南京工程学院 计算方法复习提纲

nk=0j=nk=0j=0j丰k例题：x0=-3 x1=0x2=3y0=-1 y1=2y2=-2的拉格朗日插值公式为：1)能写出拉格朗日插值多项式p二工(FIP3(x)=(x—0)(x—3)(x—6)

(—3—0)(—3—3)(—3—6)x(—1)+(x+3)(x—3)(x—6)(0+3)(0—3)(0—6)x2算法是对解题方案的准确而完整的描述•是构造性的数值方法。计算误差计算有效数字的方法。如：x~2.71828,那么x具有的有效数字是6位有效数字。若a=1.5321,b=0.056,c=986.6是经过四舍五入后得到的近似值，a+b+c的误差是0.00005+0.0005+0.05=0.05055,aXb的误差是|0.00005Xb|+|0.0005Xa|=0.00076885。a+b的误差是(|0.00005Xb-0.0.0005Xa|)Fb2=0.24338329误差计算的原则：避免让极大和极小两个数相加,避免两个相近的数相减,应选用数值稳定的计算公式或计算过程,尽量简化计算过程,减少计算步骤和运算次数。插值方法x—xj)y，并且会用它计算。x—xkkjx3=6y3=10((x+3)(x—0)(x—6)(3+3)(3—0)(3—6)x10x(—2)+(x+3)(x—0)(x—3)x10(6+3)(6—0)(6—3)2)能写出拉格朗日插值余项公式f(x)—P(x)二f("普)Tf(x—x)，并计算(n+1)! kk=0例如：函数f(x)=x4-2x3在结点x=-1,x=1,x=3,x=4,的拉格朗日插值余项公式为0 1 2 3f(x)-P(x)=(x+1)(x-1)(x-3)(x-4)3求方程根掌握两分法的计算方法迭代过程x =p(x)(k=1,2,...)收敛的充要条件是b'(x)|<1k+1 k能写出方程的收敛迭代格式收敛速度e第k轮迭代的迭代误差为e，如果—=c,C为不等于0的常数，则迭代过程是p阶收k epkee敛的。p=1时为线性收敛。卄=b'(x*), =b''(x)，所以当b'(x*)丰0时，线性收e e2 kkk敛。当b'(x*)=0,b''(x*)丰0时，平方收敛。例题：设有解方程X-COSx=0的迭代法x=cosx,xMOn+1n证明对于任意的x上述迭代格式均收敛。(5分)O此迭代的收敛阶是多少？试证明你的结论。(5分)证明：1)证明：因迭代函数申(x)=Cosx,申'(x)=-Sinx,而对一切x,均有：『(x)|<1故迭代过程收敛。(2)因p'(x)二—sinx,”'(x*)|=|—sinx*丰0，此迭代格式只具有线性收敛性。加速迭代格式x二申(x)k+1 k1——Lx二x—xk+1 1—Lk+1 1—Lk牛顿迭代格式对于方程f(x)二0，牛顿迭代格式为x =x—f\：k)，牛顿迭代格式在单根x*具有平K+1 k f'(x)k方收敛性。收敛性和收敛速度的证明同2)3).数值积分能理解拉格朗日插值公式来源的基本思路。包括线性插值，抛物前插值的基本思路。如果有n个插值点，那么插值点间距h等于积分区间除以n。6.1)梯形公式T=ff(x)dx=丄2殳［f(a)+f(b)］，a复化梯形公式T=ff(x)dx=?[f(a)+f(b)+2艺f(x)]TOC\o"1-5"\h\zn 2 ka k=1b—a[a,b]中划分了n个子段，h为字段[x,x]的长度，h=—kk+1 n其误差与步长的平方成正比。2)辛甫生公式S=ff(x)dx=b—a[f(a)+4f(a+b)+f(b)]62a复化辛甫生公式S=ff(x)dx=-[f(a)+4艺f(x)+2艺f(x)+f(b)]n6 k+1 ka k=0 k+2 k=1b—a[a,b]中划分了n个子段，h为子段[x,x]的长度，-= ，x为子段[x,x]的kk+1 n 債丄 kk+1k十中点。其误差与步长的四次方成正比3)四阶牛顿-科特斯公式ab-a~90~[7f(Xab-a~90~[7f(X0)+32f(X1)+12f(X2)+32f(x3)+7f(X4)]其中x=a,x=b,04X1X2X3是内等分点。复化科特斯公式90[7f(艺f(x)+12艺90[7f(艺f(x)+12艺f(x)+32艺f(x)+1挖f(xk=0k+ k+ k+4 k=0 2 k=0 4b-a,n其中［a,6中划分了n个子段’h为子段比，x」的长度，h=k+1k=0k)+7f(b)]子段［xk,xk+1］被四等分，内分点为x，k+丄4x，k+12其误差与步长的6次方成正比。4）龙贝格公式S=4T--T,C=16Sn32n3nn152n-15=64C-—C632n63nsinx例题：把区间［0,1］分为8等份，列出函数F（X）= 各结点处的函数值如下表:xX00.1250.250.3750.5f(x)1.00000000.99739790.98961580.97672670.9588511X0.6250.750.8751f(x)0.93615560.90885170.87719260.84147101） 用复化梯形法计算积分的近似值。（5分）2） 用复化柯特斯法计算积分的近似值。（5分）答:(1)T=「f(x)dx=h[f(a)+f(b)+艺f(x)]n 2 ka k=10.125=—^[1.0000000+2X(0.9973979+0.9896158+0.9767267+0.9588511+0.9361556+0.9088517+0.8771926)+0.8414710]=0.9456908(2)C=h[7f(a)+32艺f(x )+12艺f(x )+32艺f(x )+14迟f(x)+n90 、' k+丄 k+丄 k+3 kk=0 k4 k=0 k2 k=0 k4 k=10.57f(b)] =莎[7X1.0000000+32X0.9973979+12X0.9896158+32X0.9767267+14X0.9588511+32X0.9361556+12X0.9088517+32X0.8771926+7X0.8414710]=0.9460829

例如：y'=X2-y2,y(0)=l,h=0.2的欧拉迭代格式是y=y+0.2x(x2-y2),n+1 n n ny=1,x二000像欧拉法和改进的欧拉法这样的计算公式在计算yi+i时,只用到耳，而不直接依赖于yi1,yi-2等，即在后一步的计算中，只用到前一步的计算结果，而不利用更前各步的结果，具有这一特征的方法叫做一步法。所谓多步法，即在计算yi+1时，不仅直接利用到屯，而且还要用到yi1，yi2等。改进的欧拉公式y二y+hf(x,y)n+1 n nn< h ——y=y+-[f(x,y)+f(x,y)]n+1 n2 nn n+1n+1像隐式的欧拉格式y二y+-f(x,y)这样右端也含有未知的y，实际上是一n+1 n n+1n+1 n+1个关于y的函数方程，这类格式称为是隐式的。n+1Euler公式是显式公式。改进的欧拉公式是显式公式。四阶龙格-库塔公式是显式公式(1分)。解方程组简单迭代法高斯-塞德尔迭代法例题：4x+例题：4x+2x=163：+7x2=22的简单迭代格式为12216x(k+1)= x(k)+ -1 42 43 22x(k+1)=—x(k)+ -2 71 7216x(k+1)=—x(k)+—1424322x(k+1)=——x(k+1)+-2717高斯-塞德尔迭代格式为例题：10x+2x+5x=21 2 4x+9x+2x-4x=0<1 2 3 43x-4x+8x=1123x+2x-x+6x=81 2 3 4的简单迭代为252x(k+1)=— x(k)— x(k)+-102 104 10124x(k+1)=一一x(k)-x(k)+x(k)91 93 94341x(k+1)=——x(k)+x(k)+81 82 81218x(k+1)=——x(k)—x(k)+x(k)+61 62 63 6高斯-塞德尔迭代格式：252x(k+1) ,-X(k)———X(k)+—110210410_124X(k+1) X(k+1)——X(k)+—X(k)2<919394_341X(k+1)