电磁学第五章

电磁学第五章第1页，共55页，2023年，2月20日，星期一§1.前言一、本章的基本内容及研究思路:在静止电荷的周围存在着电场，如果电荷在运动，那麽在它的周围就不仅有电场，而且还有磁场。不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也称为“静磁场”。稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场。运动的电荷（或电流）要产生磁场，磁场又会对其他的运动电荷（或电流）有作用力。本章就是从这两个方面来研究磁场的。各种矢量场在研究方法上有类似之处，稳恒磁场的许多基本规律也与静电场对应，可采用与静电场对比的方法研究稳恒磁场。这样就容易掌握本章的基本内容，也有利于今后的学习。第2页，共55页，2023年，2月20日，星期一二、本章的基本要求：1.深刻理解磁感应强度B的概念及物理意义；

2.毕奥—萨伐尔定律是本章的基本定律，要掌握其内容，并能熟练应用该定律计算磁感应强度B；

3.理解稳恒磁场的两条基本定理,熟练应用安培环路定理计算具有对称性分布的磁场；

4.正确理解并掌握安培定律和洛仑兹力公式，了解安培力和洛仑兹力的关系。第3页，共55页，2023年，2月20日，星期一三、本章思考题及作业题：

1.思考题：339页—342页；

2.作业题：5.3.11,5.3.17,5.5.5,5.8.3,5.8.4.第4页，共55页，2023年，2月20日，星期一§2.基本磁现象概述

一、磁的基本现象人类对磁现象的认识是很早的，最早发现的磁现象是天然磁石吸铁的现象，我国远在春秋战国时期（公元前六、七世纪）的古书中已有记载，我国古代的“磁石”写作“慈石”，意思是“石铁之母也。以有慈石，故能引其子”。我国河北省的磁县（古时称磁州和慈州），就是因为附近盛产天然磁石而得名。指南针是我国古代的伟大发明之一，对世界文明的发展有重大影响。第5页，共55页，2023年，2月20日，星期一现在知道,人们最早发现的天然磁铁矿矿石的化学成分是Fe3O4。近代制造人工磁铁是把铁磁物质放在通有电流的线圈中去磁化，使之变成暂时的或永久的磁铁。根据需要可以制成条形、针形、蹄形等各种形状。一块磁体上磁性特别强的区域，叫做磁极。任何磁体都有两极：南极（S）和北极（N），若将条形磁铁切断，无论切成几段，每一段都具有一个北极和一个南极，其他的磁体也具有这个性质，这表明磁体不存在独立的N极或S极，但是有独立存在的正电荷或负电荷，这是磁极与电荷的基本区别。第6页，共55页，2023年，2月20日，星期一这种具有磁南极或磁北极的粒子，叫做磁单极子，但至今尚未观察到这种粒子]，实验表明：同名磁极互相排斥；异名磁极互相吸引。在历史上很长一段时期里，磁学和电学的研究一直彼此独立地发展着，人们曾认为磁与电是两类截然分开的现象。直至十九世纪初，一系列重要的发现才打破了这个界限，使人们开始认识到电与磁之间有着不可分割的联系。第7页，共55页，2023年，2月20日，星期一下面介绍几个这方面的实验：

1.奥斯特实验：导线沿南北方向放置，下面有一可在水平面内自由转动的磁针。当导线中没有电流通过时，磁针在地磁场的作用下沿南北取向.当导线中通有电流时,磁针就会发生偏转。上述实验表明，电流可以对磁铁施加作用力。2.磁铁对电流（通电导线）也有作用力（水平直导线悬挂在马蹄形磁铁两极间，通电后，导线就会运动）。第8页，共55页，2023年，2月20日，星期一3.安培实验：通电导线之间有相互作用力，即电流和电流之间也有相互作用力。4.磁铁对运动电荷有作用力。电子流从电子射线管的阴极发射,形成一条电子射线，在旁边放置一块磁铁，就可以看到电子射线的路径发生偏转。大量实验证明，电现象和磁现象存在相互联系。我们知道，电的作用是“近距”的，磁极或电流之间的相互作用也是这样的，不过它通过另外一种场—磁场来传递的。第9页，共55页，2023年，2月20日，星期一下面我们用磁场的观点，可以把上述关于磁铁和磁铁，磁铁和电流，以及电流和电流之间相互作用的各个实验统一起来,概括成这样一个图示：磁场磁铁磁铁电流电流二、物质磁性的起源—安培分子电流假说由于磁极与电荷之间有某些类似之处，最初曾认为磁极是“磁荷”集中的所在（称N极有“正磁荷”，S即由“负磁荷”），并认为磁性起源于“磁荷”，

第10页，共55页，2023年，2月20日，星期一磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的相互作用，通过一系列实验，才逐步认识到“磁荷是不存在的”。截流螺线管的行为很象一块磁铁，启发物理学家们提出这样的问题：磁铁和电流是否本源上是一致的？法国科学家安培提出磁性起源的假说—安培分子电流假说：组成磁铁的最小单元（磁分子）就是环形电流。第11页，共55页，2023年，2月20日，星期一安培认为，任何物质的分子都存在环形电流，称为分子电流，分子电流产生的磁场在轴线上的方向可以用右手定则来判断，每一个分子电流相当于一个小磁体。当物质中的分子电流排列得毫无规则时，他们的磁场互相抵消，整个物体不显磁性，但是，在一定条件下，这些分子电流比较有规则的定向排列起来，他们的磁场互相加强，整个物体就会显示出磁性。安培的分子电流的想法基本上是正确的，近代物理学证实,分子电流是由原子中的各个电子自旋和电子的轨道运动合成的结果。第12页，共55页，2023年，2月20日，星期一这样看来，上面的图示可简化为： 电流磁场电流注意：无论电荷静止还是运动，它们之间都存在着库仑相互作用，但是只有运动着的电荷之间才存在着磁相互作用。第13页，共55页，2023年，2月20日，星期一§3.磁感应强度B磁感应线

运动电荷在磁场中受到的力

一、磁感应强度B任何运动电荷或电流，在周围空间产生磁场，磁场对外的重要表现是：（1）磁场对引入磁场中的其他运动电荷或载流导体有磁力的作用；（2）载流导体在磁场内移动时，磁场的作用力将对载流导体作功。这些表现说明了磁场的物质性。第14页，共55页，2023年，2月20日，星期一磁场的描述是用磁感应强度（由于历史的原因不叫磁场强度）这一物理量。它的定义方法有三种：（1）由试探电流元在磁场中受力来定义；（2）由运动电荷在磁场中所受到的力来定义；（3）由试探线圈在磁场中受的力矩来定义。这三种定义是相互等效的，我们现采用最后一种方式来定义磁感应强度B。若一个线圈的线度充分小，通过的电流I0也很小，那麽这样的载流线圈称为试探线圈。描述载流线圈的物理量是磁矩，磁矩Pm定义为，n按右手法则确定。第15页，共55页，2023年，2月20日，星期一实验表明：（1）试探线圈（即载流小线圈）在磁场中受到力矩的作用而发生转动，线圈转动到某一位置时，磁力矩为零，这一位置称为线圈的平衡位置。规定：当线圈处于平衡位置时，线圈的法线方向（磁矩Pm的方向）为该点的磁场方向，这样规定的磁场方向与一个放置在该点的小磁针的北极N的指向一致；（2）载流线圈在磁场中所受的磁力矩M的大小与线圈相对于磁场的取向有关，当线圈从平衡位置转过时，线圈所受磁力矩最大；

第16页，共55页，2023年，2月20日，星期一（3）磁矩Pm不同的载流线圈（Δs不同或I0不同，或两者都不相同的线圈），在同一磁场中的同一点处受到最大磁力矩M最大不同，但是其比值却是相同的。这就是说，比值与试探线圈本身的性质无关，仅与线圈所在位置有关，因此这个比值反映了该点磁场的性质。比值大，表示该点的磁场强，比值小，表示该点磁场弱，所以定义磁感应强度B的大小为，即：磁场中某点的磁感应强度B是一个矢量，它的大小等于具有单位磁矩的试探线圈在该点所受到的最大磁力矩，它的方向与试探线圈在该点处于平衡位置时的法线方向一致。在国际单位中，B的单位为特斯拉（T）。在实用中有时也用高斯（G）作为B的单位，1T=104G.第17页，共55页，2023年，2月20日，星期一地球表面附近的地磁感应强度B:赤道大约0.3G,两极大约0.6G；一般仪表中永久磁铁B：几千高斯；大型电磁铁产生的B：2T;用超导材料制成的磁体产生的B更强。二、磁感应线

为了形象的描述磁场的空间分布，按照下面的规定在空间作出一系列曲线：（1）曲线上任一点切线方向是该点的磁感应强度B的方向；（2）通过垂直于B的单位面积上的曲线根数等于该点B的大小，即曲线密处磁场强，曲线稀处磁场弱。如此作出的曲线称为磁感应线，它没有起点，也没有终点。第18页，共55页，2023年，2月20日，星期一三、运动电荷在磁场中受到的力

实验证明在所有情况下，运动电荷所受磁场力满足下式：F=qV×B，F称为洛仑兹力。洛仑兹力有两个主要性质：（1）磁场只对运动电荷有洛仑兹力作用；（2）洛仑兹力对运动电荷永远不作功（F·V=0）.运用F=qV×B判定力的方向时，不仅要注意V与B的叉乘关系，而且要注意电荷q的正负。当空间某点，除磁场B外还存在电场E时，则运动电荷受到的合力为F=q（E+V×B）.四、电荷的圆周运动

例题：两个电荷相同的带电粒子同时射入均匀磁场中，速度方向均与磁场垂直。（1）如果两粒子质量相同，速率分别为V和3V，问哪个粒子先回到出发点？（2）如果两个粒子速率相同，质量分别为m和3m，问哪个粒子先回到出发点？两个粒子的轨道半径是否相同？第19页，共55页，2023年，2月20日，星期一（1）∵，∴两粒子同时回到出发点；（2）m先回到出发点，依，得，该题（1）的结果是制造回旋加速器的理论依据，（2）的结论是制造质谱仪的理论依据。回旋加速器、速度选择器、质谱仪、汤姆孙实验等等，这些实例不论简单还是复杂，都有一个共同特点：应用了电荷在电场和磁场中受力的规律。§4毕奥—萨伐尔定律

仿照静电场的研究方法，我们可以把电流看作是无穷多小段电流的集合。各小段电流称为电流元，电流元常用矢量Idl来表示，某一电流分布的磁场就是各个电流元在空间产生的磁场迭加的结果。第20页，共55页，2023年，2月20日，星期一1820年，法国科学家毕奥、萨伐尔和拉普拉斯在实验基础上，分析总结出电流元产生磁场的规律：毕奥—萨伐尔定律（以下简称毕—萨定律），其内容如下：

PI数学表达式是：

式中dB是电流元Idl在场中任一点P产生的磁感应强度，为由Idl指向P点的单位矢量,称为真空磁导率，是一个有量纲的常数，

[毕奥—萨伐尔定律是一个实验定律，它是由一些简单的、典型的载流导体所产生的磁场为基础，经分析、归纳出的定律，而不是由电流元直接得出的，事实上，也不可能得到单独的电流元。

第21页，共55页，2023年，2月20日，星期一因为数学家LapLace对该定律也有较大贡献，所以有的书中称该定律为毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律]。实验表明，磁场和电场一样，遵从叠加原理，即任意载流导线在空间某点的磁感应强度B等于所有电流元在该点的磁感应强度矢量和。它是一个矢量积分，实际使用时，要化成标量积分进行计算。即毕—萨定律的应用

1.载流直导线的磁场

+OA1A2I第22页，共55页，2023年，2月20日，星期一解：任意电流元Idl产生的元磁场dB的方向都一致，只需求dB的代数和，第23页，共55页，2023年，2月20日，星期一1）沿长线上，，B=0；

2）无限长载流导线，，则；

3）半无限长载流导线，，B=.

我们在实际中遇到的当然不可能真正是无限长的直导线。然而若在闭回路中有一段长度为l的直导线，在其附近远小于l的范围内上式近似成立。

2.载流圆线圈轴线上的磁场第24页，共55页，2023年，2月20日，星期一PIO解：作对称性分析，得总磁感应强度B沿轴线方向。

考虑两个特殊情形：（1）在圆心处，r0=0,（2）当r0>>R时，磁感应强度B的方向与I的方向成右手螺旋关系。第25页，共55页，2023年，2月20日，星期一3.载流螺旋线管中的磁场

绕在圆柱面上的螺旋形线圈叫做螺线管，求螺线管轴线上的磁场分布。设螺线管的半径为R，总长度为L，单位长度内的匝数为n，如果螺线管是密绕的，计算轴向磁场时，我们可以忽略绕线的螺距，把它近似的看成是一系列圆线圈紧密并排起来组成的。第26页，共55页，2023年，2月20日，星期一方向沿X轴正方向。第27页，共55页，2023年，2月20日，星期一考虑两个特殊情形：（1）无限长螺线管，，这个结论不仅适用于轴线上，在整个无限长螺线管内部的空间里磁场都是均匀的；（2）在半无限长螺线管的一端，，即在半无限长螺线管端点轴上的磁场强度比中间减少了一半。这个结果是容易理解的。第28页，共55页，2023年，2月20日，星期一§5磁通量磁场的“高斯定理”（通量定理）一、磁通量为了研究磁场的性质，仿照电场的情况，引入磁通量的概念。通过磁场中面元ds的磁感应通量（即磁通量）定义为，它的直观意义是：穿过面元ds的磁感应线的条数。第29页，共55页，2023年，2月20日，星期一对于任意曲面s，通过它的磁通量为，在国际单位制中，磁通量的单位为特斯拉·米2（T·m2），又称韦伯（Wb）。即1Wb=1T·m2,正如电通量代表电力线的数目一样，磁通量也可理解为磁感应线的数目，这样，磁感应强度B就是通过单位垂直面积的磁感应线数目，即磁感应线的数密度。所以磁感应线密集的地方磁感应强度大，在磁感应线稀疏的地方磁感应强度小。二、磁场的通量定理

从以上所列举的各种情形中可看到，电流产生的磁场有一些共同特点：

第30页，共55页，2023年，2月20日，星期一（1）磁感应线都是闭合曲线或两头伸向无穷远；（2）闭合的磁感应线和载流回路象锁链的各环那样相互套连在一起；（3）磁感应线和电流的方向相互服从右手定则：若以右手伸直的大拇指代表电流的方向，则弯曲的四指沿磁应线方向；反之，弯曲的四指沿电流方向时，则拇指指向磁感应线方向。磁感应线的这些特点与静电场的电力线是很不相同的。电力线的特点反映在两个基本的定理中，那末，磁感应线的特点是否也可以精确地用数学公式表达出来呢？由于载流导线产生的磁感应线是无始无终的闭合线，可以想象，从一个闭合面S的某处穿进的磁感应线必定要从另一处穿出，所以通过任意闭合曲面s的磁通量恒等于零，即，这定理并没有很通用的名称，姑且把这个结论叫做磁场的“高斯定理”。第31页，共55页，2023年，2月20日，星期一由磁场高斯定理可以推论，对于磁场中任一闭合曲线来说，通过以这一闭合曲线为周界的任何曲面的磁通量绝对值都应相等，这一概念在学习电磁感应时是很重要的。这个定理更根本的意义在于它使我们有可能引入另一个矢量—矢量势（或矢量位）来计算磁场。磁场中矢量势的概念与静电场中电位（或电势）的概念是相当的，这将在电动力学课中详细讨论。§6安培环路定理

磁感应线是套连在闭合载流回路上的闭合线。若取磁感应强度沿磁感应线的环路积分，则，从而，

第32页，共55页，2023年，2月20日，星期一安培环路定理：在真空中的稳恒磁场内，磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的倍。数学表达式为，

其中电流I的正负规定如下：当穿过回路L的电流方向与回路L的环绕方向服从右手法则时,I>0,反之，I<0.如果电流I不穿过回路L，则它对上式右端无贡献。注意表达式中各物理量的意义及公式的适用条件。思考题：请学生证明以上两个定理。(a)(b)(c)(d)第33页，共55页，2023年，2月20日，星期一当电流分布具有某种对称性时，利用安培环路定理可以很方便的计算电流磁场的磁感应强度，在这方面，安培环路定理与电场的高斯定理相似。例题：无限长螺线管的磁场解：先证明螺线管内任一点的B方向平行于轴线方向（P315），还可以直接分析：以管内任一点为对称点，把螺线管分割成无穷多对载流圆环，由磁感应线的特点，运用叠加即可得出结论。abcdefghPQ第34页，共55页，2023年，2月20日，星期一

表明管内是匀强磁场

表明管外磁感应强度处处为零，磁场集中在管内。其他几个例子请同学们自行分析得出结论。§7带电粒子在磁场中的运动

磁场对运动电荷和电流（指载流导线）都施加作用力，前者称为洛仑兹力，后者称为安培力。从本质上说，电流是电荷定向运动形成的，因此，洛仑兹力和安培力之间有密切的联系。第35页，共55页，2023年，2月20日，星期一一、洛仑兹力

实验证明，运动带电粒子在磁场中受到的力F与粒子的电荷q，它的速度v,磁感应强度B有如下关系：F=qv×B,F的方向与v和B构成的平面垂直，特别注意F的方向与q的正负有关。例题：判断洛仑兹力的方向答：（a）向上；（b）向下；（c）向下；（d）向上；第36页，共55页，2023年，2月20日，星期一由于洛仑兹力的方向总与带电粒子的速度方向垂直，洛仑兹力永远不对粒子作功。它只改变粒子的运动方向，而不改变它的速度和动能。下面分三种情形来讨论带电粒子在均匀磁场中的运动。1.

v与B平行或反平行F=0，粒子运动不受磁场影响。2.v垂直于B

由于F⊥B,v⊥B,F,v在同一平面内，所以运动轨迹不会越出这个平面。又F⊥v，故作匀速圆周运动，第37页，共55页，2023年，2月20日，星期一3.普遍情形，v与B成θ角

将v分解为V∥和V⊥,在平行方向作匀速直线运动，在垂直方向的平面作匀速圆周运动。合成结果：粒子运动轨迹就是一条螺旋线。犹如螺丝上的螺纹。螺旋线的半径，旋转一周的时间和螺距（粒子每回转一周时前进的距离）分别为第38页，共55页，2023年，2月20日，星期一我们设想从磁场某点发射出一束很窄的带电粒子流的速率V差不多相等，且与磁感应强度B的夹角θ都很小，

则即各粒子将沿不同半径的螺旋线前进，经过相同距离h后又重新会聚到一点。这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似，所以叫做磁聚焦现象。利用这种现象可以制成电子显微镜。二、回旋加速器

粒子物理研究的工具是高能加速器和粒子探测器，形形色色的粒子靠他们来产生和探测，到目前为止，已发现的粒子有几百种，他们当中绝大多数在自然界中不存在，是在高能实验室里产生出来的（粒子物理又称为高能物理）。第39页，共55页，2023年，2月20日，星期一在粒子物理中。称100MeV以下为低能，100MeV—3GeV为中能，3GeV以上为高能。我国在1988年建成的北京正—负电子对撞机（BEPC），能量为5.6GeV（高能），还有兰州重离子加速器（中能）和合肥同步辐射加速器（中能）。回旋加速器就是一种用来加速带电粒子，使之获得高能的一种装置，它的工作原理简单，但技术十分复杂。第40页，共55页，2023年，2月20日，星期一回旋加速器的核心部分为D形盒，它的形状有如扁圆的金属盒沿直径剖开的两半，象字母“D”的形状，两D形盒之间留有窄缝，中心附近放置离子源（如质子、氘核或α粒子源等）。在两D形盒间接上交流电源（106周/秒），回转周期与轨道半径及粒子速度无关，只要交变电场的周期与回转周期相同。粒子就可以不断的被加速，设D形盒的半径为R，获得最终速率为，可见，被加速的粒子的能量受磁感应强度和D形盒半径的限制，另外还受到相对论效应的限制，能量不能无限制提高，如要使粒子得到更高的能量，就需要用其他类型的加速器了。第41页，共55页，2023年，2月20日，星期一三、霍尔效应

bd将导电板放在垂直于它的磁场中。当有电流通过它时，在导电板A、A′两侧会产生一个电位差,这个现象叫做霍尔效应。实验证明，在磁场不太强时，电位差与电流强度I和磁感应强度B成正比，与板的厚度d成反比，即，式中比例系数K叫做霍尔系数，它由材料的性质决定。用洛仑兹力可以从理论上初步解释霍尔效应，可见，在这种情况下，正电荷沿某一方向的运动与等量负电荷沿相反方向的运动所产生的电磁效应是不相同的。第42页，共55页，2023年，2月20日，星期一++++++++________+_在平衡状态下，，，即E=VB,又，∴，又I=nqvs=nqvbd，由两式可得

，将理论推导与实验得出的结果比较，得,利用霍尔效应可以确定导体材料中载流子的浓度n，因、I、B、d各量可由实验测定。在半导体材料的研究中，n是一个重要的参数。根据霍尔系数的正负号还可以判断半导体的导电类型。第43页，共55页，2023年，2月20日，星期一注：对金属导体来说，载流子是负电荷，q<0，均应有K<0,但实验结果表明，Fe、Co、Sn等金属例外。他们有K>0，这说明。经典的金属导电电子论只能初步解释霍尔效应。在发现霍尔效应约100年之后的1980年又发现了所谓量子霍尔效应，下式左方的量称为霍尔电阻，当n、q、d确定情况下，霍尔电阻与外加磁场B成正比，然而，1980年德国物理家克里岑（K.VonKlitzing）在低温和强磁场（19T）条件下，测量MOS场效应晶体管的霍尔电阻时发现，其电阻并不与磁场成线性关系，而是如图那样在霍尔电阻取下面值时，出现了一系列台阶，这一现象称为量子霍尔效应，1985年他由此获得诺贝尔物理学奖。第44页，共55页，2023年，2月20日，星期一第45页，共55页，2023年，2月20日，星期一§8.磁场对载流导体的作用

一、安培力公式磁场对载流导体的作用力称为安培力，安培力的规律是安培由实验确立的。其数学表达式为

在历史上，首先由实验得出安培定律。然后导出洛仑兹力公式。实质上，安培力是洛仑兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观本质。第46页，共55页，2023年，2月20日，星期一例如，金属导线中自由电子的定向运动在磁场中受到洛仑兹力的作用，如果把金属导线视为一个质点组，那末，所有定向运动的自由电子所受洛仑兹力的合力是该质点组的外力，这个外力就是载流导体所受到的安培力。根据以上分析，可以利用洛仑兹力公式从理论推导出安培定律。与dl方向相反，根据力的叠加原理，磁场对一段载流导线的安培力为:S第47页，共55页，2023年，2月20日，星期一例题，如图所示，试求导线所受的安培力。

解：F1=F2=BIl,方向向下，对半圆形导线，由对称性分析可知，只有垂直向下的分量互相加强，而水平分量互相抵消，作用在全段导线上的总安培力为方向向下注意：这个合力和作用在长为2l+2R的载流直线上的安培力相同，这个结论可以推广到均匀磁场中任意形状的稳恒载流导线。·第48页，共55页，2023年，2月20日，星期一二、均匀磁场中的载流矩形线圈abcdIIa(d)d(c)设通过电流为I,

则，。

第49页，共55页，2023年，2月20日，星期一，与大小相等，方向相反，作用在一条直线上，互相抵消；与大小相等，方向相反，但不在一条直线上，因此，形成一力偶，力臂为，所以作用在线圈上的力矩为:考虑三个物理的大小和方向的关系可写成：§9闭合电流的磁矩

一、任意平面闭合电流在磁场中的力偶矩

以上虽是从矩形线圈的特例得到的结果，其实它适用于任意形状的平面载流线圈。

第50页，共55页，2023年，2月20日，星期一II一个任意形状的平面载流线圈可以看成许多小矩形载流线圈的组合，每个小矩形线圈中的电流强度与原来线圈中的电流强度一样，流动方向也一样。由于在这些小矩形载流线圈中，每相邻的两个，其长边中的电流都互相抵消了，所以当这些小矩形线圈的面积趋于零时，他们在外部产生的电磁效应与原来的线圈相同。任意一个小矩形载流线圈所受的力矩大小为：注意到各小矩形载流线圈所受力