第五章IIR数字滤波器理论和设计

第五章IIR数字滤波器理论和设计第一页，共45页。主要内容5.1IIR滤波器简介5.2脉冲响应不变法ImpulseInvariance

5.4原型变换法Analog-DigitalTransformation

5.3双线性变换法BilinearTransformation2023/4/172第二页，共45页。数字滤波器的设计过程滤波器设计的三个步骤(basicsteps)：分析设计需求：滤波器类型/基本参数(specification)

（1）低通/高通/带通/带阻（2）边界频率/通带和阻带衰减（3）通带纹波特性利用因果稳定系统函数逼近设计需求，这种传递函数分为IIR和FIR传递函数通过有限精度的运算实现该系统函数2023/4/173第三页，共45页。5.1IIR数字滤波器的设计方法一个N阶IIR数字滤波器的系统函数：H(z)的设计目的：确定系数ai和bi或零极点ci和di，从而保证滤波器满足设计需求。IIR数字滤波器系统函数的三种设计方法：零极点位置累试法利用模拟滤波器的理论利用优化技术设计2023/4/174第四页，共45页。数字滤波器基本技术指标phase-frequencyAmplitude-frequency输入信号各频率成分的衰减输入信号各频率成分在时间上的延时

过渡带通带阻带3dB通带截止频率通带内最大衰减阻带内最小衰减归一化后：2023/4/175第五页，共45页。2023/4/176第六页，共45页。单位圆内的极点频谱中的峰值单位圆内的零点频谱中的谷值1滤波器设计方法（1）简单滤波器零极点位置累试法频响的几何表示法GeometricevaluationPole-zerodiagram

2023/4/177第七页，共45页。模拟滤波器的设计方法：简单严格的设计公式设计参数已表格化可以利用设计软件（2）利用模拟滤波器的理论设计原理：设计需求AF的Ha(s)DF的H

(z)常用方法：脉冲响应不变法双线性变换法ImpulseInvarianceBilinearTransformation2023/4/178第八页，共45页。（3）利用优化技术设计Optimization循环尝试的方法进行参数设置最优化准则运算量大直接型、级联型2023/4/179第九页，共45页。2用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则（1）S平面的虚轴

j映射到z平面的单位圆上ejw

上（频响模拟：Ha(s)H(z)）（2）Ha(s)的因果稳定性经映射后H(z)仍保持，即：s平面左半平面Re[s]<0（模拟域因果稳定条件）

映射到z平面单位圆内|z|<1（数字域因果稳定条件）

。2023/4/1710第十页，共45页。5.2脉冲响应不变法（时域方法）时域采样定理的应用SamplingTheorem1.变换关系

ImpulseInvariantMethod使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值，即：h(n)=ha(t)|t=nT若已知模拟滤波器的转移函数Ha(s)，则所求数字滤波器的系统函数为：h(n)=[L-1[(Ha(s)]|t=nT]2023/4/1711第十一页，共45页。2.数字滤波器与模拟滤波器频响的关系DF的频响是AF频响的周期延拓。若AF的频响是带限的，且:此时DF的频响才能不失真地恢复AF频响。脉冲响应不变法的频率坐标变换是线性的，变换不改变线性特性。

实际模拟滤波器的频响是非带限的频谱混叠

为了减小失真，应减小T，提高折叠频率2023/4/1712第十二页，共45页。3.脉冲响应不变法的改进Improvement为了减小失真，应减小T，但DF的增益会很大：故，采用下式修正：4.脉冲响应不变法的适用范围

（1）为了减小混叠，折叠频率处衰减要大低通、带通（2）模拟滤波器传递函数Ha(s)是单阶极点，且分母阶次高于分子阶次。（用部分分式表达传递函数）2023/4/1713第十三页，共45页。数字滤波器的系统函数模拟滤波器S平面的极点数字滤波器z平面的极点2023/4/1714第十四页，共45页。Z平面与S平面的映射关系系统稳定的条件2023/4/1715第十五页，共45页。脉冲响应不变法的特点（a）能够保持模拟滤波器的时域瞬态信号（b）线性的数字频率和模拟频率关系（c）Ha()必须在上严格带限，否则数字频域内将出现混叠失真。注意：Ha()不严格带限或ha(t)变化不平稳，而设计要求高时，则不宜采用此方法。另外，此方法不能直接设计高通和带阻滤波器。2023/4/1716第十六页，共45页。Z平面与S平面的映射关系：多值映射系统稳定的条件2023/4/1717第十七页，共45页。5.3双线性变换法BilinearTransformation（1）基本思想：AF的Ha(s)DF的H

(z)一般模拟滤波器的基本单元是积分器1/s。设法利用某种数字网络来代替此基本单元。2023/4/1718第十八页，共45页。脉冲响应不变法缺点：频谱混叠采用非线性频率压缩方法，将整s平面压缩到窄带s1范围内。正切变换s平面虚轴压缩到s1平面的虚轴。2023/4/1719第十九页，共45页。Imageoflefthalfplanes-平面与z-平面之间的映射关系双曲正切双线性变换关系AFDF2023/4/1720第二十页，共45页。（2）相位变换的非线性关系drawback2023/4/1721第二十一页，共45页。双线性变换时的频率非线性变化频率的畸变可以通过预畸来加以校正2023/4/1722第二十二页，共45页。（3）Z平面与S平面的映射关系只考虑S平面的虚轴与z平面单位圆的映射关系一一对应不存在频域混叠失真非线性关系相频特性失真2023/4/1723第二十三页，共45页。（4）双线性变换法的特点Features（a）变换后无频率混叠失真，对Ha()无带限要求；（b）非线性的数字频率和模拟频率关系；（c）设计简单，可直接代换；（d）频率的畸变可以通过预畸来加以校正；滤波器瞬态响应impulseinvariance

其他情况bilineartransformation2023/4/1724第二十四页，共45页。（5）使用模拟滤波器设计数字滤波器基本步骤确定技术指标技术指标转换：数字模拟

脉冲响应不变法：=T

双线性变换法：实现模拟滤波器设计将模拟滤波器数字滤波器2023/4/1725第二十五页，共45页。脉冲响应不变法双线性变换法2023/4/1726第二十六页，共45页。5.4原型变换常见滤波器的理想幅频特性原型变换：模拟低通滤波器各种类型数字滤波器原型滤波器——模拟低通滤波器2023/4/1727第二十七页，共45页。1.变换方法（1）低通变换步骤：确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率值{k}。由变换关系将{k}映射到模拟域，得出AF的临界频率{k}。按照临界频率值{k}设计模拟滤波器传递函数Ha(s)。通过变换将Ha(s)转换为数字滤波器的H(z)。2023/4/1728第二十八页，共45页。例：采样周期T=250us，要求用双线性变换法设计一个三阶巴特沃斯低通滤波器，其3dB截止频率为fc=1KHz。解：已知巴特沃斯滤波器传递函数为：第一步：临界数字频率第二步：临界模拟频率第三步：求Ha(s)，N=3，c=1第四步：求H

(z)2023/4/1729第二十九页，共45页。（2）高通、带通、带阻变换

a.设计方案模拟原型模拟高通、带通、带阻数字HP,BP,BS模拟原型数字高通、带通、带阻b.具体变换截止频率为1(rad/s)的低通滤波器转换成一个LPF/HPF/BPF/BSF的变换Ha(s)Ha(s1)H

(z)低通低通低通高通低通带通低通带阻频率变换2023/4/1730第三十页，共45页。2）直接变换

低通变换映射关系2023/4/1731第三十一页，共45页。2）直接变换

高通变换映射关系高通是低通频率关系的倒置2023/4/1732第三十二页，共45页。

高通原型变换2023/4/1733第三十三页，共45页。2）直接变换

带通变换变换关系映射关系2023/4/1734第三十四页，共45页。2）直接变换

带阻变换变换关系映射关系带阻是带通频率关系的倒置2023/4/1735第三十五页，共45页。3）Z-plane变换法同属原型变换法由数字低通原型滤波器设计各种所需的数字滤波器。从映射的角度看，原型数字低通滤波器的系统函数H1(z)所需数字滤波器的系统函数Hd(Z)从一个z平面另一个Z平面从一个因果稳定系统另一个因果稳定系统2023/4/1736第三十六页，共45页。滤波器的变换公式和设计公式（NextPage）映射要遵循的原则：保持稳定性，由一个平面的单位园内到另一个平面的单位园内。频响特性满足一个要求，由一个平面的单位园上映射到另一个平面的单位园上。实际上是单位园上的旋转如：低通高通就是旋转2023/4/1737第三十七页，共45页。低通低通低通高通低通带通低通带阻参数的确定g(z-1)变换关系2023/4/1738第三十八页，共45页。数字滤波器的变换低通高通、带通和带阻2023/4/1739第三十九页，共45页。5.5模拟滤波特性的逼近DF指标AF技术指标AF系统函数DF系统函数滤波器的特性实际特性是对理想特性的逼近典型逼近：巴特沃斯逼近切比雪夫逼近椭圆逼近2023/4/1740第四十页，共45页。三种低通滤波特性的逼近巴特沃斯逼近切比雪夫逼近椭圆逼近2023/4/1741第四十一页，共45页。三种滤波器的比较幅频特性：

巴特沃斯—整个频带内单调下降；切比雪夫—通带内等纹波振动，过渡带/阻带单调下降；椭圆—除过渡带外，通带和阻带都等纹波振动过渡带特性：

巴特沃斯—最差；（相同条件下，阶数最高）切比雪夫—居中；椭圆—最陡；（相同条件下，阶数最低）设计复杂性和参数敏感性：巴