第二节可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程第1页，共20页，2023年，2月20日，星期一一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.分离变量，得：①设

y=(x)

是方程①的解,则有恒等式：两边积分,得即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)的一个原函数,②则有第2页，共20页，2023年，2月20日，星期一当

G(y)与F(x)可微且

G'(y)=g(y)0时,说明由②确定的隐函数y=(x)是①的解.称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F'(x)=f(x)0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=(y)也是①的解.第3页，共20页，2023年，2月20日，星期一一、可分离变量的微分方程形如的方程，称为可分离变量的微分方程.求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解第4页，共20页，2023年，2月20日，星期一例1

求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、典型例题解得第5页，共20页，2023年，2月20日，星期一例2

求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得第6页，共20页，2023年，2月20日，星期一解分离变量,得两端积分,得解得第7页，共20页，2023年，2月20日，星期一解根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:第8页，共20页，2023年，2月20日，星期一解

根据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分

:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.

t

足够大时第9页，共20页，2023年，2月20日，星期一解分离变量,解得然后积分

:第10页，共20页，2023年，2月20日，星期一可分离变量的微分方程初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定：第11页，共20页，2023年，2月20日，星期一分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数.第12页，共20页，2023年，2月20日，星期一(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)

根据几何关系列方程,2)

根据物理规律列方程,3)

根据微量分析平衡关系列方程.(2)

利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)

求通解,并根据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤第13页，共20页，2023年，2月20日，星期一思考与练习求方程的通解

:提示:方程变形为第14页，共20页，2023年，2月20日，星期一练习题第15页，共20页，2023年，2月20日，星期一第16页，共20页，2023年，2月20日，星期一练习题答案第17页，共20页，2023年，2月20日，星期一例9

有高为1m

的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度第18页，共20页，2023年，2月20日，星期一设在微小的时间间隔水面的高度由h降至h+dh