第四周第一次课矩阵运算

第四周第一次课矩阵运算第1页，共62页，2023年，2月20日，星期二回顾

线性方程组的初等变换Guass消元法矩阵，系数矩阵，增广矩阵增广矩阵的初等行变换阶梯形矩阵，简化阶梯形矩阵如何判断方程组解的个数？第2页，共62页，2023年，2月20日，星期二四.阶梯形线性方程组的三种基本类型

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

例如:x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有唯一解有无数解无解第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第3页，共62页，2023年，2月20日，星期二

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8有唯一解

(A,b)的非零行数记为r(A,b);~~

A的非零行数记为r(A);~~~~1

32-1

0-5-3

50028=[A,b]其增广矩阵为~~则有r(A,b)=r(A)=3=未知元的个数~~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第4页，共62页，2023年，2月20日，星期二x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有无数解其增广矩阵为12

1

1

2

0014300000=[A,b]~~则有r(A,b)=r(A)=2<未知元的个数~~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第5页，共62页，2023年，2月20日，星期二其增广矩阵为12

1

1

2

0014300001=[A,b]~~x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

无解则有r(A,b)≠r(A)~~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第6页，共62页，2023年，2月20日，星期二考察一般的n元方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs其增广矩阵经过若干次初等行变换一定可以化成一个（简化）阶梯形矩阵(A,b)。(A,b)=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asnbss<,=,or,>n~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第7页，共62页，2023年，2月20日，星期二答案：不会超过未之量个数n

；

思考1：在最后的阶梯形矩阵中,非零

行的个数r(A,b)至多会有多少个？（A,b）~~~~

事实上也不会超过原先方程组中方程的个数s.

即不会超

过min(n,s).第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第8页，共62页，2023年，2月20日，星期二思考2：在最后的阶梯形矩阵中,r(A)和r(A,b)的关系如何？（A,b）~~~~~r(A,b）≠r(A)~~~r(A,b）=

r(A)~~~答案:(1)(2)r(A,b）=

r(A)+1

~~~只可能是只可能是r(A,b）=

r(A)<n

~~~r(A,b）=

r(A)=n

~~~矛盾方程出现，方程组无解方程组有无穷多解方程组有唯一解第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第9页，共62页，2023年，2月20日，星期二第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

特殊情形:(齐次线性方程组有非零解的一个充分条件)定理1.4.当s<n时,齐次线性方程组有非零解,且通解中至少含有ns个自由未知量.a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…as1x1+as2x2+…+asnxn=0第10页，共62页，2023年，2月20日，星期二第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

更特殊的情形:定理1.5.齐次线性方程组有非零解a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…an1x1+an2x2+…+annxn=0a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=0.第11页，共62页，2023年，2月20日，星期二证明定理1.5：注意到将系数矩阵化为一个阶梯形矩阵，中间只用到这些初等行变换：(1)对换变换:ri

rj,

(2)倍乘变换:ri

k,其中k

0,

(3)倍加变换:ri+krj.第12页，共62页，2023年，2月20日，星期二

第二章矩阵第一节

矩阵的代数运算

第13页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.0矩阵的基本概念一.历史“矩阵

(matrix)”这个词首先是英国数学家西尔维斯特(Sylvester)使用的.他为了将数字的矩形阵列区别于行列式

(determinant)而发明了这个术语.JamesJosephSylvester(1814.9.3~1897.3.15)

第14页，共62页，2023年，2月20日，星期二西尔维斯特问题平面上给定n个点(n≥3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。第15页，共62页，2023年，2月20日，星期二英国数学家凯莱(Cayley)被公认为是矩阵论的创立者.他首先把矩阵作为一个独立的数学概念,并发表了一系列关于这个题目的文章.Arthur

Cayley(1821.8.16~1895.1.26)

第二章矩阵§2.0矩阵概念第16页，共62页，2023年，2月20日，星期二例1.某厂家向新百,中央,大洋三个商场发送产品.2001801901001201001501601401801501502050302516201616

甲乙丙丁单价重量二.实例第二章矩阵§2.0矩阵概念第17页，共62页，2023年，2月20日，星期二例2.四个城市间的单向航线如图所示.1423若用aij表示从i市到j市航线的条数,则上图信息可表示为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44第二章矩阵§2.0矩阵概念第18页，共62页，2023年，2月20日，星期二例2.四个城市间的单向航线如图所示.1423若用aij表示从i市到j市航线的条数,则上图信息可表示为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44即0111100001001010第二章矩阵§2.0矩阵概念第19页，共62页，2023年，2月20日，星期二三.定义1.mn矩阵

元素(element/entry)aij(1i

m,1

j

n)a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn元素都是实数——实矩阵(real~)元素都是复数——复矩阵(complex~)行(row)列(column)第二章矩阵§2.0矩阵概念n阶方阵:nn矩阵2.方阵(squarematrix)第20页，共62页，2023年，2月20日，星期二3.向量(vector)行向量(columnvector)[a1,a2,…,an]列向量(rowvector)a1a2…an第i分量

(ithcomponent)ai(i=1,…,n)n–维(n–dimensional)

第二章矩阵§2.0矩阵概念第21页，共62页，2023年，2月20日，星期二4.同型(same-sized):行数相等,列数也相等5.两个矩阵相等(equal)

A=[aij]mn与B=[bij]mn相等:对1im,1jn,aij

=bij都成立记为A=B.大前提:同型

第二章矩阵§2.0矩阵概念第22页，共62页，2023年，2月20日，星期二四.几种特殊的矩阵

1.对称矩阵(symmetricmatrix)则称A为对称矩阵.若矩阵A=[aij]mn满足:122110

1

0

x

31

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n)第二章矩阵§2.0矩阵概念第23页，共62页，2023年，2月20日，星期二2.对角矩阵(diagonalmatrix)主对角线

对角矩阵

diag(d1,d2,…,dn).a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

an1

an2…ann…………(leading/main/principaldiagonal)d10…00d2…000…dn…………简记为第二章矩阵§2.0矩阵概念第24页，共62页，2023年，2月20日，星期二3.数量矩阵/纯量矩阵(scalarmatrix)diag[k,k,…,k]——数量矩阵/纯量矩阵.4.单位矩阵(identitymatrix)称为n阶单位矩阵.

2000200023003例如:En

或In=10…001…000…1nn……

……第二章矩阵§2.0矩阵概念第25页，共62页，2023年，2月20日，星期二5.反对称矩阵则称A为反对称矩阵(antisymmetricmatrix/若矩阵A=[aij]mn满足:022

001

1103

1

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n),skew–symmetricmatrix).第二章矩阵§2.0矩阵概念第26页，共62页，2023年，2月20日，星期二6.零矩阵(zeromatrix)有时,加下标指明其阶数.通常用O表示零矩阵.0000000000000000000例如,上述零矩阵分别可以记为:O2,O23,O3.零矩阵——元素全为零.第二章矩阵§2.0矩阵概念第27页，共62页，2023年，2月20日，星期二第二章矩阵§2.1矩阵的基本运算§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420例3.第28页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365例3.第二章矩阵§2.1矩阵的基本运算第29页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390例3.第二章矩阵§2.1矩阵基本运算第30页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205例3.第二章矩阵§2.1矩阵的基本运算第31页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205240例3.第二章矩阵§2.1矩阵的基本运算第32页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205240210例3.第33页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法420365390205240210A+B=200180190100120100A=(1)大前提:同类型

(2)具体操作:对应元素相加

第34页，共62页，2023年，2月20日，星期二§2.1矩阵的基本运算一.矩阵的线性运算1.加法A=[aij]mn与B=[bij]mn的和:C=[cij]mn=[aij+bij]mn.注:

①

设矩阵A=(aij)mn,记

A=(aij)mn,——A的负矩阵.②设A,B是同型矩阵,则它们的差定义为A+(B).记为AB.即A

B=A+(B).第35页，共62页，2023年，2月20日，星期二2.数乘设矩阵A=(aij)mn,数k与A的乘积定义为

(kaij)mn,记为kA.

注:矩阵的线性运算即kA

=ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn加法数乘|kA|=?第36页，共62页，2023年，2月20日，星期二3.性质设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB,(9)kA=O当且仅当k=0或

A=O线性空间第37页，共62页，2023年，2月20日，星期二二.矩阵的乘积例4.某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020200+50100+30150+251801800018150167501048010240968018000第38页，共62页，2023年，2月20日，星期二例5.四个城市间的单向航线如图所示.

若aij表示从i市直达j市航线的条数,

则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010从i市经一次中转到达j市航线的条数=?第39页，共62页，2023年，2月20日，星期二乘法原理加法原理④①②③①①a11

a11

a12

a21

a13

a31

a41

a14

a11a11

a12a21

a13a31

a14a41

b11=.+++1423第40页，共62页，2023年，2月20日，星期二乘法原理加法原理④①②③②③a21

a13

a22

a23

a33

a23

a24

a43

a21a13

a22a23

a23a33

a24a43

b23=.+++1423第41页，共62页，2023年，2月20日，星期二例5.四个城市间的单向航线如图所示.

若aij表示从i市直达j市航线的条数,

则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010B=(bij)=21100111100002111234ijbij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.从i市经一次中转到达j市航线的条数=?第42页，共62页，2023年，2月20日，星期二定义A=(aij)ms与B=(bij)sn的乘积是一个mn矩阵C=(cij)mn,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B右乘A”.=a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32

a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32第43页，共62页，2023年，2月20日，星期二2.矩阵乘积的特殊性

(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,

乘积AB才有意义.

a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如有意义；a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如有意义；a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b13

b21

b22b23

b31

b32b33

但

没有意义；第44页，共62页，2023年，2月20日，星期二2.矩阵乘积的特殊性(2)若A是一个mn矩阵,与B是一个nm矩阵,

则AB和BA都有意义.但AB是一个m阶方

阵,BA是一个n阶方阵.当mn时,AB与BA谈不上相等不相等.

即使m=n,AB与BA是同阶方阵也未必相等.

例如:第45页，共62页，2023年，2月20日，星期二例(1)A=B=

(2)A=B=(3)A=B=分别求乘积AB和BA。1122241

210011122

1

2121232,-1,1第46页，共62页，2023年，2月20日，星期二以下现象也应引起注意(3)

A≠O且B≠O时，AB可能会等于零矩阵第47页，共62页，2023年，2月20日，星期二问题：矩阵A

和B的乘积何时可交换，即

AB=BA?第48页，共62页，2023年，2月20日，星期二对角矩阵

diag(d1,d2,…,dn).d1

d2

dn…简记为例假设对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn),矩阵A=(aij)n×n.求乘积DA及AD，并比较这两个矩阵的元素的特点。第49页，共62页，2023年，2月20日，星期二考虑上例中矩阵乘积的如下几个极端情形：D=:=E,

En或I,In

1

1

1…D的主对角元素d1,d2,…,dn互不相等，

并且AD=DA

A满足什么条件？

d

d

d…(2)D

=:=dE(3)A=diag(a11,a22,…,ann)第50页，共62页，2023年，2月20日，星期二设k是数,矩阵A,B,C使以下各式中一端有意义,则另一端也有意义并且等式成立:(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).3.性质转置第51页，共62页，2023年，2月20日，星期二4.方阵A的正整数幂(power)A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA.但即使A与B是同阶方阵,也未必成立!容易验证AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(AB)k=AkBk第52页，共62页，2023年，2月20日，星期二例如A=1

100,B=1

010,AB=2

000,A2=1

100=A,B2=1

010=B,(AB)2=4

000,A2B2=AB=2

000,第53页，共62页，2023年，2月20日，星期二注:①

若AB=BA,则(AB)k=AkBk.②

A=0

100,B=1

000,AB=0

000,BA=0

100,AB

BA,但(AB)k=AkBk成立.第54页，共62页，2023年，2月20日，星期二5.方阵的多项式

A——方阵——方阵A的多项式(polynomial).f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多项式注意!!!

请参见教材53