矩阵的特征值

矩阵的特征值第1页，共14页，2023年，2月20日，星期一定义4.2设A为n阶矩阵，含有未知量λ的矩阵λI-A称为A的特征矩阵，其行列式|λI-A|为λ的n次多项式，称为A的特征多项式，|λI-A|＝0称为的特征方程。

说明：1）如λ是A的一个特征值,则必有|λI-A|＝0成立，故λ又称为特征根。当然，可以是单根，也可以是重根。第2页，共14页，2023年，2月20日，星期一2）如λ是|λI-A|＝0的ni重根，则(λI-A)x＝0必有非零解，习惯称λ为A的ni重特征值（根）。3)(λI-A)x＝0的每一个非零解向量均为λ的特征向量。第3页，共14页，2023年，2月20日，星期一求特征值和特征向量的步骤：1）计算A的特征多项式|λI-A|。2）求出特征方程|λI-A|＝0的全部特征值。对每个特征值λ

0，求出相应的齐次线性方程组（λ0I-A）x=0的一个基础阶系η1,…,ηt，则A的λ0关于的特征向量为：

c1η1+…+ctηt。第4页，共14页，2023年，2月20日，星期一第5页，共14页，2023年，2月20日，星期一命题2：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的任一特征值不为零。第6页，共14页，2023年，2月20日，星期一（二）特征值与特征向量的性质：

定理4.1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.

第7页，共14页，2023年，2月20日，星期一第8页，共14页，2023年，2月20日，星期一总结：（1）任一n阶方阵A必有n个特征值（包括重根）。

（2）设x是A的关于特征值λ的特征向量，则对于任意常数，cX也是A的关于λ特征值的特征向量。

（3）若X1,X2是A的关于λ的特征向量，则

k1X1+k2X2也是A的关于λ的特征向量,k1,k2

为常数。

第9页，共14页，2023年，2月20日，星期一由（2）、（3）推广为：对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量；但对应于不同特征值的特征向量的和不再是特征向量。

（4）一个特征值对应的特征向量有无穷多个；但是一个特征向量只能对应一个特征值，而不能属于不同的特征值。第10页，共14页，2023年，2月20日，星期一（5）对应于不同特征值的特征向量线性无关；但对应于同一特征值的特征向量不一定线性相关（定理4.3）。

推广：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A

有n个线性无关的特征向量。

（6）A与它的转置矩阵AT有相同的特征值；但特征向量不一定相同（定理4.1）。

第11页，共14页，2023年，2月20日，星期一补充性质：若λ是矩阵A的特征值，x是关于λ的特征向量，则：

a)kλ是kA的特征值。

b)λm是Am的特征值,m是自然数。

c)A可逆时，λ-1是A-1的特征值。那么：

λ1，λ2是同一矩阵A的两个特征值，则λ1＋λ2是A+B的特征值，对吗？

λ1λ2是AB的特征值，对吗？第12页，共14页，2023年，2月20日，星期一补充例题：1）设n阶方阵A的n个特征值为λ1,…,λn，证明|A|=λ1…λn

。2)设A,B均为n阶矩阵，证明AB,BA有相同的特征值。3)设方阵A满足:2A2-3A-5I=0，证明2A+I