平面向量全章复习

【基础反复练】1、若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()．A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a2、(2012·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()．A．－1B．1C．－23、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量A．(4,6)B．(－4，－6)C．(4，－6)D．(－4,6)4、已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.5、已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)6、若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c)7、(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．28、已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．A．9B．4C．09、(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．1、D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()．A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C、eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))2、(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()．A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))3、在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()．A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c4、(2012·南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.5、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.6、(2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→)).求M，N的坐标和eq\o(MN,\s\up6(→)).1.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，，，，，则（A）（B）（C）（D）2、【2012高考四川文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A、且B、C、D、3、【2012高考天津文科8】在△ABC中，A=90°，AB=1，设点P，Q满足=，=(1-)，R。若=-2，则=（A）（B）C）（D）24、【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且=.6、【2012高考江苏96、【2012高考江苏9】图5、【2012高考浙江文15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.6、【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．7、【2012高考上海文12】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是8、【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。9、【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是(A)a∥b(B)a⊥b(C)(D)a+b=ab10、【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则=A．2B．4C．5D．1011、【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，=1则.A.B.C.D.12、【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=（A）（B）（C）（D）13、【2012高考真题全国卷理6】△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B）(C)(D)14、【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.15、【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是。16、【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。17、【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．1．(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()．A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))解析如图，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).答案A4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()．A．0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))解析eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).答案D【训练2】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()．A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.答案A【例1】►(2012·南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.[审题视点]由B，H，C三点共线可用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))来表示eq\o(AH,\s\up6(→)).解析由B，H，C三点共线，可令eq\o(AH,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又M是AH的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ＋μ＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)(1－x)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝eq\r(3)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2＋eq\r(3)，eq\r(3))．∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴(2＋eq\r(3)，eq\r(3))＝(2x,2y)．即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋\r(3)＝2x，,\r(3)＝2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)，,y＝\f(\r(3),2).))另解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\r(3),2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝1＋eq\f(\r(3),2)，y＝eq\f(\r(3),2).答案1＋eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)【例2】►(2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→)).求M，N的坐标和eq\o(MN,\s\up6(→)).[审题视点]求eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.解∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1,8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(6,3)．∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))＝3(1,8)＝(3,24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x，y)，则eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x＋3，y＋4)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝3，,y＋4＝24，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝20.))∴M(0,20)．同理可得N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝()．A．(－2，－4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(2,4)解析由题意得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案B【示例】►(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝________.错因搞错向量的夹角或计算错实录－eq\f(1,2)(填错的结论多种)．正解由题意画出图形如图所示，取一组基底{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))}，结合图形可得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)cos60°＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝________.[审题视点]由M是BC的中点，得eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→)).解析如图，因为M是BC的中点，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·2eq\o(PM,\s\up6(→))＝－4|eq\o(PM,\s\up6(→))|2＝－eq\f(4,9)|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝－eq\f(4,9)，故填－eq\f(4,9).答案－eq\f(4,9)当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．【训练1】如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝________.解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，故eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)).而eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→)).所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)CA2＝－8.答案－82．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状是()．A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．无法确定解析由(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，得[(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC是等腰三角形．答案C在△ABC中，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，则△ABC为()．A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形解析由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0知△ABC为等腰三角形，AB＝AC.由eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)知，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，所以△ABC为等边三角形，故选A.答案A【例1】►(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则△OAB的面积等于()．A.eq\r(|a|2|b|2－a·b2) B.eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2) D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋a·b2)[审题视点]由数量积公式求出OA与OB夹角的余弦，进而得正弦，再由公式S＝eq\f(1,2)absinθ，求面积．解析∵cos∠BOA＝eq\f(a·b,|a||b|)，则sin∠BOA＝eq\r(1－\f(a·b2,|a|2|b|2))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)|a||b|eq\r(1－\f(a·b2,|a|2|b|2))＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－a·b2).答案C平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(θ为a与b的夹角)可以求角，利用a·b＝0可以证明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行．1.【2012高考全国文9】中，边的高为，若，，，，，则（A）（B）（C）（D）【答案】D4.【2012高考四川文7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A、且B、C、D、【答案】Ｄ10.【2012高考天津文科8】在△ABC中，A=90°，AB=1，设点P，Q满足=，=(1-)，R。若=-2，则=（A）（B）C）（D）2【答案】B3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且=.【答案】18【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.4.【2012高考浙江文15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.【答案】-167.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。8.【2012高考上海文12】在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是【答案】[1,4].【解析】设=（0≤≤1），则=,=，则===+++,又∵=0，∴=，∵0≤≤1，∴1≤≤4，即的取值范围是[1,4].10【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。【答案】1，1【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是(A)a∥b(B)a⊥b(C){0,1,3}(D)a+b=ab【答案】B【解析】一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0,所以a⊥b，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|