北师大九年级上册特殊的平行四边形讲义精编版

一、知识点串讲1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n≥3，n是正整数）；2、平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。3、矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；4、菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的判定：四边相等的四边形是菱形；5、正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。6、平面图形的镶嵌：任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；考点一1.会根据条件选择适当方法判定平行四边形典型例题例1．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A．OE=OFB．DE=BFC．∠ADE=∠CBFD．∠ABE=∠CDF【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．考点二会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形典型例题例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形．考点三会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题典型例题例3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．（1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解．考点四平行四边形中的一题多解及其变式练习典型例题例4.已知：如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求：BE=DF【分析】欲证线段相等，通常转化证三角形全等结合平行四边性质，找到证法一。证法一：∵在平行四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，∴∠BAE=∠DCF∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AEB=∠CFD=90°在△ABE与△CDF中AB=DC∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF∴BE=DF【分析】由题设发现S△ABC=S△ADC。便萌生计算三角形面积公式，便可得到证法：证法二：在平行四边形ABCD中，S△ABC=S△CDA∴AC·BE=AC·DF∴BE=DF一、选择题1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（）A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.直角梯形2.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150°B.135°C.120°D.100°4、在菱形ABCD中，且E、F分别是BC、CD的中点，那么（）A、B、C、45D、10、正方形具有而菱形不具有的性质是（）A、四个角都是直角B、两组对边分别相等C、内角和为D、对角线平分对角3、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是()A、对角线互相平分的四边形B、对角线互相垂直且平分的四边形C、对角线相等的四边形D、对角线相等且互相垂直的四边形4、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（）A、3个B、4个C、5个D、6个5、过四边形ABCD的顶点A、B、C、D作BD、AC的平行线围成四边形EFGH,若EFGH是菱形,则四边形ABCD一定是()A、平行四边形B、菱形C、矩形D、对角线相等的四边形6、矩形的内角平分线能够组成一个（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形7.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）

①平行四边形;②菱形;③等腰梯形;④对角线互相垂直的四边形.A.①③B.②③C.③④D.②④8、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（）A、B、5C、D、38、已知正方形ABCD的边长是10cm，是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）A、cmB、cmC、cmD、cm9、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（）A、EQ\F(\r(,3),2) B、EQ\F(3\r(,3),2) C、3EQ\r(,3) D、EQ\F(5\r(,3),2)4.已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm5.如图，在矩形QUOTE中，QUOTE分别为边QUOTE的中点.若QUOTE，QUOTE，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.6D.8第6题图第5题图 第6题图第5题图6.如图，在菱形QUOTE中，QUOTE，∠QUOTE，则对角线QUOTE等于（）A.20B.15C.10D.57.若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（）A.4QUOTEB.2QUOTEC.QUOTED.QUOTE8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为QUOTE，宽为QUOTE的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE 第10题图第9题图（1） 第10题图第9题图10.如图是一张矩形纸片QUOTE，QUOTE，若将纸片沿QUOTE折叠，使QUOTE落在QUOTE上，点QUOTE的对应点为点QUOTE，若QUOTE，则QUOTE（）A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE二、填空题（每空1分，共11分）6、将长为12，宽为5的矩形纸片ABCD沿对角线AC对折后，AD与BC交于点E，则DE的长度为_.7、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线夹角为_.8、菱形两条对角线长度比为1:,则菱形较小的内角的度数为_.9、正方形的一条对角线和一边所成的角是_度.10、已知四边形ABCD是菱形，是正三角形，E、F分别在BC、CD上，且，则_.12.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动.给出以下四个结论：①QUOTE;②∠QUOTE∠QUOTE;③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.上述正确结论的序号有13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使QUOTE，则∠BCE的度数是_.14.如图，矩形QUOTE的两条对角线交于点QUOTE，过点QUOTE作QUOTE的垂线QUOTE，分别交QUOTE，QUOTE于点QUOTE，QUOTE，连接QUOTE，已知△QUOTE的周长为24cm，则矩形QUOTE的周长是_cm.15.已知，在四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________.16.已知菱形的周长为QUOTE，一条对角线长为QUOTE，则这个菱形的面积为_________.17.如图，矩形QUOTE的对角线QUOTE，QUOTE，则图中五个小矩形的周长之和为_______.CDCDAB

第17题图第18题图ABCDO18.如图，在矩形ABCD中，对角线QUOTE与QUOTE相交于点O，且QUOTEQUOTE，则BD的长为________cm，BC的长为_______cm.三、解答题（第1、2小题各10分，第3、4小题各5分，共30分）ABCDEF图31、如图3，AB//CDABCDEF图3CE=CD，DE和AC相交于点F.求证：（1）；（2）.2、如图4，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形.求证：.AABCDEFHG2、如图6，在矩形ABCD中，E是BC上一点且AE=AD，又于点F，证明：EC=EF.图图6ABCDEF3、如图7，已知P是矩形ABCD的内的一点.求证：.AABCDP图719.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD.（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长.23.（8分）如图，在矩形QUOTE中，QUOTE相交于点QUOTE，QUOTE平分QUOTE，交QUOTE于点QUOTE.若QUOTE，求∠QUOTE的度数.25.(8分)已知：如图，在四边形QUOTE中，