物理耦合电感与理想变压器

物理耦合电感与理想变压器第1页/共69页依法拉第电磁感应定律，线圈两端的感应电压与磁链的关系为：11.1耦合电感的伏-安关系图11-1匝数为N的自感线圈感应电压与线圈电流的关系为：其中，

，在这里L称为自电感。第2页/共69页当具有自电感L1、L2的两个线圈紧密靠近时，如图11-2(a)所示。N1、N2是线圈1、2的匝数。当两个线圈都有电流时它们的磁场相互关联的。为简化分析，先让线圈2的电路开路。11.1耦合电感的伏-安关系图11-2线圈1在线圈2产生的互感图(b)是为了说明线圈2的感应电压极性与线圈的绕向有关。第3页/共69页

11.1耦合电感的伏-安关系设电流i1在线圈1中产生的自感磁链为11，在线圈2中产生的互感磁通为21。线圈1的总磁通1为：当1随时间变化时，线圈1的感应电压为：

因为只有磁通21经过线圈2，所以线圈2的感应电压为：第4页/共69页

11.1耦合电感的伏-安关系M21称为线圈1对线圈2的互感系数，简称互感，单位H。通常M的值取正。第5页/共69页

同理，若在线圈2中通以交变的电流，线圈1的电路开路，如图11-3所示。11.1耦合电感的伏-安关系图11-3线圈2在线圈1产生的互感线圈2的总磁通2为：第6页/共69页

11.1耦合电感的伏-安关系当2随时间变化时，线圈2的感应电压为：

因为只有磁通12经过线圈1，所以它的感应电压为：第7页/共69页

总结：互感M的大小表明一个线圈在另一个线圈中产生感应电压的能力。M越大，产生的感应电压越大。11.1耦合电感的伏-安关系其中，M12称为线圈2对线圈1的互感系数。当两个线圈在同样的环境下时，可以证明，M21=M12。因此当两线圈有耦合作用时，可省去下标，用M表示互感。第8页/共69页

在耦合电赶的伏-安关系中，因自电感的电流与感应电压都是对同一个线圈，感应电压的实际方向与线圈中的电流符合关联参考方向。而互感是衡量一个线圈的电流在另一个线圈中产生感应电压的能力，因此感应电压的极性与另一个线圈的绕向有关。绕向不同，互感磁通可能会削弱自感磁通，也可能增强自感磁通。11.1耦合电感的伏-安关系在分析电路时耦合线圈一般用电路符号表示，不能具体表示出元件的内部结构，实际的互感元件也看不见线圈的绕向，因此，常在电路图中的互感线圈上标注互感电动势极性的标记，这就是同名端的标记。第9页/共69页是各取耦合线圈的一端，标上“•”或“*”号，这一对端子称为同名端。它们之间的关系是：若设一端是产生互感电压的电流的流入端，则另一端的是互感电压的“+”端。反之，若一端是产生互感电压的电流的流出端，则另一端是互感电压的“-”端。11.1耦合电感的伏-安关系同名端定义：在变压器和互感器出厂时，厂家已用同名端的标记符号在它的外壳上标示出线圈的相对绕向。当然，可以根据同名端的定义，也可以用实验的方法确定同名端。第10页/共69页

图11-4用同名端标识耦合电感的电路模型11.1耦合电感的伏-安关系图11-2可简化为图11-4（a）的电路模型，图中1、2端互为同名端，或1＇、2＇端互为同名端。图11-4(b)、(c)、(d)给出的是另外三种情况的电路模型。第11页/共69页例11-1

求图11-5(a)，(b)中耦合电感的端电压u1,u2。图11-5耦合电感的电路模型11.1耦合电感的伏-安关系解：（a）电路，电流i1从1端流入，根据同名端的定义，在线圈2中产生的互感电压极性一定是3端为正。因此，电流i1在线圈2中引起的互感电压与线圈2的端口电压u2方向是一致的，第12页/共69页

因此有：同理可得：11.1耦合电感的伏-安关系对图（b）电路，线圈2同名端的位置与图(a)中相反，而端口电流、电压的定义方向一致，因此互感电压的极性一定与式（a）的u1和u2一定相反。端口的伏安关系：第13页/共69页

图11-6耦合电感的相量电路模型11.1耦合电感的伏-安关系耦合电感元件可用相量模型表示：对应的伏-安关系表示为：第14页/共69页11.1耦合电感的伏-安关系用受控电压源等效的方法表示电路中耦合线圈的互感作用：等效经过这样的转换，两线圈之间不再有耦合关系。

相量表示第15页/共69页因为通常情况下，

21<11，12

<22，所以k的值是介于0和1之间。

工程上用它来描述两线圈的耦合程度。即：

11.1耦合电感的伏-安关系耦合系数定义：将两线圈的互感磁通与自感磁通的比值的几何平均值。即：第16页/共69页

11.1耦合电感的伏-安关系若21

=11，12

=22，即：每个线圈产生的磁通全部通过另一线圈，则k=1：称两线圈是全耦合。k=0，两线圈无耦合。k值的大小反映了耦合的程度，它与线圈的结构、相互位置及周围的介质有关。(a)松耦合(b)紧耦合图11-8耦合电感的耦合程度示意图当k<0.5时，称为松耦合，当k>0.5时，称为紧耦合，如图11-8所示。第17页/共69页11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路

一、耦合电感的串联一对耦合电感的串联有两种方式：顺串和反串。顺串是将两线圈的异名端相联，如图11-9(a)所示。根据同名端的定义与互感电压极性的关系，可得到用受控源表示的电路，如图11-9(b)所示。图11-9耦合电感的顺串第18页/共69页

图11-9耦合电感的顺串因此得到：11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路顺串后的等效电感。等效为无互感的电路：第19页/共69页

反串是将两线圈的同名端相联，如图11-11(a)所示。同样可得到用受控源表示的电路，如图11-11(b)所示。11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路图11-11耦合电感的反串因此有：第20页/共69页11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路反串后的互感对磁通起“削弱”作用。图11-12无互感的反串等效电路反串后的等效电感等效为无互感的反串电路：第21页/共69页

11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路顺串时的等效阻抗：反串时的等效阻抗：结论：串联的两个电感若有互感时，等效阻抗不仅与自电感阻抗有关，还与互感阻抗和串接方式有关。第22页/共69页耦合电感并联的连接方式有两种，如图11-13所示。（a）是同名端连接在同一节点上，称为同侧并联电路；

(b)是非同名端连接在同一节点上，成为异侧并联电路。图11-13耦合电感的并联电路11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路

二、耦合电感的串联第23页/共69页对同侧并联电路，有：因为

，所以有：同侧并联电路的等效电感为：11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路第24页/共69页

对异侧并联电路，同理可得到等效电感为：11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路

三、去耦等效电路在分析含有耦合电感的电路中，常常会有图11-14（a）所示的部分。在计算时常用等效电路模型来代替，以方便计算。11-14(a)同名端连在公共端点上第25页/共69页下面推导它们之间的转换关系：去耦等效电路11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路(a)同名端连在公共端点上

(b)去耦等效电路

图11-14同名端相连的耦合电感及其去耦等效电路

对(a),由同名端的定义与互感电压极性的关系，可得：第26页/共69页

对(b)电路，依据KVL有:11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路(a)同名端连在公共端点上

(b)去耦等效电路

图11-14同名端相连的耦合电感及其去耦等效电路

第27页/共69页

将两式的系数进行比较，可以得到：

若改变同名端的位置，如图11-15(a)所示，可以得到11-15(b)所示的去耦等效电路图。

(a)异同名端连在公共端点上(b)去耦等效电路图11-15耦合电感及其去耦等效电路11.2耦合电感的串并联和去耦等效电路第28页/共69页对含有耦合电感的电路，若是正弦稳态电路，可用相量法进行分析，也可在时域内进行分析。在列电压方程，要注意耦合电感上有互感电压。也可灵活应用上一节中得到的结论进行分析。在这一节中主要通过几个实例来分析含有耦合电感的电路。11.3对含耦合电感的电路分析第29页/共69页图11-16例11-2电路11.3对含耦合电感的电路分析例11-2

求图11-16(a)所示电路的输入阻抗。解：利用去耦T形等效变换，得到图1(b)的等效电路。

容易得到电路的输入阻抗为：第30页/共69页图11-17例11-3电路11.3对含耦合电感的电路分析例11-3试列出求解图11-17电路中的电流方程。

解：利用去耦模型，得到图11-18的等效电路。

图11-18图11-17电路的去耦等效电路第31页/共69页

图11-18图11-17电路的去耦等效电路

依KVL列两个回路的电压方程，依KCL定律列节点a的电流方程，得到：11.3对含耦合电感的电路分析第32页/共69页例11-4

电路如图11-19所示。已知L1=L2=10，M=5，R1=R2=6，Us=6V，求其戴维南等效电路。图11-19例11-4电路11.3对含耦合电感的电路分析解：依据同名端的定义，电感L2和电阻R2的电压方向如图11-19所示。首先计算电路的开路电压。第33页/共69页用去耦等效电路求，将电压源短路，得到如图所示的去耦等效电路。则：11.3对含耦合电感的电路分析计算从ab端看进去的等效阻抗Zo：电路的戴维南等效电路如图下所示。第34页/共69页例11-5用受控电压源法和去耦等效法，求图11-21中耦合线圈的去耦等效电路。图11-21例11-5电路11.3对含耦合电感的电路分析解：用两种方法对图11-20的耦合电感去耦，可使含有它们的电路计算更简单明了。但要注意，要一对一对线圈去耦。第35页/共69页

用受控电压源法得到的等效电路如图11-22所示。图11-22受控电压源法得到的等效电路11.3对含耦合电感的电路分析第36页/共69页

图11-23T变换得到的去耦等效电路11.3对含耦合电感的电路分析用T变换去耦法得到的去耦等效电路如图11-22所示。第37页/共69页变压器是电子、电力和电器设备中常用的器件。如：在电力系统中，输送一定功率的电能。在电力系统中，输送一定功率的电能时，使用变压器可以减少线路上的电能损失，并减小导线截面，节约有色金属。在发电站的交流发电机因绝缘的问题发出的电压不能太高，要用升压变压器将发电机发出的电压升高，然后再输送出去。在用户方面电压又不宜太高，太高就不安全，所以又须用降压变压器把电压降低，供给用户使用。

11.4空心变压器通常用电设备所需的电压数值是多种多样的。例如：机床用的三相交流电动机，一般用220V的电压；机床上的照明灯，一般使用36V的安全电压。这就需用变压器把电网电压变换成适合各种设备正常工作的电压。第38页/共69页在实际工作中，除用变压器变换电压外，在各种仪器、设备上还广泛应用变压器的工作原理来完成某些特殊任务。例如焊接用的电焊变压器；冶炼金属用的电炉变压器；整流装置用的整流变压器；输出电压可以调节的自耦变压器、感应调压器；供测量高电压和大电流用的电压互感器、电流互感器等。在电子电路中，变压器还用来变换阻抗。不同种类的变压器，机构形状虽然各有特点，但其工作原理基本上是一样的。

11.4空心变压器第39页/共69页变压器通常由两个耦合线圈围绕在同一个芯子上利用电磁感应原理制作而成。其中一个线圈与电源相连，称为初级线圈，另一个线圈与负载相连，称为次级线圈。11.4空心变压器一、空心变压器的电路模型空心变压器的芯子是由非铁磁性材料做成，例如塑料、木材、或心子是空的，只有空气。这类变压器常作为收音机和电视中的元件。第40页/共69页

图11-24空心变压器的电路模型在正弦稳态下，对图中的两网孔列KVL方程，得到：11.4空心变压器图11-24中，设初级线圈的输入电压是正弦电压，R1，R2是线圈的电阻，ZL是负载设Z11=R1+jL1，为初级回路自阻抗，Z22=R2+jL2+ZL，为次级回路自阻抗，ZM=jM，由上面的方程可到：第41页/共69页

11.4空心变压器第42页/共69页

从电源端看进去的输入阻抗为：令

ZR是次级回路的阻抗通过互感反映在初级回路中的等效阻抗，称为反映阻抗。

11.4空心变压器二、变压器的反映阻抗第43页/共69页

由上式可以得到：反映阻抗与耦合电感的同名端无关。若次级回路是闭合的，初级回路中除了Z11自阻抗外，还增加了反映阻抗。即：次级回路对初级回路的影响是由反映阻抗来体现的，它是很重要的一个性质。图11-25是初级回路的等效电路。图11-25空心变压器的初级等效电路模型11.4空心变压器第44页/共69页例11-6

在图11-26的电路中，试计算初级回路的输入阻抗和电流。已知Z1=60-j100，Z2=30+j40，ZL=80+j60。图11-26例11-7图11.4空心变压器解：第45页/共69页初级回路的电流为：11.4空心变压器图11-26例11-7图第46页/共69页将实际变压器理想化，要满足的三个条件：11.5理想变压器理想变压器是实际铁心变压器的理想化模型。设变压器电路的初级线圈的匝数为N1，次级线圈的匝数为N2N1/N2=n变压器的变比1、初级和次级线圈无电阻损耗，即R1=0=R2；2、耦合系数k=1，即全耦合；3、线圈的感抗为无限大，即L1、L2、M。第47页/共69页图11-27是理想变压器的电路模型如图所示：图11-27理想变压器的电路模型11.5理想变压器现分析它的回路电流、电压之间的关系：初、次级线圈的伏安关系：第48页/共69页

得：11.5理想变压器图11-27理想变压器的电路模型因为是全耦合，k=1，所以

，因此有：第49页/共69页

因为理想变压器器是全耦合。全耦合磁通分布如图12-28所示，有：11=21，22=12。11.5理想变压器图11-28全耦合示意图

因为在初级和次级线圈端口感应电压与磁通的关系为：

第50页/共69页

因此初、次级端口电压的关系：且有：11.5理想变压器因为：得到：因为，所以有：

第51页/共69页11.5理想变压器总结:

(1）若次级线圈回路中是开路的，则初级线圈回路也没有电流。这与空心变压器是不同的。（2）理想变压器是只通过一个常数参数n（变压器变比或匝数比）描述的电路，而不是通过L1、L2和M参数，因此理想变压器是一静态元件。第52页/共69页

若理想变压器的同名端的配置如图11-28所示，则变压器的电流、电压关系为：图11-29理想变压器的电路模型11.5理想变压器注意：初级线圈回路和次级线圈回路的端口参考电压、电流的定义方向不同，同名端的配置不同，得到的电压、电流的关系表达式是不同的。出上述两种，其他情况自己思考。第53页/共69页由上面的式子可以得到：即：理想变压器既不消耗能量也不储存能量。若次级线圈回路的能量是通过初级回路输出的，则初级线圈输入的功率通过变压器可全部传送给次级回路的负载。11.5理想变压器第54页/共69页

图11-29的理想变压器，次级回路接有负载ZL时，从初级端看的等效阻抗为：11.5理想变压器图11-29理想变压器的电路模型可见理想变压器除还有改变阻抗的性质。利用这一性质可使变压器次级端接的负载得到最大功率。例如，在收音机中将变压器接在功率放大器和扬声器之间，利用的就是变压器的变阻抗性质。第55页/共69页图11-30例11-7图11.5理想变压器和输出电压。例11-7

在图11-30所示电路中，求电流解：次级回路的电阻折合到初级中的等效电阻为：第56页/共69页从电源端看的输入电阻为：电流：11.5理想变压器依据理想变压器的性质，得到：第57页/共69页例11-8

已知由理想变压器组成的电路如图11-31所示。求输入等效阻抗。图11-31例11-8图11.5理想变压器解：依据理想变压器的性质，可得：负载的电流为：次级线圈的电流为：第58页/共69页

初级线圈的电流为：电路的等效电阻为：11.5理想变压器图11-31例11-8图第59页/共69页例11-9图11-32是用理想变压器给家庭供电的电路示意图。已知负载的分布是：100W的灯泡照明，350W的电视和15KW的厨房电器。若次级线圈匝数是72，计算初级线圈的匝数和初级线圈的电流Ip。图11-32例11-9图11.5理想变压器解：依据理想变压器的性质，得初级线圈的匝数为：因为变压器不消耗和储存能量，所以有：第60页/共69页若将变压器耦合系数近似为k=1，但电感L1、L2和M是有限值，称这样的变压器为全耦合变压器。11.6全耦合变压器如前所述，在要求不高或允许存在误差的情况下，可将实际铁心变压器抽象为理想变压器。例如电子设备中的电源变压器。对全耦合变压器，仍有：因为：所以：第61页/共69页

由上式：初级线圈的电流分为两部分，一部分是电感不为无穷大时产生的电流，相当于变压器负载开路时在初级线圈里的电流，另一部