文科数学第2篇3讲

[最新考纲]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.第3讲函数的奇偶性与周期性知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)是偶函数关于_____对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)是奇函数关于_____对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是________，两个奇函数的积函数是________． ②两个偶函数的和函数、积函数是________． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是________． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝____.相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数03．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝____，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用 (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．() (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

) (3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．() (4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()××√√√×2．对函数周期性的理解 (7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．() (8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上是周期函数．(

)√√[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)； 二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．答案D

规律方法

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．【训练1】(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于 ()． A．4 B．3 C．2 D．1 (2)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝ ()． A．－3 B．－1 C．1 D．3解析(1)由题意知：f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，①f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4， ②①＋②得g(1)＝3.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案(1)B(2)A答案(1)C(2)C

规律方法

对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．答案C

解析∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．答案D规律方法

关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【训练3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)． (1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解

∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用