高三二轮复习：正交分解法、整体法和隔离法题型归纳

高三二轮复习正交分解法、整体法和隔离法题型归纳类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用例1、在水平地面上放一木板B，重力为100N，再在木板上放一货箱A，重力为500N，设货箱与木板、木板与地面间的动摩擦因数〃均为0.5,先用绳子把货箱与墙拉紧，如图示，已知sin0=3/5,cos0=3/5,然后在木板B上施一水平力F。要想把木板从货箱下抽出来，F至少应为多大?【答案】850N【解析】分别对物体A、B或AB整体：受力分析，如图所示，由受力平衡知:AtZ建1'T对A：Tcos0-f1=0 N.1-G1-Tsin0又f=PN1联立得到：Tcos0==〃(G1+Tsin0)H%

cos0-Hsin0f1=Tcos0 N1=G1+Tsin0第1页共14页

对B：Ff心=0 N2-N1-G2=0联立得到：F=f1+n（N1+G2）本题考查受力平衡的问题，分别以两个物体为研究对象，分析受力情况，建立直角坐标系后分解（或者采用先整体后隔离）解得：F=850N本题考查受力平衡的问题，分别以两个物体为研究对象，分析受力情况，建立直角坐标系后分解（或者采用先整体后隔离）B.F2B.F2D.12(F1-F【答案】C不在坐标轴上的力，列平衡式可得答案举一反三【变式1】如图所示，两个质量相同的物体A和B紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力F和F2，且F>F2,则A施于B的作用力的大小为（）A. F1【解析】设两物体的质量均为m，这两物体在〈和I的作用下,具有相同的加速度为〃二号,方向与F1相同。物体A和B之间存在着一对作用力和反作用力，设A施于B的作用力为N（方向与F1方向相同）。用隔离法分析物体B在水平方向受力N和I，根据牛顿第二定律有N-1"m・•・N二m”2=2（F1+F2）故选项C正确。第2页共14页

A.-Rmg B.-Rmg5 4【变式2】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是从mg，现用水平拉力FA.-Rmg B.-Rmg5 42匹r1 nF，AD.3rmg【答案】B【解析】以四个木块为研究对象，由牛顿第二定律得F=6ma绳的拉力最大时,m与2m间的摩擦力刚好为最大静摩擦力Rmg,以2m（右边的）为研究对象，则L c - - 3F—rmg=2ma,对m有Rmg-T=ma，联立以上三式得T=4rmgB正确。例2、质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内前进的距离为s。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F，受到地面的阻力为自重的k倍，所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角0保持不变。求：（1）拖拉机的加速度大小。（2）拖拉机对连接杆的拉力大小。（3）时间t内拖拉机对耙做的功。2s 1 一2s . 2s【答案】（1）一 （2）——［F—M（kg+—）］（3）［F—M（kg+—）］s12 cos0 12 12第3页共14页【解析】（1）拖拉机在时间t内匀加速前进s，根据位移公式2s …变形得a=— ②t2（2）要求拖拉机对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析，拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力T,根据牛顿第二定律TOC\o"1-5"\h\zF一kMg一Tcos0=Ma ③1 . 2s联立②③变形得 T=——[F一M（kg+—）] ④cos0 t2根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为T'=T=—[F一M（kg+竺）] ⑤cos0 t2拖拉机对耙做的功：卬=TScos0 ⑥联立④⑤解得卬=[F一M（kg+型）]s ⑦t2【总结升华】本题不需要用整体法求解，但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来，先求出耙对连杆的拉力，再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。类型二、正交分解在牛顿二定律中应用物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时，一般都要用正交分解法，在建立直角坐标系时，不管选哪个方向为x轴的正方向，所得的结果都是一样的，但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解。例3、下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为片37°（sin37°=3/5）的山坡。，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示。假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数〃1减小为3/8,B、C间的动摩擦因数〃2减小为0.5,A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2s末，B的上表面突然变为光滑，〃2保持不变。已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小g=10m/s2。求：（1）在0〜2s时间内A和B加速度的大小第4页共14页(2)A在B上总的运动时间【答案】(1)a1=3m/s2；a2=1m/s2；(2)4s【解析】(1)在0〜2s时间内，A和B的受力如图所示，其中f、N1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，f2、N2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示。由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得TOC\o"1-5"\h\zfl="N1 ⑴N1=mgcosQ ⑵f2="2N2 ⑶N2=N1+mgcos0 ⑷规定沿斜面向下为正方向。设A和B的加速度分别为由和a2，由牛顿第二定律得mgsin0-f1=ma1 (5)mgsin0-f2+f=ma2 (6)联立以上各式可得：a1=3m/s2 ⑺a2=1m/s2 ⑻第5页共14页(2)在t广2s时，设A和B的速度分别为匕和v2,则匕=a1t1=6m/sv2=a212=2m/st>11时，设A和B的加速度分别为a1和a2'。此时A与B之间的摩擦力为零，同理可得a1‘=6m/s2a2'=-2m/s2即B做减速运动。设经过时间t2,B的速度减为零，则有v2+a212=0联立⑩⑫⑬式得12=1s在11+12时间内，A相对于B运动的距离为+—a't2)=12m<27m222(15)TOC\o"1-5"\h\zs=(1at2+vt+1a't2)-(1at2++—a't2)=12m<27m222(15)此后B静止不动，A继续在B上滑动。设再经过时间13后A离开B，则有l-s=(v+a't)t+—a't2 ⑯1 123 213可得13=1s(另一解不合题意，舍去) ⑰设A再B上总的运动时间为t总，有t总=2+t2+t3=4s ⑱(利用下面的速度图线求解，正确的，参考上述答案及评分参考给分)第6页共14页

举一反三【变式1】质量为m的物体放在倾角为a的斜面上，物体和斜面的动摩擦因数为R，如沿水平方向加一个力F，使物体沿斜面向上以加速度a做匀加速直线运动（如二八方图所示），则F为多少？▼质安、口」9+gsina+日gcosa）【合案】F ： cosa一日sina【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。（1）受力分析：物体受四个力作用：推力F、重力mg、支持力FN，摩擦力Ff。（2）建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为x轴正向，分解F和mg（如图所示）：（3）建立方程并求解【变式2】如图（a）质量m=1kg的物体沿倾角。=37。的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速=4第7页共■5T轴V的关系如图（b）所示。求:（1）物体与斜面间的动摩擦因数巴（2）比例系数k。（g=10m/s2sin53o=0.8，cos53o=0.6）【答案】（1）N=0.25（2）k=0.84kg/s【解析】（1）对初始时刻：mgsin0-^mgcos。=maQ由图读出a=4由图读出a=4m/s2代入。式，解得：日二gsin0-magcos00=0.25；（2）对末时刻加速度为零：mgsin0-日N-kvcos0=0Q又N又N=mgcos0+kvsin0由图得出此时v=5m/smg(sin0—ucos0)代入0式解得：k=V3sin0：cos0 =0.84kg/s。分解加速度:分解加速度而不分解力，此种方法一般是在以某种力或合力的方向为x轴正向时，其它力都落在两坐标轴上而不需再分解。例4、如图所示，电梯与水平面间夹角为30o,当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的6/5,人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？ .二、'f（摩擦【答案】FN=曰mgf（摩擦【解析】对人受力分析：重力mg，支持力FN，摩擦力力方向一定与接触面平行，由加速度的方向推知f力方向一定与接触面平行，由加速度的方向推知f水平向右）。建立直角坐标系：取水平向右（即F的方向）为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向（如图），此时只需分解加速度，第8页共14页

其中a=acos30其中a=acos30ox方向：f=ma-macos30o ①Xy方向:又FnF-mg-ma-masin30y方向:又Fn6 ,v3-5mg③ 解①②③得f--mg。【总结升华】应用分解加速度这种方法时，要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解，如果还有其它力需要分解，应用分解加速度方法就没有意义了。例5、某科研单位设计了一空间飞行器，飞行器从地面起飞时，发动机提供的动力方向与水平方向夹角a-60o，使飞行器恰沿与水平方向成。-30o角的直线斜向右上方匀加速飞行。经时间t后，将动力的方向沿逆时针旋转60°同时适当调节其大小，使飞行器依然可以沿原方向匀减速飞行，飞行器所受空气阻力不计。求：（1）t时刻飞行器的速率；⑵整个过程中飞行器离地的最大高度。【答案】（1）V-gt（2）H-3gt24【解析】（1）沿运动方向和垂直运动方向建立坐标系沿运动方向： Fcos30。—mgsin30。-ma （1）垂直运动方向： Fsin30。—mgcos30。=0 （2）解（1）（2）得F=33mg a=gt时刻飞行器的速度 v-at得v=gt（2）逆转后垂直运动方向：F'垂直运动方向：F'=mgcos30。（3）第9页共14页沿运动方向：mgsin30°=ma' （4）求得尸求得尸二得mg经过时间t'速度减为零 a't'=v 求得t'=21■■,1 1 3离地最大高度：H=(-at2+at2)sin300=gt22 2 4用合成法（平行四边形定则）求解： 图形如图所示，解析略。用合成法（平行四边形定则）求解： 图形如图所示，解析略。类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用例6、如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速在动摩擦因数为g的水平地面上做匀减速运动，不计其它外力及空气阻力，则其中一个质量为m的土豆A受其它土豆对 . 它的总作用力大小应是（） '；A.mg B.rmg箱子在水平面上向右做匀减速运动，加速度方向向左，其中一个质量为m的土豆，合力大小为ma，方向水平向左，一个土豆受重力，把其它土豆对它的总作用力看成一个力F，二力不平衡，根据合成法原理，第10页共14页

作出力的平行四边形，可知F是直角三角形的斜边，F=式mg)2+(ma)2=，(mg)2+(m旦g)2=mgV1+R2所以c正确。【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题，用合成法解题，把力学问题转化为三角、几何关系问题，很简捷。举一反三A.沿斜面向上B.沿斜面向下C.垂直斜面向上DA.沿斜面向上B.沿斜面向下C.垂直斜面向上D.竖直向上【答案】C作出力的平行四边形分析F的方向，垂直斜面向上。例7、如图所示，质量为0.2kg的小球A用细绳悬挂于车顶板的O点，当小车在外力作用下沿倾角为30°的斜面向上做匀加速直线运动时，球A的悬线恰好与竖直方向成30°夹角。g=10mzs2,求：(1)小车沿斜面向上运动的加速度多大？(2)悬线对球A的拉力是多大？(3)若以(1)问中的加速度向下匀加速，则细绳与竖直方向夹角6=?【答案】(1)10m/s2 (2)2c3N (3)600【解析】解法一：用正交分解法求解(1)(2)A受两个力：重力mg、绳子的拉力T,根据牛顿第二定律列出方程沿斜面方向： Tcos30。—mgsin30。=ma(1)第11页共14页

（2）垂直于斜面方向： Tsin30。=mgcos30。（2）解得T=2\3N,a=10m/s2解法二：用合成法求解小球只受两个力作用且二力不平衡，满足合成法的条件。拉力与竖直方向成30。角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为30竖直方向成30。角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为30。角，合力大小为ma，如图，三角形为等腰三角形，所以：ma=mg，由几何关系得拉力T=2mgcos30。=2<3Na=g=10m/s2（3）用合成法求解小车匀加速向下运动，小球向上摆动，设细线与竖直方向夹角为9，竖直向下的重力加速度为g,沿斜面向下的加速度为a=10m/s2=g,从图中几何关系可看出二者的夹角为60。,则细线的方向与它二者构成一个等边三角形,即细线与竖直方向夹角。=60。。【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往已知合力方向，关键是正确做出力的平行四边形。例8、如图所示，一质量为0.2kg的小球用细绳吊在倾角为片53o的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦。求下列几种情况下下，绳对球的拉力T：（1）斜面以5m/s2的加速度水平向右做加速运动；（2）斜面以10m/s2的加速度水平向右做加速运动;（3）斜面以10m/s2的加速度水平向右做减速运动;【答案】（1）T=2.2N,N1=0.4N（2）N2=0T=2.83Na=45。第12页共14页

(3)T=0.4N,N3=2.8N【解析】斜面由静止向右加速运动过程中，当〃较小时，小球受到三个力作 用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减小，当a增大/:到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，广二-此时绳与水平方向的夹角将会大于。角。而题中给出的斜面向右的加速度 5."a=5m/s2，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。mgcot9=ma 代入数