以零点个数为背景的填空题

【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键， 等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图， 利用数形结合研究分界位置， 结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用 .【典例解剖】类型一周期函数零点个数问题典例1设f(x)是定义在R上的偶函数，对xR，都有f(x2)f(x2)，且当x2，0时，f(x)(1)x1，若在区间(2，6]内关于x的方程f(x)loga(x2)0(a1)恰有3个不同的实数根，则a的2取值范围是_____.【答案】(34,2)【 名师指点】将给定区间的根的个数问题转换为熟悉函数图像在给定区间的交点个数问题 ,利用周期性和偶函数正确作图以及判断端点函数值的大小是解题关键．求解零点问题时，往往转化为 f(x) 0的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图像的交点问题求解．【举一反三】已知 f(x)是以2为周期的偶函数，当 x [0,1]时，f(x) x，那么在区间 (1,3)内，关于x的方程f(x) kx k(k R)有4个根，则k的取值范围是 _____.1【答案】B. 0 k

14类型二 复合函数的零点个数问题x1,x0，若关于x的方程f2(x)af(x)0恰有5个不同的实数解，则a的典例2已知函数f(x)22x1,xx0取值范围是_____.【答案】(0,1)【解析】设tf(x)，则方程为t2at0，解得t0或ta，即f(x)0或f(x)a，如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)0的解有两个，故要使方程f2(x)af(x)0恰有5个不同的解，则方程f(x)a的解必有三个，此时0a1，∴a的取值范围是(0,1)．【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程f[g(x)]0分解为f(t)0和g(x)t处理，先从方程f(t)0中求t，再带入方程g(x)t中求x的值．【举一反三】若函数fxx3ax2bxc有极值点x1，x2，且fx1x1，则关于x的方程2b0的不同实根的个数是_____.3fx2afx2【答案】3类型三 分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题典例3已知函数fxx23a,x0(a0且a1)在R上单调递减，且关于x的方程fx2x恰logax11,x0好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_________.【答案】1,23334【解析】画出函数y|f(x)|的图象如图,结合图象可知当直线y2x与函数yx23a相切时,由14(3a2)0可解得a3,此时满足题设；由函数yf(x)是单调递减函数可知403loga(01)1,即a1,所以当23a时,即1a2时,函数y|f(x)|与函数y2x恰有两个a33312或a3,不同的交点,也即方程fx2x恰好有两个不相等的实数解,综上所求实数的取值范围是a334故应填答案123,.334【名师指点】分段函数与含绝对值函数典型特征为各段解析式不一致，不仅要考虑对应性，而且需考虑自变量在结合点情况及值域包含关系．3R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)x2x,x[0,1),则函数F(x)f(x)1的【举一反三】定义在11|x3|,x[1,),所有零点之和为．【答案】121【精选名校模拟】ax+1,x≤1,函数g(x)2f(x)，若函数yf(x)g(x)恰有4a的取值1.已知函数f(x)a)2,x1,个零点，则实数(x范围是▲．【答案】2a≤3【解析】f(x)g(x)0f(x)1a1,a1+11,a3，所以要有4个零点，需满足a)21,a2(11,|log3x|,0x3f(c)f(d)，则abcd的2.已知f(x)1x210x8,x3，a,b,c,d是互不相同的正数，且f(a)f(b)33取值范围是_____.【答案】(21,24)4且f(a)f(b)f(c)f(d)f（a），3＜c＜4，d＞6．logalogb，cd10，即ab1，c故33d10，abcd（c10c）c2由图象可知：3＜c＜4，10c，由二次函数的知识可知：32103＜c210c＜4210即2故abcd的范围为4，21＜c12c＜24，(21,24)．3.设定义域为R的函数f(x)5|x1|1x0，若关于x的方程f2(x)(2m1)f(x)m20有7个不同的x24x4x0实数解，则 m=_____.【答案】24．已知函数f(x)满足f(x)f(1)，当x1,3时，f(x)lnx，若在区间1，内，曲线g(x)f(x)ax与x轴有x3三个不同的交点，则实数a的取值范围是_____.5ln31【答案】 ，3 e5．已5sin(2x)(0x1)知函数yf(x)是定义域为R的偶函数.当x0时，f(x)4，若关于x的方程(1)x1(x1)4[f(x)]2af(x)b0（a,bR）,有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是_____.【答案】(5,9)(9,1)2445sin(x)(0x1)42f(x)是定义域为R的偶函数，【解析】作出f(x)的图象如下，又∵函数y1)x(1(x1)4且关于x的方程[f(x)]2af(x)b0，a,bR有且仅有6个不同实数根，∴x2axb0的两根分别为x15，1x25或0x11，1x25，4446由韦达定理可得x1x2a，若x15,1x25，则9a5，即5a9，444224若0x11，1x25，则1a9，即9a1，从而可知5a9或9a1；4442446．定义在 R上的函数 f x满足f x f x 5 16，当x 1,4时，f(x) x2 2x,则函数 f x在0,2016上的零点个数是 __________.【答案】6057．已知关于x的方程 x k 2kx在区间[k1,k1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_____.2【答案】0 k 1【解析】在同一坐标系内作出函数f(x)xk与函数g(x)2kx的图象，由图象可知，方程xk22kx在区间[k1,k1]有两个不同的根2k0k0，解之得，0k1.f(k1)g(k1)k1k2kk127864215105A5101524688．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4x)f(x)，且当xx2,x(1,1](1,3]时，f(x)x,x，则函数1cos(1,3]2g(x) f(x) |lgx|的零点个数是 _____.【答案】109.已知函数f(x)1,x1,若关于x的方程f(x)k(x1)有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是xx3,1x1,▲．1)【答案】(0,2【解析】作函数yf(