高一数学必修基本初等函数知识点

必修1第二章基本初等函数（I）知识点整理2.1〗指数函数（1）根式的概念如果xn=a，aGR，xER，n>1，且nGN，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根用符号na+表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号一na表示；o的n次方根是o；负数a没有n次方根.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数•当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a&0.③根式的性质：（Z）n③根式的性质：（Z）n=a；当n为奇数时，n'an=a；当n为偶数时,(a>0)(a<0)2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：man=na①正数的正分数指数幂的意义是：man=nam(a>0,m,ngN,且n>1)+•0的正分数指数幕等于0.②正数的负分数指数幂的意义是：aA®>°,m,n-n,且n>1）.o的负分数指数幂没有意义.注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．3）分数指数幂的运算性质①ar-as=ar+s(a>0,r,sgR)②(ar)s=ar(a>0,r,sgR)③(ab)r=arbr(a>0,b>0,rgR)4）指数函数函数名称指数函数定义函数y—ax（a>0且a丰1）叫做指数函数图象1/L)\y=axy定义域y=1C73T值域K-丿\（0,1）(0.1)(0,+8)V…过定点图象过一定占（01），即当x=0时，y=1__奇偶性Ox非奇非偶Ox单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况y>l(x>0),y=l(x=0),0VyVl(xV0)y>l(xV0),y=l(x=0),0VyV1(x>0)

a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴.在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴.〖2.2〗对数函数1）对数的定义若ax二N（a>0,且。丰1），则x叫做以a为底N的对数，记作x二logN，其中a叫做底数，N叫做真数.a负数和零没有对数•③对数式与指数式的互化：x二logNoax二N（a>0,a丰1,N>0）.a（2）几个重要的对数恒等式：log1二0，loga二1，logab=b.aaa（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即logN；自然对数：InN，即logN（其中e=2.71828…）.10e（4）对数的运算性质如果a>0,a丰1,M>0,N>0，那么M①加法：logM+logN二log（MN）②减法：logM-logN二log—aaaaaaN③数乘：nlogaM=logaMn（neR）④alog二NnlogN⑤logabM=nlogaM（b丰0,neR）⑥换底公式：logaN=盂右（b>0,且方主1）b（5）对数函数函数名称对数函数定义函数y—logx（a>0且a丰1）叫做对数函数a图象j1x=1ikx=1定义域y；y=logxy1a!y=logx\:值域\；(1,0)过定点O——7T——/1(1,0)图象过定点(1,0)，即当x=10y=x奇偶性/丨非奇非偶单调性在（0,+S）上是增函数在（0,+只）上是减函数函数值的变化情况a变化对图在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近X轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近X轴

象的影响在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数y二f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y二f(x)中解出x，得式子x=(y)•如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=Q(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=Q(y)表示x是y的函数，函数x=9(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=fT(y)，习惯上改写成y=f-1(x).(7)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=f(x)中反解出x=f-1(y)；③将x=f-1(y)改写成y=f-1(x)，并注明反函数的定义域.8)反函数的性质①原函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.②函数y=f(x)的定义域、值域分别是其反函数y=f-1(x)的值域、定义域.③若pab)在原函数y=f(x)的图象上，则P'(b，a)在反函数y=f-1(x)的图象上.④一般地，函数y=f(x)要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y=xa叫做幕函数，其中x为自变量，a是常数.幕函数的图象幕函数的性质图象分布：幕函一、二、三象限，象.幂函数是偶函第一、二象限(图称)；是奇函数时,三象限(图象关于奇非偶函数时，图象限过定点：所有的(°，+8)都有定过点(1」)•单调性：如果数图象分布在第第四象限无图数时，图象分布在象关于y轴对图象分布在第一、原点对称)数图象分布在第第四象限无图数时，图象分布在象关于y轴对图象分布在第一、原点对称)；是非象只分布在第一幕函数在义，并且图象都通Q>0，则幕函并且在［0，)上为增函数•如果a<0，则幕函数的图象在（°，+8）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.q奇偶性：当a为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.当a二（其中p，q互质，p和qeZ），p若p为奇数q为奇数时，则y=x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y=x是偶函数，若p为偶数q为奇数时,则y=xp是非奇非偶函数.⑤图象特征：幕函数y二xa，xG（°，+8），当a>1时，若°<x<1，其图象在直线y=x下方，若x>1，其图象在直线y=x上方，当a<1时，若°<x<1其图象在直线y=x上方，若x>1，其图象在直线y=x下方.〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f（x）二ax2+bx+c（a丰°）②顶点式：f（x）二a（x-h）2+k（a丰°）③两根式：f（x）二a（x-x）（x-x2）（a丰°）（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f（x）更方便.3）二次函数图象的性质b4ac一b2）b4ac一b2）①二次函数f（x）-ax2+bx+c（a丰°）的图象是一条抛物线，对称轴方程为x二-云，顶点坐标是（2a'=②当a>°时，抛物线开口向上，函数在Y，一却上递减，在［一/，+8）上递增，当x一彩时'4amin（x）二半产；当a<°时’抛物线开口向下’函数在Z，一2^］上递增’在［一洛，切上递减’当4ab4ac-b2x二一时，f（x）二一2amax4a③二次函数/（x）-ax2+bx+c（a丰°）当A=b2一4ac>°时，图象与x轴有两个交点M（x，°）M（x，°），MMHx-x卫11221212|a|（4）一元二次方程ax2+bx+c二°（a丰°）根的分布xx一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2+bx+c二0(a丰0)的两实根为X］,x2,且xfx2•令f(x)二ax2+bx+C,从以下四个方面来分

b析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：x二—③判别式：A④端点函数值符号.2ak<xWxO12XWx<kO12x<k<xOaf(k)<012k<xWx<kO1122有且仅有一个根x(或x)满足k<x(或x)<kOf(k)f(k)<0,并同时考虑f(k)=0或f(k)=0这两种1211221212情况是否也符合k<x<kWp<x<pO112122此结论可直接由⑤推出．(5)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)在闭区间［p,q］上的最值设f(x)在区间［p,q］上的最大值为M，最小值为m，令x0二2(p+$)•(I)当a>0时(开口向上)则m二f(q)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"bbbb则m二f(q)①若—<p，则m二f(p)②若p<q，则m二f(—)③若—>q\o"CurrentDocument"2a2