第十二讲常微分方程和差分方程

第十二讲常微分方程和差分方程第1页，共60页，2023年，2月20日，星期二基本概念一阶方程

类型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.线性方程可降阶方程线性方程解的结构相关定理二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容——微分方程第2页，共60页，2023年，2月20日，星期二微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法变量代换法常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换第3页，共60页，2023年，2月20日，星期二基本概念一阶方程n阶常系数线性方程二阶方程一、主要内容——差分方程特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式代入法特征根法待定系数法线性方程解的结构相关定理特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式特征方程法待定系数法第4页，共60页，2023年，2月20日，星期二差分方程解题思路一阶方程二阶方程代入法特征根法特征方程法待定系数法第5页，共60页，2023年，2月20日，星期二1.微分基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．第6页，共60页，2023年，2月20日，星期二通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．第7页，共60页，2023年，2月20日，星期二(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2.一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换第8页，共60页，2023年，2月20日，星期二(3)一阶线性微分方程上述方程称为齐次的．上述方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为（用常数变易法）第9页，共60页，2023年，2月20日，星期二3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得第10页，共60页，2023年，2月20日，星期二特点型解法代入原方程,得４.线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:第11页，共60页，2023年，2月20日，星期二（2）二阶非齐次线性方程解的结构:第12页，共60页，2023年，2月20日，星期二第13页，共60页，2023年，2月20日，星期二５.二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.第14页，共60页，2023年，2月20日，星期二特征方程为第15页，共60页，2023年，2月20日，星期二６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法

待定系数法.第16页，共60页，2023年，2月20日，星期二第17页，共60页，2023年，2月20日，星期二差分的定义7.差分方程基本概念第18页，共60页，2023年，2月20日，星期二第19页，共60页，2023年，2月20日，星期二差分方程与差分方程的阶定义1第20页，共60页，2023年，2月20日，星期二定义2第21页，共60页，2023年，2月20日，星期二为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解第22页，共60页，2023年，2月20日，星期二n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式8.常系数线性差分方程解的结构第23页，共60页，2023年，2月20日，星期二n阶常系数齐次线性差分方程解的结构第24页，共60页，2023年，2月20日，星期二（是任意常数）

第25页，共60页，2023年，2月20日，星期二第26页，共60页，2023年，2月20日，星期二9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解第27页，共60页，2023年，2月20日，星期二第28页，共60页，2023年，2月20日，星期二第29页，共60页，2023年，2月20日，星期二特征方程特征根第30页，共60页，2023年，2月20日，星期二10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解第31页，共60页，2023年，2月20日，星期二第32页，共60页，2023年，2月20日，星期二(1)(2)综上讨论第33页，共60页，2023年，2月20日，星期二第34页，共60页，2023年，2月20日，星期二二、典型例题例1解原方程可化为第35页，共60页，2023年，2月20日，星期二代入原方程得分离变量两边积分所求通解为第36页，共60页，2023年，2月20日，星期二例2解原式可化为原式变为对应齐次方通解为一阶线性非齐次方程伯努利方程第37页，共60页，2023年，2月20日，星期二代入非齐次方程得原方程的通解为利用常数变易法第38页，共60页，2023年，2月20日，星期二例3解代入方程，得故方程的通解为第39页，共60页，2023年，2月20日，星期二例4解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为第40页，共60页，2023年，2月20日，星期二原方程的一个特解为故原方程的通解为第41页，共60页，2023年，2月20日，星期二由解得所以原方程满足初始条件的特解为第42页，共60页，2023年，2月20日，星期二例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为第43页，共60页，2023年，2月20日，星期二由解得第44页，共60页，2023年，2月20日，星期二故原方程的通解为由即第45页，共60页，2023年，2月20日，星期二例6解（１）由题设可得：解此方程组，得第46页，共60页，2023年，2月20日，星期二例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)

这是一个齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程:第47页，共60页，2023年，2月20日，星期二方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为第48页，共60页，2023年，2月20日，星期二例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为第49页，共60页，2023年，2月20日，星期二令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为第50页，共60页，2023年，2月20日，星期二例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:第51页，共60页，2023年，2月20日，星期二(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是第52页，共60页，2023年，2月20日，星期二原方程化为,即则故原方程通解提示:令第53页，共60页，2023年，2月20日，星期二例2.且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:最后求得第54页，共60页，2023年，2月20日，星期二思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:第55页，共60页，2023年，2月20日，星期二的解.例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对x求导,得:(1)由反函数的导数公式知(2003考研)第56页，共60页，2023年，2月20日，星期二代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:第57页，共60页，2023年，2月20日，