江苏卷数学高考真题

RevisedbyChenZhenin20212019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）注意事项41分参考公式：11nn样本数据x,x,,x的方差sxx，其中xx．i2212nnini1i1柱体的体积VSh，其中是柱体的底面积，是柱体的高．Sh1锥体的体积VSh，其中是锥体的底面积，是锥体的高．Sh3．．．．．．．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．上．1．已知集合A1,0,1,6}，B{x|x0,x}，则AB▲.2．已知复数a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数的值是▲.aS3．下图是一个算法流程图，则输出的的值是▲.4．函数y76xx2的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.y27．在平面直角坐标系中，若双曲线x1(b经过点（3，4)，则该双曲线的渐近2b2线方程是▲.8．已知数列{anN)是等差数列，S是其前项和.若aaa0,S，则S的值是n27*nn25898▲.EEBCD9．如图，长方体ABCDABCD的体积是120，为CC的中点，则三棱锥-的体积是11111▲.4P(0)Pxy10．在平面直角坐标系中，是曲线yxx上的一个动点，则点到直线+=0x的距离的最小值是▲.AyxA11．在平面直角坐标系中，点在曲线=ln上，且该曲线在点处的切线经过点（-Ae，-1)(e为自然对数的底数），则点的坐标是▲.12．如图，在中，是的中点，在边上，=2，与交于点O.若DBCEABBEEAADCEAB6，则的值是▲.AC2π413．已知，则2的值是▲.π3414．设(()是定义在R上的两个周期函数，()的周期为4，()的周期为2，且()fxgxfxgxfxk(xx1是奇函数.当(0,2]时，f(x)1(x2，()k，其中>0.若在xgx1,1x22x区间(0，9]上，关于的方程fxgx()()k有8个不同的实数根，则的取值范围是▲.．．．．．．．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABCABCabc中，角，，的对边分别为，，．2acbBc（1）若=3，=2，cos=，求的值；3sinAcosB（2）若，求sin(B)的值．ab216．（本小题满分14分）ABCABCDEBCACABBC中，，分别为，的中点，=．如图，在直三棱柱－111AB求证：（1）∥平面DEC；111BECE（2）⊥．117．（本小题满分14分）xy22xOy中，椭圆:ab的焦点为（–1、0），CF1如图，在平面直角坐标系2ab2F2Fx2lxlF(1)42（1，0）．过作轴的垂线，在轴的上方，与圆:xya交于点222AC，与椭圆交于点.连结DAFF2B并延长交圆于点，连结BFCE交椭圆于点，连结12DF．15DF已知=．21C（1）求椭圆的标准方程；E（2）求点的坐标．18．（本小题满分16分）Ol如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（ABABOlPQPBQA是圆的直径）．规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、．规划．．．．PBQAOO要求：线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点、到直线ABlACBDCDABAC的距离分别为和（、为垂足），测得=10，=6，=12（单位：百米）．BDPBABPB（1）若道路与桥垂直，求道路的长；PQD（2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处并说明理由；PBQAdd（3）在规划要求下，若道路和的长度均为（单位：百米）.求当最小时，、PQ两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()(,,R、fxxaxbxcabcfx为（）的导函数．()f'xabcfa（1）若==，（4）=8，求的值；abbcfx的零点均在集合{fx中，求（）的极小（2）若≠，=，且（）和值；f'(x)4（3）若1，且（）的极大值为，求证:≤．fxMMabc2720．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.a(N),440a满足：aaaaaa，求证：数列{}为“M（1）已知等比数列{}n*n245324n－数列”；122b(（2）已知数列{}nN)Sbn，其中为数列{}的前项和．满足：bbb*n1Snnnnn1b①求数列{}的通项公式；nmc(N)kkm，对任意正整数，当≤时，都有②设为正整数，若存在“M－数列”{}n*nmcbc成立，求的最大值．kkk12019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.571.7.y2x4.[5.6.310211.12.313.1214.,34二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.2解：（1）因为ac,b2,cosB，3acb2c)c(1222222由余弦定理B，得，即c.2232cc33所以c.3sinAcosB（2）因为，ababcosBsinB由正弦定理，得，所以BB.sinAsinBbb4从而cosB(2sinB)，即cos41cos，故cosB.BB22222525因为B0，所以BB0，从而B.5π255因此sincos.BB216.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.DEBCAC证明：（1）因为，分别为，的中点，ABED∥.ED又因为平面AB1DEC.所以∥平面11ABBCEACBEAC（2）因为=，为的中点，所以⊥.ABC-ABC1是直棱柱，所以⊥平面CCABC.因为三棱柱111BE又因为平面ABCCCBE，所以⊥.1CC1AACCAC1AACCCCACC因为平面，平面，∩=，1111BE所以⊥平面AACC.11CE1AACCBECE，所以⊥.因为平面11117.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.Cc解：（1）设椭圆的焦距为2.F1F2FF1c=2，=1.因为(-1，0)，(1，0)，所以2553DFAFxDF()2又因为=，⊥轴，所以=FF，2122222212212aDFDFa因此2=+=4，从而=2.12b2a2c2b2由=-，得=3.x2y2因此，椭圆的标准方程为1.C43（2）解法一：x2y2由（1）知，椭圆：1，=2，Ca43AFxA因为⊥轴，所以点的横坐标为1.2xF2x2y2y将=1代入圆的方程(-1)+=16，解得=±4.AxA因为点在轴上方，所以(1，4).AFyxy22211解得1或.xx511将代入1252x2，得，xyy511123(,)F2BFy(x1).因此B.又(1，0)，所以直线：55423y(x4137由，得760，解得或x1x.x2xx2y2143EBF又因为是线段与椭圆的交点，所以1.x234(x1)，得y33将1代入.因此E(1,).xy22解法二：x2y2C1EF由（1）知，椭圆：.如图，连结.1BFEB=∠.AFxEFx因为⊥轴，所以⊥轴.211x32F1y因为(-1，0)，由，得.x2y214332E又因为是线段BF与椭圆的交点，所以.y23因此.E(1,)218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：A（1）过作E，垂足为.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'8PBAB因为⊥，84所以cosPBDsinABE.105BD124所以PB15.cosPBD5PB因此道路的长为15（百米）.PDEBEBE（2）①若在处，由（1）可得在圆上，则线段上的点（除，）到点的距离均小OOPD于圆的半径，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由（1）知ADAEED10，QDAD227222从而0，所以∠BAD为锐角.2ADOO所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.QD因此，选在处也不满足规划要求.PQD综上，和均不能选在处.P（3）先讨论点的位置.OBPPBOO当∠<90°时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；POBPPBFOFOBPB当∠≥90°时，对线段上任意一点，≥，即线段上所有点到点的距离均OOP不小于圆的半径，点符合规划要求.lB设P为上一点，且PBAB，由（1）知，P=15，1113此时PDPBsinPBDPBcosEBA159；51111当∠OBP>90°时，在△PPB中，PBPB15.11d由上可知，≥15.Q再讨论点的位置.QAQC由（2）知，要使得≥15，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当=15时，QACQQAAC156321.此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的2222半径.PBAB综上，当⊥，点位于点右侧，且=QCCQ3dPQ时，最小，此时，两点间的距离PQPDCDCQ=++=17+321.因此，最小时，，两点间的距离为17+321（百米）.dPQ解法二：OOHl（1）如图，过作⊥，垂足为H.OOHy以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.BDACOHl因为=12，=6，所以=9，直线的方程为=9，点，的纵坐标分别为3，3.yABABOABO因为为圆的直径，=10，所以圆的方程为+=25.xy223ABAB从而（4，3），（4，3），直线的斜率为.44PBABPB因为⊥，所以直线的斜率为，3425PB直线的方程为yx.33P所以（13，9），PB(134)(93)15.22PB因此道路的长为15（百米）.PDBDE（2）①若在处，取线段上一点（EOPD4，0），则=4<5，所以选在处不满足规划要求.QDADD②若在处，连结，由（1）知（A4，9），又（4，3），3AD6(44)所以线段：yxx.4152ADM32345，在线段上取点（3，），因为2244ADOO所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.QD因此选在处也不满足规划要求.PQD综上，和均不能选在处.P（3）先讨论点的位置.OBPPBOO当∠<90°时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；POBPPBFOFOBPB当∠≥90°时，对线段上任意一点，≥，即线段上所有点到点的距离均不OOP小于圆的半径，点符合规划要求.lB设P为上一点，且PBAB，由（1）知，P=15，此时P（111113，9）；当∠OBP>90°时，在△PPB中，PBPB15.11d由上可知，≥15.Q再讨论点的位置.由（2）知，要使得QA≥QC15，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当=15时，设QAQa(4)(93)15(4)a43Q43，所以（，（，9），由AQaa，得=22QAOO9），此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.P综上，当（Q4313，9），（dPQ，9）时，最小，此时，两点间的距离PQ4321(13)17321.因此，最小时，，两点间的距离为3dPQ（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为abc，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)．3因为f8，所以(4a)8，解得a2．3（2）因为bc，所以f(x)(xa)(xb)x(ab)xb(2ab)xab，23222ab2ab从而f'(x)3(xb)x．令f'(x)0，得xb或x．332ab因为a,,，都在集合中，且ab，32ab所以1,a3,b3．3此时f(x)(x3)(x3)，f'(x)3(x3)(x1)．2令f'(x)0，得x3或x1．列表如下：x10f'(x)f(x)+–+所以()的极小值为f(1)(13)(13)32．fx2（3）因为1，所以f(x)x(xb)(x1)x(b1)xbx，ac32f'(x)3x2(b1)xb．2因为0b1，所以4(b1)12b(2b1)30，22则()有2个不同的零点，设为x,xxx．f'x1212b1bb1b1bb122由f'(x)0，得,x．x3312列表如下：x,xx(x,)x11222f'(x)f(x)+0–0+所以f(x)的极大值Mfx．1解法一：Mfxxbx3121112bb112bb1)xb1[3xbxb]x123999112bb1b1)2(1)2bb3bb1227927bbbb22(bb1)34bb1)24．因此M．27272727解法二：因为0b1，所以x(0,1)．1当(0,1)时，f(x)x(xb)(x1)x(x1)．x21令g(x)x(x1),x(0,1)，则(x)3x(x．231令()0，得x．列表如下：x311x3g'(x)+0–g(x)114所以当x时，()取得极大值，且是最大值，故g(x)g．gx3344所以当x(0,1)时，f(x)g(x)，因此M．272720．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．aqaq解：（1）设等比数列{}的公比为，所以≠0，≠0.1naaa由，得aqaq1a244，解得1．2451aq1a4a4a04aq4a0q22321111因此数列{a}为“M—数列”.n12Sbb2，所以b．0（2）①因为nnnn1122由b1,Sb，得，则b22.11b111212Sbb2bbSn由，得，nn1bb)nnn1n1nbbbb当2时，由bSS，得b，nnn1n1n2bb2bbn1nnnn1nnn1整理得bb2b．n1n1nb所以数列{}是首项和公差均为1的等差数列.nbbnN*因此，数列{}的通项公式为=n.nnbkN*②由①知，=，.kkcqc1q因为数列{}为“M–数列”，设公比为，所以=1，>0.ncbc因为≤≤，所以km，其中=1，2，3，…，.qk1kqkkk+1kq当=1时，有≥1；lnklnkk当=2，3，…，时，有mqln．kk1lnx1lnxfx设（）=(x1)，则f'(x)．xx2令f'(x)0，得=e.列表如下：x(1,e)xe–f'(x)）+0ln2ln8ln9ln3ln3f(k)f(3)因为，所以．26633lnkklnq，即，kq取3，当=1，2，3，4，5时，3qkk经检验知k也成立．qk1m因此所求的最大值不小于5．mkq3q5q15q15若≥6，分别取=3，6，得3≤，且≤6，从而≥243，且≤216，qm所以不存在.因此所求的最大值小于6.m综上，所求的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）31已知矩阵A22A（1）求；2A（2）求矩阵B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）4在极坐标系中，已知两点A,B，直线的方程为l3.42ABBl（1）求，两点间的距离；（2）求点到直线的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，解不等式|x.xR．．．．．．．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设(1x)aaxaxax,n4,nN.已知a2aa.n2n*23012n24n（1）求的值；（2）设(13)ab3，其中a,bN*，求的值.ab2n2xOy23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，设点集A{(0,0),(1,0),(2,0),,(n,0)}，nB,(N.nCnnnnMX令MABC.从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离.nnnnnnX（1）当=1时，求的概率分布；nnPXn（2）对给定的正整数（≥3），求概率（≤）（用表示）.n数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．31解：（1）因为A，223131所以A2222233123112115==．23222122106（2）矩阵的特征多项式为31Af()42.22()0令f1A，解得的特征值1,4.2B．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．OOABA解：（1）设极点为.在△中，（3，），（B，），242AB3(232由余弦定理，得=5.)2224sin()3l（2）因为直线的方程为，4，倾斜角为．4l则直线过点(32,)2(322)sin()2.(2,)Bl，所以点到直线的距离为又B242C．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．1，解得<-；x解：当<0时，原不等式可化为122xxx31当0≤≤时，原不等式可化为+1–2>2，即<–1，无解；xxxx21当>时，原不等式可化为+2–1>2，解得>1.xxxx21x|xx综上，原不等式的解集为.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为(1x)CCxCxCxn4，n0122nnnnnnn(n1)n(nn2)aC,aC所以，23262n3nn(nn2)(n3)aC．4244n因为2，a23aa24n(nn2)