________；当0时，_______________________；当0时，_______________________；______________________________叫做向量的数乘向量的线性运算定义：___________________________________________统称为向量的线性运算；向量的数乘的作图：rrr已知a,作bar当0时，把a按原来的方向变为原来的倍；r当0时，把a按原来的相反方向变为原来的倍；向量的数乘知足的运算律：r设,为随意实数，a,b为随意愿量，则（1）联合律______________________________________（2）分派律_______________________________________注意：（1）向量本身拥有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形联合的详细应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。【典型例题】rr例1.已知向量a,b，求作：rr（1）向量a2.5arr（2）2a3b例2.计算r1）(5)g4arrrrr（2）5(ab)4(ab)3arrr3(rrr（3）2(2a6b3c)3a4b2c)

rb注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都知足联合律和分派律。不同点：实数的数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。（2）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法例与多项式运算近似。uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur例3.已知OA,OB是不共线的向量，APtAB,(tR)，试用OA,OB表示OPAPBO例4.已知：ABC中，D为BC的中点，E,F为AC,BA的中点，AD,BE,CF相交于O点，求证：Auuur1uuuruuur（1）AD(ABAC)2uuuruuuruuurrFE（2）ADBECF0Ouuuruuuruuurr（3）OAOBOC0CBD课后稳固训练1.计算：rrrr（1）3(5a3b)2(6ab)rrrrrr（2）4(a3b5c)2(3a6b8c)rrrrrrrrrrr2.已知向量a,b且3(xa)2(x2a)4(xab)0,求xuuurruuurruuuruuurrr3.在平行四边形ABCD中，ABa,ADb,AN3NC,M为BC的中点，用a,buuuur来表示MNuuurruuurrABC的重心，4.如图，在ABC中，ABa,BCb,AD为边BC的中线，G为uuur求向量AGAra?GBrDCb向量的数乘（2）【学习目标】理解并掌握向量的共线定理；能运用向量共线定理证明简单的几何问题；培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理；难点：向量的共线定理；基础梳理向量的线性表示：rrrrrr若果ba,(a0)，则称向量b能够用非零向量a线性表示；向量共线定理：rr思考：向量共线定理中有a0这个限制条件，若无此条件，会有什么结果【典型例题】例1.如图，

D,E

分别是

ABC的边

AB,AC

的中点，uuuruuurC（1）将DE用BC线性表示；uuuruuur（2）求证：BC与DE共线；EBDAuruur例2.设e,e是两个不共线的向量，已知uuururuur1uuur2uruuruuururuurk的值。AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2，若A,B,D三点共线，求uruur变式：设e1,e2是两个不共线的向量,已知uuururuuruuururuuruuururuurAB2e18e2,CBe13e2,CD2e1e2,求证：A,B,D三点共线。例3.如图，OAB中，C为直线AB上一点，ACCB,1,uuuruuuruuurOAOB求证：OC1思考：（1）当1时，你能获得什么结论uuuruuuruuurOAOBAB上一点C的（2）上面所证的结论：OC1表示：起点为O，终点为直线uuuruuuruuuruuuruuur向量OC能够用OA,OB表示，那么两个不共线的向量OA,OB能够表示平面上随意一个向量吗课后稳固训练ruruurruururrr1.已知向量a2e2e,b3(ee),求证：a,b为共线向量；1221uruurruruurruruurrr2.设e1,e2是两个不共线的向量，a2e1e2,bke1e2,若a,b是共线向量，求k的值。已知向量否存在实数

ruruurruruururuurruruura2e3e,b2e3e,其中e,e不共线，向量c2e9e，是12121212,urrrr，使得dab与c共线4.平面直角坐标系中，已知A(3,1),B(uuuruuuruuur1,3),若点C知足OCOAOB,其中,R,A,B,C三点共线，求的值；2．3．1平面向量基来源理【学习目标】1．认识平面向量的基本定理及其意义；2．掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法：3．提高学生剖析问题、解决问题的能力。基础梳理1、平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使a=1e1+2e22.、基底：平面向量的基本定理中的不共线的向量e1,e2，称为这一平面内所有向量的一组基底。思考：1）向量作为基底必须具备什么条件2）一个平面的基底唯一吗答：（1）______________________________________________________2）______________________________________________________3、向量的分解、向量的正交分解：一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式，我们称它为向量的分解，当e1,e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。4、点共线的证明方法：___________________________________________【典型例题】例1：如图：平行四边形

ABCD的对角线

AC和

BD交于一点

M，

AB

=a

,

AD

=b试用a

,

b，表示

MC

,MA

,

MB

和MD

。D

CMbABa例2：设e1，e2是平面的一组基底，如果AB=3e1—2e2，BC=4e1+e2，CD=8e1—9e2，求证：A、B、D三点共线。例3：如图，在平行四边形ABCD中，点M在AB的延伸线上，且BM=1AB，点N在BC上，2且BN=1BC，用向量法证明：M、N、D三点共线。3DCNABM课后稳固训练1、若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（）A、e1—2e2和e1+2e2B、e1与3e2C、2e1+3e2和-4e1—6e2D、e1+e2与e12、若e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论建立的是（）A、若实数1，2使1e1+2e2=0，则1=2=0B、空间随意愿量都能够表示为a=1e1+2e2，1，2RC、1e1+2e2，1，2R不一定表示平面内一个向量D、对于这一平面内的任一向量a，使a=1e1+2e2的实数对1，2有无数对3、三角形ABC中，若D，E，F依次是AB四平分点，则以CB=e1，CA=e2为基底时，用e1，e2表示CFBFE·D·AC4、若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,写出用1b+2c的形式表示a2．3．2向量的坐标表示(1)【学习目标】1、能正确的用坐标来表示向量；2、能划分向量的坐标与点的坐标的不同；3、掌握平面向量的直角坐标运算；4、提高剖析问题的能力。基础梳理1、一般地，对于向量a，当它的起点移至_______时，其终点的坐标(x,y)称为向量a的（直角）坐标，记作________________________。2、有向线段AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB的坐标为__________________________________________________。3、若a=(x1,y1)，b(x2,y2)a+b=_________________________。ab________________________。【典型例题】例1：如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，OA43,xOA600，求向量OA的坐标。例2：已知A（-1，3），B（1，-3），C(4,1),D(3,4),求向量OA,OB,AO,CD的坐标。例3：平面上三点A（-2,1），B（-1,3），C（3，4）,求D点坐标，使A,B,C,D这四个点组成平行四边形的四个极点。例4：已知P1（x1,y1），P2（x2,y2），P是直线P1P2上一点，且P1PPP2(1)，求P的坐标。课后稳固训练1、与向量a(12,5)平行的单位向量为__________________________________2、若O（0,0）,B(-1,3)且OB/=3OB，则B/坐标是：___________________3、已知O是坐标原点，点A在第二象限，OA=2,xOA1500求向量OA的坐标。4、已知边长为2的正三角形ABC，极点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求AB,AC,BC,BD的坐标。2．3．2向量的坐标表示（2）【学习目标】1、进一步掌握向量的坐标表示；2、理解向量平行坐标表示的推导过程；3、提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。基础梳理1、向量平行的线性表示是_____________________________2、向量平行的坐标表示是：设a(x1,y1)，b(x2,y2)(a0)，如果a∥b，那么_________________，反之也建立。3、已知A，B，C，O四点知足条件：OAOBOC，当1，则能获得________________________________________【典型例题】11例1：已知A（1,0)，B(3,1),C(1,2),并且AEAC,BFBC,求证：EF33AB。例2：已知a(1,0),b(2,1)，当实数k为何值时，向量kab与a3b平行并确定此时它们是同向仍是反向。例3：已知点

O,A,B,C,

的坐标分别为（

0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在常数

t，OA

tOB

OC

建立解释你所得结论的几何意义。课后稳固训练1.已知a(2,3),b(6,y),且a∥b，求实数y的值。2.已知，平行四边形ABCD的三个极点的坐标分别为A(2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求第四个极点的D坐标。3.已知A(0,－2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A，B，C三点共线。4.已知向量a(3,4)，求与向量a同方向的单位向量。5.若两个向量a(1,x),b(x,4)方向相同，求a2b。2．4．1向量的数量积（1）【学习目标】理解平面向量数量积的观点及其几何意义掌握数量积的运算法例认识平面向量数量积与投影的关系基础梳理1.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则把数量_________________叫做向量a与b的数量积（或内积）。规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________2.已知两个非零向量a与b，作OAa，OBb，则______________________叫做向量a与b的夹角。当00时，a与b___________，当1800时，a与b_________；当900时，则称a与b__________。3.对于a?ba?bcos，其中_____________叫做b在a方向上的投影。平面向量数量积的性质若a与b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与b的夹角，则：①a?ee?aa?cos；a?b0ab；③a?bab；④若a与b同向，则a?ba?b；若a与b反向，则a?ba?b；2a?aa或aa?a⑤设是a与b的夹角，则cosa?b。ab数量积的运算律①互换律：________________________________②数乘联合律：_________________________③分派律：_____________________________注：①、要划分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差别。②、数量积得运算只适合互换律，加乘分派律及数乘联合律，但不适合乘法联合律。即(a?b)?c不一定等于a?(b?c)，也不适合消去律。【典型例题】例1：已知向量

a

与向量

b

的夹角为

，a

=2

，

b

=3，分别在下列条件下求

a?b：（1）

=135

0

；

（2）a

∥

b

；

（3）

a

b例2：已知a=4，b=8，且a与b的夹角为1200。计算：（1）(a2b)?(2ab)；2）a2b。例3：已知a=4，b=6，a与b的夹角为600，求：（1）、a?b（2）、a?(ab)（3）、(2ab)?(a3b)例4：已知向量ae，e=1，对随意tR,恒有ateae，则（）A、aeB、a（ae)C（ae)D、（ae)(ae)、e课后稳固训练、已知a=10，b=12，且(3a)?(1b)36，则a与b的夹角为__________152、已知a、b、c是三个非零向量，试判断下列结论是否正确：（1）、若a?ba?b，则a∥b（）（2）、若a?cb?c，则ab（）（3）、若abab，则ab（）3、已知a?b0,a2,b3,(3a2b)?(ab)0，则__________4、四边形ABCD知足AB=DC,则四边形ABCD是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形5、正ABC边长为a，则AB?ACBC?CACA?AB__________2．4．1向量的数量积（2）【学习目标】1、能够理解和娴熟运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；2、理解并掌握两个向量垂直的条件。基础梳理1、若a(x1,y1),b(x2,y2)则a?b______________________________2、向量的模长公式：2y2设a(x,y)则a=aacos=a?ax2a__________3、两点间距离公式设A（x1,y1)B(x2,y2)则AB(x2x1,y2y1),AB__________4、向量的夹角公式：设a=（x1,y1)，b(x2,y2)，a与b的夹角为，则有cosa?b__________ab5、两个向量垂直：设a=（x1,y1)，b(x2,y2)，a0,b0ab____________________注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。【典型例题】例1：已知a=（2，1)，b(3,2)，求(3ab)?(a2b)。例2：在ABC中，设AB(2,3),AC(1,k)且ABC为直角三角形，求k的值。例3：设向量ae1e2,b4e13e2，其中e1=（1，0），e2=（0，1）1）、试计算a?b及ab的值。2）、求向量a与b的夹角大小。课后稳固训练1、已知a(2,2),b(1,2)，求：(ab)?(3a2b).2、已知向量a(1,1),b(2,3)，若ka2b与a垂直，则实数k=__________、已知a(1,2),b(x,1)若a2b与2ab平行，则x__________34、已知A、B、C是平面上的三个点，其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,1).那么AB?AC=__________，ACB__________，ABC的形状为__________5、已知a(m2,m3),b(2m1,m2)，且a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围。必修4第二章平面向量教学质量检测.选择题（5分×12=60分）:1．以下说法错误的选项是（）A．零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD的是（）A．（AB＋CD）＋BC；B．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM；D．OC－OA＋CD；3．已知a=（3，4），b=（5，12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．136554．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为°那么ab（）60,|+3|=A．7B．10C．13D．45．已知ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC＝（）（A）12(ab)