电磁场理论第十周课件

电磁场理论第十周课件第1页，共80页，2023年，2月20日，星期一ReviewToaddressBVPusingthemethodofcomplexfunctionThemethodofcomplexpotentialConformalmappingThemethodofcomplexpotentialTwoformsofthecomplexpotential(potentialintherealpartorimaginarypart)Usingthecomplexpotentialtogettheelectricfieldintensity(twoformulas)Tips:findthesimilaritybetweenisopotentialline,elineandthegraphsofthecomplexfunction(realandimagpart);chooseappropriatefunction;determinethecoefficients第2页，共80页，2023年，2月20日，星期一ReviewConformalmappingmethodPropertiesoftheconformalmappingmethodQuantitiesunchangedinthemappingprocess(angle,equationform,potential,charge,capacitance)Quantitieschanged:anglewhenW’(z)=0;source;electricalintensity;shapeofthedomain;Tips:befamiliarwiththeelementaryfunctionsofcomplexvariables,esp.thegraphsconcernedwiththerealandimagpart.Choosethefunction;calculateintheWplane;changethevariablesbacktotheoriginalZplane.第3页，共80页，2023年，2月20日，星期一电磁场理论第十周讲稿§4.8复变函数法作业：4－36，37，38第4页，共80页，2023年，2月20日，星期一

§4.8复变函数法概述1、复变函数及其性质

2、复势函数法例题3、保角变换4、许瓦兹——克利斯多菲变换例题第5页，共80页，2023年，2月20日，星期一

概述复变函数法是求解边界形状比较复杂的二维场的一种有效方法。它是利用复变函数中一类称之为解析函数特有的性质来求解二维静态场。应用方式有两种：一是直接利用解析函数的实部或虚部作为待求场的解；另一种是利用解析函数的保角变换性质将一个形状较为复杂的二维势场转化为新的坐标系下边界形状较为简单的势场，求解后再代回到原平面的变量中。第6页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、

复变函数及其性质

1、复变数与复变函数复变数复变函数式中实变数、均为x、y的单值函数。2、解析函数与柯西-黎曼条件解析函数复变函数的导数和实数的定义相似，即其导数为第7页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、复变函数及其性质

一个复变函数如在某区域内所有的点都存唯一的导数，则称为在该区域的解析函数。它是复变函数中最重要的一类。柯西-黎曼条件解析函数满足称为柯西-黎曼条件，可以证明此条件是关于为解析函数的必要条件。第8页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、复变函数及其性质

3、解析函数的性质(1)调和性将柯西-黎曼条件分别对x、y求导得即同理这一性质称为调和性，相应的、称为调和函数。或共轭调和函数。第9页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、复变函数及其性质

（2）正交性即上式说明，和的曲线相正交。

（3）保角性设在z平面内有两条过点的简单光滑曲线C

、，它们经过变换到t平面的像分别为。第10页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、复变函数及其性质

以表示C

、在点的切线与x轴正向夹角，而以表示在点的切线与x轴正向夹角，如下图CyxZ平面t平面第11页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、复变函数及其性质

根据导数定义，在时，有复数相除时，对应的辐角相减，故第12页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、复变函数及其性质

上式表明两曲线均旋转相同的角。故在平面上两曲线的交角不变，即变换具有保角性质.另外，由可以说明，对附近任一给定的小线段，在t平面上附近有一与之对应的小线段，其长度被“放大”了倍，且旋转了角,上述性质因而称为保角变换。第13页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、复变函数及其性质

保角变换把z平面上的每个点、弧线或区域以对应的方式变换到t平面上，且两线间夹角及其旋转方向均不变。如z平面上两相互正交曲线对应电场中的电力线和等势线，则变换到平面上两曲线仍相互正交，且其有相同的物理意义。这样，借助于复变函数的保角变换特性，有可能把一个给定的、其场域几何特征比较复杂的两维场问题变换为另一个场域几何特征比较简单的两维场问题。第14页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法静态场的标量势函数在无源区满足拉普拉斯方程;复变函数中解析函数的重要性质是实部和虚部均满足拉普拉斯方程，因而代表一个平面场。不同的解析函数的实部和虚部代表不同的几何图形，如果某一解析函数的实部和虚部代表几何图形与所求的边界问题相吻合，则解析函数可作为待求势函数的解。第15页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法1、复势用复变函数的实部或虚部作为势函数，称为复势。即

或为了进一步求得场强的表达式，设为势函数或电位函数，为通量函数，可得（第一种情况）

第16页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法或由复电势的导数得第17页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法即如果选，则所以：第18页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法第19页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法下面考虑的物理意义。计算穿过曲线AB的通量。左手定则：线元方向、、外法线。xyBAdln第20页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法上式表明，函数确为静电场的通量函数。应用时：1、选择曲线的“正方向”（左手）；

2、观察通量函数的位置；

3、使用“前前后后”的规则。一个小例子。只要找到复势函数就可以给出电势分布。但，寻找需要的复势没有一定的方法，而必须根据解析函数所代表的曲线族的特征来选取相应的函数作为复势。第21页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、复势函数法用复势函数法求解势场边值问题的基本思想：（1）找到一个复势函数，使它的实部或虚部在Z平面所描绘的曲线能与边值问题中等势线或力线相重合。实际上总是先研究一系列已知的解析函数在Z平面所描绘出实部或虚部的曲线，然后凭我们对所求问题的力线和等势线的了解，找出适合与那种类型的势场边值问题，再选取相应的解析函数；（2）对相应的势场进行分析计算。所以这种方法要求我们知道常见的一些解析函数的实部和虚部的曲线第22页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题例：夹角为的两半无限大平面上电势分别为求内电势和电场强度。分析：我们知道，对数函数中

曲线表示r=常数的一族圆；曲线表示=常数的径向平面族。第23页，共80页，2023年，2月20日，星期一解：设，则选r=1时，则选则例题第24页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题或第25页，共80页，2023年，2月20日，星期一如图所示，在坐标原点处放置一个无限长的带电直导线，其电荷线密度为，用复势函数法确定其周围的电势及通量函数分布AxyBEOn第26页，共80页，2023年，2月20日，星期一（高斯定理）第27页，共80页，2023年，2月20日，星期一在原点处放置一无限长的电流I，试用复势函数法确定其周围的势函数和通量函数xyABOH第28页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题由安培环路定律第29页，共80页，2023年，2月20日，星期一Z平面上夹角为()

的两半无限大合成的角形域变换为w平面上的上半平面，则变换为当对应变换则第30页，共80页，2023年，2月20日，星期一复电势则取虚轴的通量为零和实轴的电势为零,则二常数为零即若则故第31页，共80页，2023年，2月20日，星期一例求扇形电阻片的电阻第32页，共80页，2023年，2月20日，星期一则故因通量为故第33页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换从复变函数的知识可知：如果函数u(x,y)在z平面上是拉普拉斯的解，通过保角变换后变成、的函数，此函数在t平面上仍满足拉普拉斯方程；xyOZ平面Ot平面第34页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换角度不变；方程形式不变；电势不变；总电荷不变；电容不变；线度改变；源的强度改变；电场强度改变；边界形状改变；导数为0处角度改变；第35页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换常见的几种保角变换1、幂函数变换令则该变换的特点是把z平面的圆周变换成t平面的圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周；把以原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角形域，但其张角为原来的的n倍。

第36页，共80页，2023年，2月20日，星期一讨论变换若均匀场是t平面上具有平行于两坐标轴的直线族，则此变换将t平面的正实轴变换成z平面上的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成z平面上的正虚轴，这样t平面的上半平面变换成z平面的第一象限，如图所示。

三、保角变换

yxz平面t平面第37页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换

由得表明平行于轴的直线族将变换为等轴双曲线，而平行于轴的直线族变换为与之相互垂直的另一等轴曲线族。的实轴与x、y轴重合，表示电势为零。=常数表示等势线，常数表示通量线。

第38页，共80页，2023年，2月20日，星期一例求角形域中线电荷的电势采用极坐标系，w平面上的电势为第39页，共80页，2023年，2月20日，星期一以代入得第40页，共80页，2023年，2月20日，星期一当时，有其中第41页，共80页，2023年，2月20日，星期一当时，有与镜像法的结果相同。第42页，共80页，2023年，2月20日，星期一2、对数变换

对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变换。研究指数变换令，得可知：z平面上的直线常数变换到t平面上的圆周常数，而直线y＝常数变换成射线＝常数。因此，指数变换的特点是：把水平的带形城变换成角形区域。三、保角变换

ηξt平面z平面xy第43页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换对于变换取极坐标系则故而复电位即可见：在t平面上常数的直线在z平面表示一族圆；＝常数表示一族径向射线。

t平面yxz平面第44页，共80页，2023年，2月20日，星期一下面我们着重阐明三种基本场。（1）线电流场今在原点给一纵向电流I,当从0变至时，线电流的标量磁位的变化为与安培环流定律比较可得故复电位三、保角变换第45页，共80页，2023年，2月20日，星期一

（2）

线电荷源若将通量函数与势函数互换，则复电位此时，常数与电力线相合，表达了环绕电荷的路径切割所有由电荷散发出来的通量线。而常数与线电荷的等势面相合。

三、保角变换第46页，共80页，2023年，2月20日，星期一

故

复电位

(3)

两个半无限大等势平面的场

3.三角函数变换现在研究三角函数变换

三、保角变换φ00第47页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换将其展开得即将两式平方相加、相减得可见：＝常数表出一族椭圆．其半焦距为c；半长轴为而=常数表出一族共焦双曲线，其半焦距也为c，半实轴为。

第48页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换因此，在t平面上任一平行于轴的直线变换为平面上的椭圆，任一平行于轴的直线变换为z平面上的一条双曲线。

t平面z平面yx第49页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题椭圆同轴线内导体的外表面与外导体的内表面为共焦椭圆柱面。若内导体外表面的半长、短轴分别为a1、b1，外导体内表面的半长、短轴分别为a2、b2，两导体间填充介电常数为ε的介质。试求此椭圆同轴线单位长度的电容。a1a2b2b1xy第50页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题解：设内外两导体间电势为.由于所给问题的边界与反正弦函数的实部所表示的曲线(即共焦椭圆)重合，故令则故第51页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题两板间的电压为极板上单位长度的电量为电容为第52页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题解法2：用保角变换法由于等势面为椭圆，故可采用反正弦或反余弦函数变换来进行计算。yx第53页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题将z平面上的椭圆变成t平面上的直线区域，其宽度为。其间的电势仍满足所以，利用平行板电容器计算公式，得单位长度的电容为其中第54页，共80页，2023年，2月20日，星期一反三角变换的延伸z平面yxxyz平面yx第55页，共80页，2023年，2月20日，星期一4.分式线形变换一般形式

(1)

直线变换和偶极子

研究反演变换将其有理化得三、保角变换第56页，共80页，2023年，2月20日，星期一故有得当、为常数时，在平面上各为一族圆。即：平面上平行两坐标轴的直线变换成z平面的圆族。、为常数的两族圆均与轴相切与原点，如下图。三、保角变换第57页，共80页，2023年，2月20日，星期一这一场图与偶极子的通量线及等势线组成的场图是相同的。反演变换将均匀场(平面)与偶极子场联系起来了。三、保角变换z平面t平面第58页，共80页，2023年，2月20日，星期一(2)

圆的变换t平面上圆心在，半径为r的圆，其方程为经变换得整理得三、保角变换第59页，共80页，2023年，2月20日，星期一此为z平面上的圆方程。其半径为，圆心为，它是由t平面上半径为r，圆心在的圆变换得来的.如，变换后的圆全位于z平面的右半平面内。如，此圆在t平面上通过原点，变换到z平面上为一直线，表示为

三、保角变换第60页，共80页，2023年，2月20日，星期一保角变换第61页，共80页，2023年，2月20日，星期一如，变换后的圆，其圆心位于负实轴上，图形仍可能延展到右半平面上。因此，如z平面上原点选取合适，有可能将任意两个非同心圆变换为t平面上两同心圆。z平面的这两个非同心圆可以是一个圆在另一个圆内，两圆偏心；也可以是一个圆在另一个圆之外；甚至可以是一个圆靠近蜕化为直线的另一个圆。若某场的边界属于上述三种情况之一，则用变换法可求解附有适当边界条件的同心圆边界所对应的场。

三、保角变换第62页，共80页，2023年，2月20日，星期一5.简单的儒可夫斯基变换取式中A、a均为常数，此式可改写为得三、保角变换第63页，共80页，2023年，2月20日，星期一三、保角变换＝常数，对应椭圆，焦点为＝常数，对应双曲线，焦点为，对应两条射线；，对应一个线段。第64页，共80页，2023年，2月20日，星期一

将t和z分别写成实部和虚部的形式，便可以证明，此变换能将t平面实轴上大于和小于部分变换为z平面的实轴；而t平面实轴上一段则变换到z平面上，成为圆心在z＝0，半径为a的一个圆。三、保角变换z平面a-ayxt平面第65页，共80页，2023年，2月20日，星期一

更一般的变换式为

它可以将t平面实轴上大于和小于的区域变为z平面的实轴；t平面实轴上一段则变换到z平面上椭圆，其方程为三、保角变换第66页，共80页，2023年，2月20日，星期一用许瓦兹－克利斯多菲变换可将z平面上的多角形区域边界变换为t平面上的实轴，将多角形内域变换为平面的上半平面，如图所示。

四、许瓦兹－克利斯多菲变换t平面abcdOz平面ABCDyx第67页，共80页，2023年，2月20日，星期一

在平面的实轴上线段ab，bc，,cd，

…分别和平面上多角形的边界AB，BC，CD，…对应；实轴上的点a，b，c，d…分别和多角形顶点A，B，C，D，…对应；上半平面与多角形内的空间相对应。实际计算时，是采取把平面的实轴变为平面的多角形边界的方法。变换函数由积分下式而得四、许瓦兹－克利斯多菲变换第68页，共80页，2023年，2月20日，星期一

是多角形的内角，式中乘积项的数目与多角形边界顶点的个数相同。

实际变换中，将变换中的内角…用它们外角代之，从而给出了在平面上的边界在有关各顶点上旋转的角度。这样，变换变为四、许瓦兹－克利斯多菲变换第69页，共80页，2023年，2月20日，星期一四、许瓦兹－克利斯多菲变换

该方向的辐角直接确定了描绘多角形边界的dz单元的斜率，即平面上边界的变化，此辐角为现在讨论当t从一变至时，dz方向的变化

当时，上式中均为负实数，其辐角均等于，因此第70页，共80页，2023年，2月20日，星期一四、许瓦兹－克利斯多菲变换为常数，在z平面上给出一条直线。当t经过点a未到达点b时，变为正实数，其辐角为零，得第71页，共80页，2023年，2月20日，星期一四、许瓦兹－克利斯多菲变换表示线段dz的倾角增加了，对应z平面上边界旋转角，仍得一条直线。而当t经过b点时，从负变正.，arg从变为0，此时辐角为

即在z平面上边界旋转角，以后t在b、c之间所对应平面上的线段就保持此方问不变。第72页，共80页，2023年，2月20日，星期一四、许瓦兹－克利斯多菲变换依次类推，可将整个多角形描出。可见决定在z平面上倾角发生变换的位置。显然．变换函数不包括点．此点虽然对应平面上的某一顶点。变换的模决定dt的“放大”倍数，也决定了由t平面实轴上的线段变换到z平面上的线段长度。须适当选择常数的值，以使经