矩阵的概念建模定稿课件

矩阵的概念建模定稿课件第1页，共90页，2023年，2月20日，星期一

矩阵的概念一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、几种特殊的矩阵四、同型矩阵和矩阵相等第2页，共90页，2023年，2月20日，星期一某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况可用表格来表示:一、矩阵概念的引入C到站

A

B

C

D

发站

A

B

D

CCABD第3页，共90页，2023年，2月20日，星期一0110101010010100第4页，共90页，2023年，2月20日，星期一二、矩阵的定义

由个数排成的行列的数表称为m行n列矩阵，简称mXn矩阵。记作第5页，共90页，2023年，2月20日，星期一简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线第6页，共90页，2023年，2月20日，星期一例1:线性方程组线性方程组的系数与常数项按原位置可排为的解取决于系数与常数项对线性方程组的研究可转化为对这个矩阵的研究.第7页，共90页，2023年，2月20日，星期一例2：

假设要将民用煤从3个产地运往4个销售地。如果用表示由产地运到销售地的数量（单位：）：第8页，共90页，2023年，2月20日，星期一三、几种特殊矩阵1、当m=1时，只有一行的矩阵：称为行矩阵(或行向量)。2、当n=1时，只有一列的矩阵：称为列矩阵(或列向量)。3、当m=n时，n阶方阵，记作。当m=n=1时，可看做一个数。第9页，共90页，2023年，2月20日，星期一4、主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角矩阵.不全为0注(1).当时，对角矩阵称为数量矩阵.

(2).当时，对角矩阵称为单位矩阵,记做.第10页，共90页，2023年，2月20日，星期一5、形如形如

的矩阵称为上三角矩阵.的矩阵称为下三角矩阵.上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵.第11页，共90页，2023年，2月20日，星期一

6、元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如第12页，共90页，2023年，2月20日，星期一

2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.四、同型矩阵与矩阵相等

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.第13页，共90页，2023年，2月20日，星期一例3:

设解:第14页，共90页，2023年，2月20日，星期一矩阵的基本运算一、矩阵的加法二、矩阵的数乘三、矩阵的乘法四、矩阵的转置第15页，共90页，2023年，2月20日，星期一１、定义一、矩阵的加法设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为第16页，共90页，2023年，2月20日，星期一说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如第17页，共90页，2023年，2月20日，星期一2、矩阵加法的运算规律第18页，共90页，2023年，2月20日，星期一1、定义二、矩阵的数乘第19页，共90页，2023年，2月20日，星期一2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）第20页，共90页，2023年，2月20日，星期一例1：已知

求解：第21页，共90页，2023年，2月20日，星期一三、矩阵的乘法引例：某校明后两年计划建筑教学楼和宿舍楼。建筑面积及材料耗用量如表：教学楼宿舍楼明年2010后年3020建筑面积（单位：100平方米）材料（每100平方米耗用量，单位：吨）钢材水泥铝材教学楼2180.4宿舍楼1.5150.5

明后两年三种建筑材料的耗用量（单位：吨）

钢材水泥铝材明年后年第22页，共90页，2023年，2月20日，星期一

C称为A与B的乘积第23页，共90页，2023年，2月20日，星期一１、定义并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个

矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中第24页，共90页，2023年，2月20日，星期一注：1、只有当左边矩阵A的列数和右边矩阵B的行数相等时，A与B才能相乘，简称为行乘列规则；2、矩阵C中第i行第j列的元素等于左矩阵A的第i行元素与右矩阵B的第j列对应元素乘积之和；3、AB仍为矩阵。它的行数等于A的行数，它的列数等于B的列数，矩阵乘法的示意图如下：第J列mxssxnmxn第i行第25页，共90页，2023年，2月20日，星期一例2：设例3：第26页，共90页，2023年，2月20日，星期一故解第27页，共90页，2023年，2月20日，星期一对于线性方程组利用矩阵表示线性方程组第28页，共90页，2023年，2月20日，星期一它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得所以方程组可以用矩阵的乘法来表示．方程组中系数组成的矩阵A称为系数矩阵，第29页，共90页，2023年，2月20日，星期一方程组中系数与常数组成的矩阵称为增广矩阵，记为第30页，共90页，2023年，2月20日，星期一例4:利用矩阵表示线性方程组第31页，共90页，2023年，2月20日，星期一所以方程组可表示为：第32页，共90页，2023年，2月20日，星期一例5：求AB和BA(1)，(2)，(3)，第33页，共90页，2023年，2月20日，星期一解:(1)BA无意义(2)(3)第34页，共90页，2023年，2月20日，星期一注⑴只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。⑵矩阵乘法不满足交换律,AB称B右乘A，BA称B左乘A。当AB有意义时,BA不一定有意义。即使BA有意义，AB也不一定与BA相等⑶两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。即当AB=O时，不能推出A=O或B=O（与实数乘法相区别）再例如：

故当AB=AC，且A≠O时，不能推出B=C。

若A≠O，B≠O且AB=O时，A是B的左零因子，B是A的右零因子。零因子不唯一。第35页，共90页，2023年，2月20日，星期一单位矩阵E在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．例6：解：第36页，共90页，2023年，2月20日，星期一若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的。由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒．

因为AB=BA，所以A与B可交换.例7：第37页，共90页，2023年，2月20日，星期一２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;

(5)若A是阶矩阵，则为A的次幂，即

并且注

矩阵不满足交换律，即：第38页，共90页，2023年，2月20日，星期一定义

把矩阵的行换成列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例8：１、转置矩阵四、矩阵的转置运算第39页，共90页，2023年，2月20日，星期一2、转置矩阵的运算性质第40页，共90页，2023年，2月20日，星期一例9：

已知解法1第41页，共90页，2023年，2月20日，星期一解法2第42页，共90页，2023年，2月20日，星期一

一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换及秩矩阵的初等变换

与矩阵的秩第43页，共90页，2023年，2月20日，星期一②③③①②②－2①；③－①③②①③①②③①②③－4②一、消元法解线性方程组第44页，共90页，2023年，2月20日，星期一③①②③②①③①②②－2①；③－①②③第45页，共90页，2023年，2月20日，星期一③①②③①②③－4②第46页，共90页，2023年，2月20日，星期一1、上述解方程组的方法称为高斯消元法．2、把方程组看作一个整体变形，用三种变换(1)交换方程次序；(2)以非零的数乘某个方程；(3)一个方程的倍加到另一个方程．第47页，共90页，2023年，2月20日，星期一二、矩阵的初等变换及秩下面三种变换称为矩阵的初等行变换.(1)互换两行：(3)用一个数乘某一行加到另一行上：(2)以数乘某一行中的所有元素:定义定义矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换．

同理，把换成可定义矩阵的初等列变换.第48页，共90页，2023年，2月20日，星期一第49页，共90页，2023年，2月20日，星期一阶梯型矩阵每一行第一个非零元的列标随行标的增加而严格增加零行(若有的话)位于矩阵的最下方第50页，共90页，2023年，2月20日，星期一定理任何一个矩阵都可以经过若干次初等行变换化为阶梯型矩阵。例注阶梯型矩阵不唯一，但所有化成的阶梯型矩阵都具有相同个数的非零行。第51页，共90页，2023年，2月20日，星期一定义矩阵A对应的阶梯型矩阵中非零行的行数r称为矩阵的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩为0.例：第52页，共90页，2023年，2月20日，星期一逆矩阵一、概念的引入二、逆矩阵的概念及性质三、初等矩阵四、利用初等行变化求逆矩阵第53页，共90页，2023年，2月20日，星期一则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，

（或称的逆）；

在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得第54页，共90页，2023年，2月20日，星期一二、逆矩阵的概念和性质定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵

则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.使得例设第55页，共90页，2023年，2月20日，星期一说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,即注若方阵A，B满足AB=E，则A，B互为逆矩阵。第56页，共90页，2023年，2月20日，星期一逆矩阵的运算性质第57页，共90页，2023年，2月20日，星期一证明证明第58页，共90页，2023年，2月20日，星期一定义

由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵第59页，共90页，2023年，2月20日，星期一第60页，共90页，2023年，2月20日，星期一第61页，共90页，2023年，2月20日，星期一第62页，共90页，2023年，2月20日，星期一交换矩阵A的第一行和第三行相当于用初等矩阵左乘矩阵A第63页，共90页，2023年，2月20日，星期一交换矩阵A的第一列和第三列相当于用初等矩阵右乘矩阵A第64页，共90页，2023年，2月20日，星期一

定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.四、利用初等行变化求逆矩阵定理2

可逆矩阵可经过一系列初等行变换化为单位矩阵。第65页，共90页，2023年，2月20日，星期一那么用同样的初等行变换就把单位阵E变成

于是得到用初等行变换求逆阵的方法：

A可逆可见,当A经过一系列初等行变换变成单位阵E，第66页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例用初等行变换求矩阵的逆矩阵.

解：第67页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例用初等行变换求矩阵的逆矩阵.

解：A不可逆第68页，共90页，2023年，2月20日，星期一

线性方程组解的判定第69页，共90页，2023年，2月20日，星期一设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组，，，（1）其中系数，常数都是已知数，是未知量(也称为未知数)当右端常数项，不全为0时，称方程组（1)为非齐次线性方程组；当时第70页，共90页，2023年，2月20日，星期一(2)，，称为齐次线性方程组．即

由个数，，…，组成的一个有序数组，如果将它们依次替代方程组(1)中的，，…，后，(1)中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组为方程组(1)的一个解．第71页，共90页，2023年，2月20日，星期一

显然由，，…，组成的有序数组是齐次线性方程组(2)的一个解，称之为齐次线性方程组(2)的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解．非齐次线性方程组(1)的矩阵表示形式为:齐次线性方程组(2)的矩阵表示形式为:第72页，共90页，2023年，2月20日，星期一例1解线性方程组第73页，共90页，2023年，2月20日，星期一行简化阶梯型矩阵若阶梯型矩阵满足：(1)各非零行首非零元均为1；(2)各非零行首非零元所在列其他元素均为0称此矩阵为行简化的阶梯型矩阵。=R(AB)未知量的个数=唯一解R(A)=3第74页，共90页，2023年，2月20日，星期一无解无解=R(AB)R(A)=23例2解线性方程组矛盾方程第75页，共90页，2023年，2月20日，星期一

例3解线性方程组，．(3)，，

解先写出增广矩阵，再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即第76页，共90页，2023年，2月20日，星期一第77页，共90页，2023年，2月20日，星期一最后一个增广矩阵表示的线性方程组为，，．将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得，第78页，共90页，2023年，2月20日，星期一将其代入第二个方程，解得，再将，代入第一个方程，解得．因此，方程组(3)的解为其中可以任意取值．(4),，，第79页，共90页，2023年，2月20日，星期一显然，只要未知量任意取定一个值，如，代入表示式(4)，可以得到一组相应的值：，，，从而得到方程组(3)的一个解:，，，．第80页，共90页，2023年，2月20日，星期一由于未知量的取值是任意实数，故方程

组(3)的解有无穷多个．由此可知,表示式(4)表示了方程组(3)的所有解．表示式(4)中等号右端的未知量称为自由未知量，用自由未知量表示其他未知量的表示式(4)称为方程组(3)的一般解，当表示式(4)中的未知量取定一个值(如),得到方程组(3)的一个解，，，，称之为方程组(3)的特解．第81页，共90页，2023年，2月20日，星期一

注意：自由未知量的选取不是唯一的．如例3也可以将取作自由未知量．即在，，中将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得，第82页，共90页，2023年，2月20日，星期一将其代入第二个方程，解出后