P1模糊推理与模糊逻辑控制

P1模糊推理与模糊逻辑控制第一页，共215页。参考书目孙增忻

智能控制理论与技术

清华大学出版社章为国

模糊控制理论与应用

西北工业大学出版社张曾科

模糊数学在自动化技术中的应用

西安电子科技大学出版社

李人厚智能控制理论和方法

西安电子科技大学出版社

第二页，共215页。1预备知识

1.1模糊集合的概念

第三页，共215页。模糊集合的特点不同于普通集合主观性

特征函数

第四页，共215页。模糊集合的特点设给定论域(非空集)U和一个资格函数把U中每个元素x和区间[0,1]中的一个数结合起来。以表示x在A中的资格的等级。此处的A即所谓U的一个模糊集合（模糊子集）,而相当于普通集合的特征函数，不过其取值不再是0和1，而是扩展到中[0,1]的任一数值。

第五页，共215页。1.1定义

所谓给定论域(非空集)U上的一个模糊集合A，是指对任何都有一个数与之对应，并称之为x属于模糊集合A的隶属程度；即指的是映射而映射称为A的隶属度函数。第六页，共215页。模糊集合的表示方法

第七页，共215页。例1模糊集合“大苹果”第八页，共215页。例2“年轻”和“年老”的隶属度函数第九页，共215页。1.1.2模糊集合的有关名词术语台集合、支集

截集强截集弱截集

第十页，共215页。有关名词术语（续）正则模糊集合核第十一页，共215页。有关名词术语（续）分界点、交叉点

凸模糊集合单点模糊集合模糊集合的台集合仅为一个点，且第十二页，共215页。图解1第十三页，共215页。图解2第十四页，共215页。1.1.3隶属度函数（MF）一维隶属度函数

第十五页，共215页。三角形

第十六页，共215页。梯形

第十七页，共215页。高斯型

第十八页，共215页。钟形

第十九页，共215页。第二十页，共215页。钟形第二十一页，共215页。二维隶属度函数

论域：积空间隶属度函数

类型：复合式非复合式

第二十二页，共215页。二维隶属度函数例第二十三页，共215页。二维隶属度函数例(复合式)

（x,y)接近（3,4)第二十四页，共215页。二维隶属度函数例(非复合式)（x,y)接近（3,4)第二十五页，共215页。1.2模糊集合的运算

第二十六页，共215页。1.2.1基本运算

与模糊推理有关的重要运算交集

并集

第二十七页，共215页。基本运算（续）与模糊推理有关的重要运算直积

第二十八页，共215页。基本运算（续）相等包含空集补集第二十九页，共215页。交集、并集、补集图解第三十页，共215页。1.2.2基本运算的性质

与模糊推理有关的重要性质

分配律

结合律

第三十一页，共215页。基本运算的性质(续)与普通集合不同的性质x排中律x矛盾律第三十二页，共215页。1.2.3其他运算

与模糊推理有关的重要运算

代数积

第三十三页，共215页。1.2.4更一般的模糊基本运算二个模糊集合A和B的“交”可以一般地用函数来确定，它将两个隶属度函数按下式进行集结第三十四页，共215页。T-范式（三角范式）算子

是函数T的二元算子。这种模糊交算子被称作T-范式（三角范式）算子，满足以下要求：T(0,0)=0,T(a,1)=T(1,a)=a （有界）T(a,b)≤

T(c,d)

a≤

candb≤

d （单调性）T(a,b)=T(b,a) （交换性）T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c) （结合性）第三十五页，共215页。最常用的T-范式算子交（极小）代数积有界积强积第三十六页，共215页。最常用的T-范式算子数学上可以证明第三十七页，共215页。最常用的T-范式算子第三十八页，共215页。更一般的模糊并的运算一般的模糊并可以由函数来确定，表示为

是函数S的二元算子。这种模糊并算子被称作T-协范式（协三角范式）或S范式，满足以下四个基本条件：第三十九页，共215页。S范式

S范式S(1,1)=1,S(a,0)=S(0,a)=a （有界）S(a,b)≤

S(c,d)a≤

c

andb≤

d （单调性）S(a,b)=S(b,a) （交换性）S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c) （结合性）

第四十页，共215页。最常用的S-范式算子并（极大）代数和有界和强和第四十一页，共215页。最常用的S-范式算子数学上可以证明第四十二页，共215页。最常用的S-范式算子第四十三页，共215页。更一般的模糊补的运算一般的模糊补可以由函数来确定，它满足以下基本要求：N(0)=1,N(1)=0 (有界)N(a)≥N(b),ifa≤

b (单调性)N(N(a))=a (对和)第四十四页，共215页。两种常见的模糊补的运算第四十五页，共215页。修正运算一般的修正运算第四十六页，共215页。常见的修正运算压缩(Concentrantion)：k=2扩张(Dilation)：k=0.5人为修正：k为任意值第四十七页，共215页。1.3模糊关系

精确关系：二个或二个以上的集合（普通集合）元素之间关联、交互或互连是否存在。模糊关系：二个或二个以上的集合（普通集合）元素之间关联、交互或互连存在或不存在的程度。

第四十八页，共215页。1.3.1定义

n元模糊关系是定义在多维空间上的模糊集合，可表示为第四十九页，共215页。1.3.2二元模糊关系

令X和Y是两个论域，则模糊关系是空间的模糊集合，可表示为：

当论域为离散且为有限集合时，二元模糊关系可以用矩阵表示。

第五十页，共215页。例“y比x大得多”的模糊关系第五十一页，共215页。例“子女与父母长得相似”的模糊关系第五十二页，共215页。几种特殊的模糊关系逆模糊关系恒等关系第五十三页，共215页。几种特殊的模糊关系零关系全称关系（universerelation）第五十四页，共215页。论域为离散有限集合时

特殊的模糊关系表示第五十五页，共215页。1.3.3模糊关系的合成运算

定义

设X、Y、Z为论域，R是X到Y一个模糊关系，S是Y到Z的一个模糊关系，则R到S的合成T也是一个模糊关系，记为，其隶属度函数为

第五十六页，共215页。supSupremum上确界[数学分析]考虑一个实数集合M,如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。

在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。

上确界原理：“任何有上界的实数集合必存在上确界”。第五十七页，共215页。合成运算运算被称为sup-star运算。当论域为离散时，sup运算就变为极大（MAX）运算。第五十八页，共215页。常用的星运算交代数积第五十九页，共215页。合成运算的性质合成运算的性质模糊控制常用的重要性质第六十页，共215页。合成运算例R＝“ｘ与ｙ有关系”，Ｓ＝“ｙ与ｚ有关系”，求Ｔ＝“ｘ与ｚ有关系”。第六十一页，共215页。例（续）第六十二页，共215页。例（续）第六十三页，共215页。2模糊推理

2.1蕴涵关系

第六十四页，共215页。2.1.1语言变量

语言变量由一个5元组（x,T(x),U,G,M）表示x：变量的名称U：论域

T(x)：语言变量值的集合，每个语言变量值是定义在论域U上的一个模糊集合G：语法规则，用以产生语言变量x的值的名称M：语义规则，用于产生模糊集合的隶属度函数

第六十五页，共215页。2.1.2蕴涵关系（隐含关系）

概念（if—then规则）IfxisAthenyisB被称为模糊规则、模糊蕴涵、模糊隐含或模糊条件语句。式中A和B是语言变量值，分别由X和Y中的模糊集合确定。可以简化为。

第六十六页，共215页。蕴涵关系前件（前提）：xisA后件（结论）：yisB描述了变量x与y之间的关系，可以把“if—then”规则定义为乘积空间的二元模糊关系。

第六十七页，共215页。2.1.3运算方法

解释为“A与B相关”解释为“A传递给B”

第六十八页，共215页。常用的算法（直积）

最小运算

积运算

第六十九页，共215页。蕴涵关系解释为“A与B相关”的算法1.2.第七十页，共215页。蕴涵关系解释为“A与B相关”的算法3.4.第七十一页，共215页。蕴涵关系解释为“A与B相关”的算法第七十二页，共215页。蕴涵关系解释为“A传递给B”的算法5.6.第七十三页，共215页。蕴涵关系解释为“A传递给B”的算法7.8.第七十四页，共215页。蕴涵关系解释为“A传递给B”的算法第七十五页，共215页。2.2模糊推理

假言推理：

前提1（事实）： x

isA前提2（规则）： ifxisA，thenyisB结果（结论）： y

isB

第七十六页，共215页。模糊推理

近似推理、广义假言推理前提1（事实）： x

isA’

前提2（规则）： ifxisA，thenyisB

结果（结论）

y

isB’其中A’接近于A，B’接近于B。A、B、A’和B’是特定论域中的模糊集合，可以用合成运算实现：

第七十七页，共215页。模糊推理定理0（单前提单规则）

蕴涵运算采用最小运算，合成运算采用MAX—MIN运算

第七十八页，共215页。定理0

是匹配度，在直觉上代表规则前提可信程度的一种度量

第七十九页，共215页。2.3多前提单规则（语句连接词“and”）

前提1： xisA’andyisB’前提2： ifxisAandyisB，thenzisC结论： zisC’

第八十页，共215页。多前提单规则前提1“xisA’andyisB’”可以看成是空间X×Y上的模糊集合“A×B”（直积）。规则可以转化为三元模糊关系。

第八十一页，共215页。模糊推理定理1（多前提单规则）第八十二页，共215页。定理1是激励强度

第八十三页，共215页。2.4多前提多规则（语句连接词“also”）

前提1： xisA’andyisB’前提2： ifxisA1andyisB1， thenzisC1前提3： ifxisA2andyisB2， thenzisC2结论： zisC’

第八十四页，共215页。模糊推理定理2（多前提多规则）第八十五页，共215页。定理2第八十六页，共215页。2.5模糊推理的步骤

计算兼容度（可信度、匹配度）

求激励强度求定性结果定性结果集结

第八十七页，共215页。3模糊控制器的基本原理

第八十八页，共215页。3.1模糊控制器的基本结构与组成

第八十九页，共215页。组成部分模糊化尺度变换精确的输入量变成模糊量

知识库

数据库：尺度变换因子、语言变量的隶属 度函数、模糊空间分级数规则库：经验与知识

第九十页，共215页。组成部分模糊推理机

清晰化模糊控制量转化为清晰量尺度变换

第九十一页，共215页。3.2模糊化

尺度变换模糊化

第九十二页，共215页。尺度变换将输入空间的观测量映射、变换到输入论域（模糊空间）变换的线性与非线性论域的连续与离散量化的均匀与非均匀

第九十三页，共215页。尺度变换例第九十四页，共215页。量化例第九十五页，共215页。模糊化

单点模糊集合：测量数据准确三角形模糊集合：误差其他形式

模糊推理与系统分析

第九十六页，共215页。3.3数据库

尺度变换因子输入输出空间的模糊分割模糊语言：负大、零、正大分割的方式：对称（非对称）、均匀（非均匀）

完备性：对于任意的输入，都能找到一个模糊集合，使该输入对于该模糊集合的隶属度函数不小于分割个数决定最大可能的模糊规则个数

第九十七页，共215页。数据库(续)模糊集合的隶属度函数

论域离散：数值描述法论域连续：函数描述法

形状的影响

控制的灵敏度：窄瘦－灵敏、宽胖－粗略平稳控制的误差：窄瘦－误差小、宽胖－误差大第九十八页，共215页。模糊分割图例第九十九页，共215页。3.4规则库

完备性：对于任意的输入应确保至少有一个可适用的规则，且规则的适用度应大于某一个数，如0.5一致性：规则不能相互矛盾

规则数：最大值：输入量的数量、模糊分级数

原则：在满足完备性的前提下，尽量减少规则数第一百页，共215页。规则库前后件的选择

输入量：取决于具体的应用，通常为误差输出量：控制量

规则建立

专家的经验和控制工程知识操作人员的经验控制对象的动态特性--模糊模型自学习

第一百零一页，共215页。规则库规则的类型

状态评估

前后件均为模糊量：

ifxisAiandyisBi，thenzisCi；also…

后件为清晰量：

ifxisAiandyisBi，thenz=fi（x，y）；also…

目标评估

第一百零二页，共215页。3.5模糊推理

MIMO系统

可以分解为多个独立的MISO系统

第一百零三页，共215页。模糊推理MISO系统－推理第一百零四页，共215页。模糊推理MISO系统－运算：直积（求交、求积）：最大－最小、最大－积：求交、求积

第一百零五页，共215页。3.6清晰化

将模糊推理得到的模糊量（后件）转化为清晰的输出量（控制量）尺度变换

第一百零六页，共215页。清晰化方法1最大隶属度法：

输出模糊量的隶属度函数只有一个峰值

第一百零七页，共215页。清晰化方法2最大平均隶属度法

第一百零八页，共215页。清晰化方法3中位数法（面积均分法）第一百零九页，共215页。清晰化方法4加权平均法（重心法）第一百一十页，共215页。清晰化方法5高度法

对每个规则对应的输出求重心加权平均

第一百一十一页，共215页。清晰化图例第一百一十二页，共215页。清晰化图例第一百一十三页，共215页。清晰化图例第一百一十四页，共215页。4

控制对象的模糊模型

模糊控制系统：采用模糊控制器的系统模糊控制器：实现输入与输出之间的映射控制对象：常规数学模型、模糊模型

第一百一十五页，共215页。4.1

模型的辩识

4.1.1概述

神经网络模糊辩识

第一百一十六页，共215页。模糊辩识

模糊建模：结构辩识、参数辩识能有效地辩识复杂的和病态的系统能有效地辩识具有大时延、时变、MISO的非线性系统可以辩识性能优良的人类控制器可以得到被控对象的定性与定量相结合的模型第一百一十七页，共215页。4.1.2常见模糊模型

基于模糊关系方程的模糊模型

医疗诊断、模糊控制系统诊断与决策

第一百一十八页，共215页。常见模糊模型

T－S模糊模型零阶T—S模型：一阶T—S模型：

第一百一十九页，共215页。常见模糊模型

拟非线性模糊模型

为非线性连续函数。

第一百二十页，共215页。4.1.3基于模糊关系方程的

模糊模型表示

输入输出模型第一百二十一页，共215页。模糊模型表示输入输出模型第一百二十二页，共215页。模糊模型表示状态空间模型

状态空间模型

状态：if

isanduis,thenis输出：ifis,thenis

第一百二十三页，共215页。4.1.4基于模糊关系方程的

模糊模型辩识

给定模糊集合，寻找模糊关系R，使得第一百二十四页，共215页。步骤1测量控制对象的N个输入输出数据组

第一百二十五页，共215页。步骤2将测量的数据模糊化

一般采用三角形模糊集合，而不采用单点模糊集合第一百二十六页，共215页。步骤3将模糊化的测量数据视为语言变量值

第一百二十七页，共215页。步骤4对每一组数据均视为一条模糊规则

第一百二十八页，共215页。步骤5构造对象的模糊关系

批处理法（定常系统）

递推法（时变系统）

第一百二十九页，共215页。4.1.5模型辩识实例非线性输入输出模型y=u2。待建模型的输入输出数据u012345y01491625第一百三十页，共215页。量化后的输入输出数据量化后的输入输出数据u012345y005101525第一百三十一页，共215页。输入输出隶属度函数第一百三十二页，共215页。模糊建模精度校验模糊建模精度校验u012345Y实01491625Y估005101525第一百三十三页，共215页。4.1.6模型辩识的注意事项

采样数据集中在某一区域遗忘因子的选择准确性与存储量精度与泛化能力收敛性第一百三十四页，共215页。5模糊控制系统的稳定性分析

在模糊控制系统中还没有像常规控制系统那样建立起稳定性理论，因而也就缺乏模糊控制系统稳定性分析工具。纯粹模糊系统

混合模糊系统：控制对象采用常规数学模型

第一百三十五页，共215页。5.1混合系统的处理

将控制对象变换为模糊模型： 纯粹模糊系统将控制器模糊模型变为确定性的模型： 常规控制系统（分段线性）P70

第一百三十六页，共215页。5.2基于模糊关系方程的

纯粹模糊控制系统稳定性分析

控制对象的稳定性闭环系统的稳定性

第一百三十七页，共215页。控制对象的稳定性分析（P68）第一百三十八页，共215页。闭环系统的稳定性分析第一百三十九页，共215页。闭环系统的稳定性分析（P68）第一百四十页，共215页。闭环系统的稳定性分析第一百四十一页，共215页。5.3模糊相平面分析法

相平面分析法可以分析非线性二阶系统但是必须已知系统的动态特性。

第一百四十二页，共215页。模糊相平面分析法第一百四十三页，共215页。模糊相平面分析法例1例1

第一百四十四页，共215页。R1的模糊相平面第一百四十五页，共215页。模糊相平面分析法u固定时所有模糊规则的相平面图第一百四十六页，共215页。模糊相平面分析法例2某二阶系统阶跃响应，u是参考输入计算每一条规则的覆盖范围及系统运动方向第一百四十七页，共215页。描述系统模型的模糊规则表第一百四十八页，共215页。模糊变量的语言值及相应的隶属度函数第一百四十九页，共215页。相平面图与实际系统相应的比较第一百五十页，共215页。用途检验建模的正确性

检验模糊规则的一致性、完备性及相互影响

一致性：相同或相近的区域运动方向的不一致完备性：每个区域至少属于一条规则的影响区域相互影响：影响区域具有一定程度的覆盖

第一百五十一页，共215页。用途检验系统的稳定性、分析系统的性能极限环超调量过渡时间

指导控制规则的设计闭环特性的正确性第一百五十二页，共215页。6模糊控制系统的设计

6.1模糊控制器设计的有关问题

第一百五十三页，共215页。6.1.1模糊化策略

单点模糊

第一百五十四页，共215页。模糊化策略选择合适的隶属度函数

第一百五十五页，共215页。6.1.2模糊分割

灵活性（高分辨率）与简单性（低分辨率）的折中与存储量的折中与尺度变换的综合与量化的综合第一百五十六页，共215页。6.1.3规则的设计与调整

模糊控制规则的形式状态评估

前后件均为模糊量后件为清晰量目标评估第一百五十七页，共215页。规则的设计与调整模糊控制规则的产生与调整基于模糊关系方程的“模糊辩识”基于经验

第一百五十八页，共215页。6.1.4规则的完备性、一致性与交互性完备性：主导规则，一致性：规则矛盾交互性：复杂第一百五十九页，共215页。6.2模糊PID控制

第一百六十页，共215页。6.2.1采用PID控制原理的模糊控制器

利用相平面分析可以对模糊控制规则进行调整。其原理是在模糊控制器的论域内跟踪受控闭环系统的轨迹。对系统有可能进行全局性的规则更新或修改。

第一百六十一页，共215页。要求相平面分析的知识闭环系统行为的直觉性感知

第一百六十二页，共215页。阶跃响应的模糊相平面分析第一百六十三页，共215页。模糊分割第一百六十四页，共215页。规则1第一百六十五页，共215页。规则2第一百六十六页，共215页。6.2.2PID控制器参数的模糊整定

第一百六十七页，共215页。PID参数模糊整定例

变化范围根据经验或实验确定

第一百六十八页，共215页。PID参数模糊整定例将归一化变成

第一百六十九页，共215页。PID参数模糊整定例积分时间常数由微分时间常数决定

第一百七十页，共215页。PID参数模糊整定例

的隶属度函数

第一百七十一页，共215页。模糊分割第一百七十二页，共215页。隶属度函数定义第一百七十三页，共215页。PID参数模糊整定例模糊规则

第一百七十四页，共215页。PID参数模糊整定例参数整定方法起始阶段（a）：需要大的控制信号以加速上升过程，即大的比例增益、大的积分增益和小的微分增益；第一百七十五页，共215页。

模糊调整规则第一百七十六页，共215页。

模糊调整规则第一百七十七页，共215页。

模糊调整规则第一百七十八页，共215页。二阶系统结果比较第一百七十九页，共215页。三阶系统结果比较第一百八十页，共215页。四阶系统结果比较第一百八十一页，共215页。6.3基于语言模型求逆的

模糊控制器设计已知控制对象模型和期望的控制系统闭环特性，求控制器的模型。

第一百