奥数新讲义-三角函数-第6讲解直形学

第六讲解直角三角形解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定、和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等.锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础，每个边角关系式都可以看作方程，因此解直角三角形可以根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角关系式，通过方程进行求解。基础知识[0°,180°]角三角函数的定义在角所在平面上作直角坐标系，使原点在的顶点，x轴正半轴Ox在的始边上（从而y轴确定），再在的终边上任意取一点P，设P点坐标为（x,y），那么它到原点的距离，定义：由此可见，当0°＜＜90°时，该定义与三角形内的锐角三角函数定义是一致的；注意，当90°≤≤180°时：0°30°45°60°90°120°135°150°180°sincostancot勾股定理在⊿ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，如果∠C＝90°，那么就有；反之，如果，那么⊿ABC为直角三角形，且∠C＝90°.正弦定理在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么余弦定理在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么；；；注意勾股定理可以看作余弦定理的特例.例题部分－解直角三角形例1（★）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD是∠A的平分线，且CD＝，DB＝，求⊿ABC的三边长.例2（★）如图，在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线；（1）若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；（2）若∠ABC＝，∠ADC＝，求证：tan=2tan.例3（★）在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线；（1）若，求∠B；（2）在（1）的条件下，若BD＝4，求⊿ABC的面积.例4（★）在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，BD＝1，求AB；例5（★★）如图，三角形ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，且∠A＝，AE＝1，求AB的长；例6（★★★，1999年全国联赛）在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，求tan∠ABM.练习题1．（★）如图，在⊿ABC中，BC＝10，∠B＝60°，∠C＝45°，则点A到BC边的距离是（）A．B．C．D．2．（★）如图，D是⊿ABC的边AB上的点，且BD＝2AD，已知CD＝10，sin∠BCD＝，那么BC边上的高AE等于（）A．9B．8C．12D．63．（★）在⊿ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，则⊿ABC的面积是（）A．B．12C．D．4．（★★）如图在⊿ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝；（1）求DC的长；（2）求sinB的值.5．（★★）已知在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝7，tanA＝2，∠D＝∠B＝90°，求BC的长。例题部分－正弦定理，余弦定理例7（★）⊿ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求证：例8（★★）在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且；求sinA:sinB:sinC.例9（★★，85年全国联赛）如图，O为凸五边形ABCDE内一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8，求证：∠9与∠10相等或者互补；例10（★★）⊿ABC中，sinA:sinB＝，且，求∠ABC的度数；例11（★★★，82年上海）已知⊿ABC中，AD、BE、CF为高，H为垂心，求证：（1）；（2）例12（★★）在⊿ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，求证：例13（★★）已知凸四边形边长分别为a、b、c、d，对角线相交所成的锐角为45°，若S为四边形的面积，求证：例14（★★★，2000年全国联赛）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG＝m，FH＝n，四边形EFGH的面积为S；（1）求证：；（2）试用m、n、S来表示正方形ABCD的面积.练习题6．四边形ABCD为正方形，M和N分别是BC，CD的中点，则sin∠MAN的值为（）A．B．C．D．7．（★）在⊿ABC中，∠A＝30°，∠C－∠B＝60°，若BC＝a，则AB的长是（）A．B．C．D．8．（★）已知⊿ABC中，∠B为60°，∠C为75°，⊿ABC的面积为，若BC＝a，则a等于（）A．1B．C．2D．9．（★★）在⊿ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠C＝90°，CD和BE是⊿ABC的两条中线，且CD⊥BE，那么a：b：c＝（）A．1：2：3B．3：2：1C．D．10．（★★）如果三角形的三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，并满足acosA＋bcosB＝ccosC，那么这三角形一定是（）A．等边三角形B．以a为斜边的直角三角形C．以b为斜边的直角三角形D．上述都不对11．（★）在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，CD＝2，BC＝11，则AC＝_______；12．（★★）一个钝角三角形的三边长