计算方法第二章数值积分

计算方法第二章数值积分第1页，共46页，2023年，2月20日，星期二引言依据微积分基本定理,只要找到被积函数的原函数，，

便有牛顿-莱伯尼兹公式

由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。牛顿(Newton,1643年-1727)

莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年）第2页，共46页，2023年，2月20日，星期二数值求积的基本思想1依据积分中值定理，

就是说，底为而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。

第3页，共46页，2023年，2月20日，星期二数值求积的基本思想2依据积分中值定理，

就是说，底为而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。

取内若干个节点处的高度，通过加权平均的方法生成平均高度，这类求积公式称机械求积公式：

式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点的权。重要第4页，共46页，2023年，2月20日，星期二代数精度的概念1数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。如果机械求积公式对均能准确成立，但对不准确，则称机械求积公式具有次代数精度。

重要第5页，共46页，2023年，2月20日，星期二代数精度的概念2第6页，共46页，2023年，2月20日，星期二代数精度的概念3第7页，共46页，2023年，2月20日，星期二代数精度的概念4数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。如果机械求积公式对均能准确成立，但对不准确，则称机械求积公式具有次代数精度。事实上，令求积公式对准确成立，即得可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。m=n时,存在唯一解.第8页，共46页，2023年，2月20日，星期二插值型的求积公式设已给在节点的函数值，作插值多项式

其中

由于多项式的求积是容易的，令

这样得到的求积公式称为插值型的求积公式，其求积系数为定理

机械求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。重要第9页，共46页，2023年，2月20日，星期二定理的证明第10页，共46页，2023年，2月20日，星期二第11页，共46页，2023年，2月20日，星期二第12页，共46页，2023年，2月20日，星期二3.2牛顿－柯特斯公式设分为等份，步长，取等分点

构造出的插值型求积公式（其中）称作阶牛顿－柯特斯公式(Newton-Cotes)。Cotes系数与a,b无关.第13页，共46页，2023年，2月20日，星期二牛顿－柯特斯公式2设分为等份，步长，取等分点

构造出的插值型求积公式（其中）称作阶牛顿－柯特斯公式。一阶和二阶牛顿－柯特斯公式分别是梯形公式,柯特斯系数见P.61,8阶柯特斯系数中有负数.和辛甫生公式四阶牛顿－柯特斯公式，也称为柯特斯公式：重要第14页，共46页，2023年，2月20日，星期二第15页，共46页，2023年，2月20日，星期二几种低阶求积公式的代数精度阶的牛顿－柯特斯公式至少有次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得“额外”的好处，它们分别有3次和5次代数精度。因此，在几种低阶的牛顿－柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。第16页，共46页，2023年，2月20日，星期二几种低阶求积公式的余项1第17页，共46页，2023年，2月20日，星期二几种低阶求积公式的余项2第18页，共46页，2023年，2月20日，星期二几种低阶求积公式的余项利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项：利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项：

另外，我们可以得到如下柯特斯公式的积分余项：第19页，共46页，2023年，2月20日，星期二复化求积公式在使用牛顿－柯特斯公式时，通过提高阶的途径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精度，一种行之有效的方法是复化求积。类似于等距离分段插值.将分为等份，步长,分点所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每个子段上的积分值，然后用作为积分的近似值。复化梯形公式有如下形式：其余项为：第20页，共46页，2023年，2月20日，星期二复化求积公式2第21页，共46页，2023年，2月20日，星期二复化求积公式的截断误差第22页，共46页，2023年，2月20日，星期二第23页，共46页，2023年，2月20日，星期二梯形法的递推化实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往往很困难，所以我们往往采用变步长的计算方案，即在步长逐步分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。设表示复化梯形求得的积分值，其下标是等分数，由此则有递推公式其中，第24页，共46页，2023年，2月20日，星期二梯形法的递推化2第25页，共46页，2023年，2月20日，星期二第26页，共46页，2023年，2月20日，星期二梯形法的加速梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓慢。如何提高收敛速度以节省计算量呢？

由复化梯形公式的截断误差公式可得，整理得，

这可以作为事后误差估计.同时由此可知，

这样导出的加速公式是辛甫生公式：第27页，共46页，2023年，2月20日，星期二龙贝格算法1第28页，共46页，2023年，2月20日，星期二龙贝格算法2我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值逐步加工为精度较高的积分值：或者说将收敛缓慢的梯形值序列加工成收敛迅速的积分值序列，这种加速方法称为龙贝格算法。第29页，共46页，2023年，2月20日，星期二龙贝格算法3第30页，共46页，2023年，2月20日，星期二作业第31页，共46页，2023年，2月20日，星期二第32页，共46页，2023年，2月20日，星期二高精度的求积公式不失一般性，设，考虑下列求积公式,有n个系数和n个节点.

我们将会看到，适当选取系数和求积节点可以使上述求积公式具有次代数精度，这种高精度的求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。Gauss(1777-1855)是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家,有“数学王子”之称。高斯最出名的故事就是他十岁时，计算算术题：1＋2＋3…＋100＝？。Gauss在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。第33页，共46页，2023年，2月20日，星期二物理学家、数学家卡尔·弗里德里希·高斯

高斯（JohannCarlFriedrichGauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家之一，有数学王子的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。

高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。

第34页，共46页，2023年，2月20日，星期二

高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

1792年，15岁的高斯进入Braunschweig学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(LawofQuadraticReciprocity)、“质数分布定理”(primenumertheorem)、及“算术几何平均”(arithmetic-geometricmean)。

1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。5年以后，高斯又证明了形如"Fermat素数"边数的正多边形可以由尺规作出。

1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。第35页，共46页，2023年，2月20日，星期二高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上日本元福泽谕吉，近代启蒙思想家和教育家。明治维新时期的日本重要大臣。日本元新渡户稻造，大教育家，农学家。名著——《武士道》,”东京大学预备校“一高”的校长、东京女大的首任校长。第36页，共46页，2023年，2月20日，星期二Gauss公式1第37页，共46页，2023年，2月20日，星期二Gauss公式2第38页，共46页，2023年，2月20日，星期二高斯点的基本特性尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。设是求积公式中的高斯点，令则有如下结论：定理

节点是高斯点的充分必要条件是多项式