材料力学(II)第二章 材料力学 孙训方

材料力学(II)第二章材料力学孙训方材料力学孙训方

材料力学Ⅱ电子教案

第二章考虑材料塑性的极限分析

第二章考虑材料塑性的极限分析2-1塑性材料简化的应力-应变曲线

2-2拉压杆系的极限荷载2-3等直圆杆扭转时的极限扭矩2-4梁的极限弯矩塑性铰

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第二章考虑材料塑性的极限分析

2-1塑性材料简化的应力—应变曲线图a所示为低碳钢拉伸时

的应力—应变曲线，bc表示

bebs

卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料

p

c

在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。为了简化计

o

pe(a)

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第二章考虑材料塑性的极限分析

算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─理

想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的-g曲线简化为图c所示的曲线。

ss(b)3

b

s

gs(c)

g

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第二章考虑材料塑性的极限分析

2-2拉压杆系的极限荷载图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。B

C

s

As

F(a)4

(b)

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第二章考虑材料塑性的极限分析

例2-1图a所示超静定杆系结构中，三杆的材料相同，-关系如图b所示，弹性模量为E。三杆的横截面积均为A。试

分析当荷载F逐渐增加时三杆的应力和结点A位移的变化情况。

l

(a)5

(b)

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第二章考虑材料塑性的极限分析

解：(1)应力1.当F较小时，三杆均处于弹性工作状态，解此超静

定结构，得到三杆的轴力，除以其横截面面积后得三杆的应力分别为

12

A12cos3

Fcos2

(1)

F3A12cos3

(2)

F

可见

312

(c)6

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第二章考虑材料塑性的极限分析

2.F增加到Fs时，3杆首先屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态。Fs称为屈服载荷。令3=s,F=Fs。由(2)式得

FssA12cos3

(3)

由于FN3=σsA,使超静

定结构成为静定结构，荷载还可以继续增加，由结点A的平衡方程，得1、2杆的轴力为

FN1FN2应力为7

FssA2cos(4)

Fs/As122cos

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第二章考虑材料塑性的极限分析

3.继续增加荷载，3杆的应力保持3=s不变，1、2杆

的应力增加，直到1、2杆也发生屈服(1=2=s),整个结构屈服，从而丧失承载能力。这种状态称为极限状态，相应的荷载为极限荷载，用Fu表示。令FN1=FN2=FN3=sA,由结点A的平衡方程得

FusA12cos极限荷载和屈服荷载的比值为

(5)

Fu12cosFs12cos3

当=45时，Fu/Fs=1.41,即考虑材料塑性将使结构的承载能力提高1.41倍。8

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第二章考虑材料塑性的极限分析

(2)A点的位移1.F=Fs时，3=s,3杆屈服，1、2杆仍处于弹性工作状态，由图d可得A点的位移为1

3

2

Al2

l1

l3

sl3

sAlEA

(6)

A(d)2.继续增加荷载，3杆的应力3=s保持不变，增加部分的荷载将由1、2杆承担，使1、2杆的弹性变形不断增加，直到1、2杆刚刚出现塑性变形，A点的位移为9

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第二章考虑材料塑性的极限分析

ul1

cos

EAcos2

sAl

(7)

ba

外力F和A点位移Δ之间的关系，如图e所示。FFs时，结构的刚

度由三根杆组成，F≥Fs时，3杆屈服，结构的刚度由1,2杆组成，所以Oa和ab的斜率不同。(e)

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第二章考虑材料塑性的极限分析

由于一次超静定杆系结构中，存在一个多余约束的杆(例如，例2-1中的3杆)当某一杆发生塑性变形时，结构成

为静定结构，还可以继续承载，直到结构中另外的杆发生塑性变形，使结构丧失承载能力，达到极限状态。

l

(a)11

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第二章考虑材料塑性的极限分析

2-3等直圆杆扭转时的极限扭矩图a所示圆截面杆，其-g的关系如图b所示。本节讨论等直圆杆极限扭矩及扭转残余应力问题。

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第二章考虑材料塑性的极限分析

Ⅰ.极限扭矩(1)由塑性材料制成的受扭

so

圆截面杆，一般把max=s(图c)作为破坏条件，并以此建立强度条件。边缘