复数练习含答案

复数基础练习题一、选择题1．下列命题中：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；③x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C2．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．a为正实数，i为虚数单位，z＝1－ai，若|z|＝2，则a＝()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．14．(2011年高考湖南卷改编)若eq\a\vs4\al(a，b)∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1 D．a5．复数z＝eq\r(3)＋i2对应点在复平面()A．第一象限内 B．实轴上C．虚轴上 D．第四象限内6．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则()A．a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2) B．a＝3，b＝1C．a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2) D．a＝1，b＝37．复数z＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i在复平面上对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A．3＋i B．3－IC．－3－i D．－3＋i9．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于()A．－eq\f(3,4)＋i B.eq\f(3,4)－IC．－eq\f(3,4)－i D.eq\f(3,4)＋i10．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝()A．0 B．2iC．6 D．6－2i11．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为()A．5－6i B．3－5iC．－5＋6i D．－3＋5i12．向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是()A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i13．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限14．如果一个复数与它的模的和为5＋eq\r(3)i，那么这个复数是()A.eq\r(\f(11,5)) B.eq\r(3)IC.eq\f(11,5)＋eq\r(3)i D.eq\f(11,5)＋2eq\r(3)i15．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝()A．1－3i B．11i－2C16．复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A．5 B.eq\r(5)C．6 D.eq\r(6)17．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为()A．0 B．1C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)18．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值为()A．2 B．3C19．(2011年高考福建卷)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.eq\f(2,i)∈S20．(2011年高考浙江卷)把复数z的共轭复数记作eq\x\to(z)，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·eq\x\to(z)＝()A．3－i B．3＋IC．1＋3i D．321．化简eq\f(2＋4i,?1＋i?2)的结果是()A．2＋i B．－2＋IC．2－i D．－2－i22．(2011年高考重庆卷)复数eq\f(i2＋i3＋i4,1－i)＝()A．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i B．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)IC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i D.eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i23．(2011年高考课标全国卷)复数eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数是()A．－eq\f(3,5)i B.eq\f(3,5)iC．－i D．i24．i是虚数单位，(eq\f(1＋i,1－i))4等于()A．i B．－IC．1 D．－125．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝()A．4＋2i B．2＋IC．2＋2i D．3＋i26．设z的共轭复数是eq\x\to(z)，若z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8，则eq\f(\x\to(z),z)等于()A．i B．－iC．±1 D．±i27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－eq\x\to(z)|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－eq\x\to(z)|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|二、填空题28．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2eq\r(m)i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．29．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．30．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－eq\r(3)－eq\r(2)i，z4＝eq\r(3)－eq\r(2)i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.31．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示的复数是________．32．已知f(z＋i)＝3z－2i，则f(i)＝________.33．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.34．(2010年高考上海卷)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·eq\x\to(z)＋z＝________.35．(2011年高考江苏卷)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．36．已知复数z满足|z|＝5，且(3－4i)z是纯虚数，则eq\x\to(z)＝________.答案一、选择题1．解析：选A.在①中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z1＝1，z2＝i，则zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝1－1＝0，从而由zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0?/z1＝z2＝0，故②错误；在③中若x，y∈R，可推出x＝y＝2，而此题未限制x，y∈R，故③不正确；④中忽视0·i＝0，故④也是错误的．故选A.2．解析：选D.∵eq\f(π,2)<2<π，∴sin2>0，cos2<0.故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限．故选D.3．解析：选B.|z|＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，∴a＝±eq\r(3).而a是正实数，∴a＝eq\r(3).4．解析：选D.ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，故应有a＝1，b＝－1.5．解析：选B.∵z＝eq\r(3)＋i2＝eq\r(3)－1∈R，∴z对应的点在实轴上，故选B.6．解析：选A.由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1,a＋b＝2))，解得a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2).7．解析：选A.∵复数z在复平面上对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，该点位于第一象限，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．8．解析：选B.由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0,2n＋2＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝－1))，∴z＝3－i.9．解析：选D.设z＝x＋yi(x、y∈R)，则x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))∴z＝eq\f(3,4)＋i.10．解析：选D.由z＋i－3＝3－i，知z＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：选A.(－i＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i＝5－6i.12．解析：选C.eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0.13．解析：选D.∵z1＋z2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i＝1－i，∴z1＋z2对应的点为(1，－1)，在第四象限．14．解析：选C.设这个复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝5＋eq\r(3)i，即a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq\r(3)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3),a＋\r(a2＋b2)＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3),a＝\f(11,5))).∴z＝eq\f(11,5)＋eq\r(3)i.15．解析：选D.先找出z1－z2，再根据求函数值的方法求解．∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i.∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.故选D.16．解析：选D.|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i|＝eq\r(?cosθ－sinθ?2＋4)＝eq\r(5－2sinθcosθ)＝eq\r(5－sin2θ)≤eq\r(6).17．解析：选C.|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为eq\f(\r(2),2).18解析：选B.法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有|x＋yi＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，又|z－2－2i|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝eq\r(?x－2?2＋?y－2?2)＝eq\r(?x－2?2＋1－?x＋2?2)＝eq\r(1－8x).而|x＋2|≤1，即－3≤x≤－1，∴当x＝－1时，|z－2－2i|min＝3.法二：利用数形结合法．|z＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z－2－2i|＝|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.19．解析：选B.因为i2＝－1∈S，i3＝－i∈/S，eq\f(2,i)＝－2i∈/S，故选B.20．解析：选A.(1＋z)·eq\x\to(z)＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.21．解析：选C.eq\f(2＋4i,?1＋i?2)＝eq\f(2＋4i,2i)＝eq\f(1＋2i,i)＝2－i.故选C.22．解析：选C.eq\f(i2＋i3＋i4,1－i)＝eq\f(－1－i＋1,1－i)＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(?－i??1＋i?,?1－i??1＋i?)＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.23．解析：选C.法一：∵eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2i)))＝eq\f(2＋i＋4i－2,5)＝i，∴eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数为－i.法二：∵eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(－2i2＋i,1－2i)＝eq\f(i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2i)),1－2i)＝i，∴eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数为－i.24．解析：选C.(eq\f(1＋i,1－i))4＝[(eq\f(1＋i,1－i))2]2＝(eq\f(2i,－2i))2＝1.故选C.25．解析：选A.∵z1＝1＋i，z2＝3－i，∴z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.故选A.26．解析：选D.法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\x\to(z)＝x－yi，由z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋yi＋x－yi＝4，,?x＋yi??x－yi?＝8.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,x2＋y2＝8))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝±2)).∴eq\f(\x\to(z),z)＝eq\f(x－yi,x＋yi)＝eq\f(x2－y2－2xyi,x2＋y2)＝±i.法二：∵z＋eq\x\to(z)＝4，设z＝2＋bi(b∈R)，又z·eq\x\to(z)＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8，∴b2＝4，∴b＝±2，∴z＝2±2i，eq\x\to(z)＝2?2i，∴eq\f(\x\to(z),z)＝±i.27．解析：选D.∵eq\x\to(z)＝x－yi(x，y∈R)，|z－eq\x\to(z)|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；∵|z－eq\x\to(z)|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；对于D，|z|＝eq\r(x2＋y2)≤|x|＋|y|，故D正确．二、填空题28．解析：复数z在复平面上对应的点为(m－3,2eq\r(m))，∴m－3＝2eq\r(m)，即m－2eq\r(m)－3＝0.解得m＝9.答案：929．解析：∵|z|＝3，∴eq\r(?x＋1?2＋?y－2?2)＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以O′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆30．解析：|z1|＝|z