第7章向量代数与空间解析几何习题

第四 空间直线及其方习 7-n1,2,1为所求直线的方向向量,则直线的对称式x1y1z2 求过点(1,3,2且平行两平面3xy5z20及x2y3z40的直解n13,1,5)与n21,2,3不平行,所以两平面相交于一直线,此直线的方向向量为 sn1n23

(7,14,7)7(1,故可取所求直线的方向向量为(12,1由题设,x1y3z2 xyz12xy3z40解先在直线上找一点yzx1,解方程组y3z

y0,z2,故(1,0,2是直线上一点交于已知直线的两平面的法向量为:n11,1,1),n22,1,3)∵sn1,sn2 sn1n2 1(4,1,21

x14

yz2

x1yz2求过点(2,0,3)且与直线x2y4z70,垂直的平面方程3x5y2z1解要求所求平面垂直于直线,所以直线的方向向量为所求平面的法向量, nsn1n2 4

16(x2)14(y0)11(z3)即16x14y11z650为所求的平面方程求过点(3,1,2)x4y3z的平面的方程 解

JJJJJGM03,1,2)M143,0),设其法向量为n,nMJJJJJGnM0M1s1,4,2)5,2,1)8,9,22),8(x3)9(y1)22(z2)

ns即8x9y22z5902x5y23法 直线L的交面式方程为y2z3 过L的平面束方程(y2z3)(2x5y23)点(3,1,2)在平面上,(143)(65230,4,(y2z3)4(2x5y23)即8x9y22z590.容易验证2x5y230不是所求的平面方程xyz2与2xy2z4 xy2z3x1x14yz21

z

y2z9 y2z9 解 直线L:xyz2的方向向量1 2xy2z4直线L2:xy2z3 s21

12(0,2,1因此,两直线垂直

s1s2L:x14yz211x1

s13311z

s2(9,3,15)故s23s1,s1s2)又因点 1L,但)

1L,因此,两直线平行1(

( L3xz40,1y2z9 s13 1(1,6,0 6xy1L2y2z90 s2610(2,12,6)2(1,6, 故s22s1,s1s2又因点(0,1,4)L1,且(0,14)L2,因此,两直线重合,x3y4z4x2y2z30 xyz与6x4y14z10 x2y3z4xyz50 xyz1xy2z10与3x2yz0解(1) ∵sn8146

s(2,7,n(4,2,s又因为点(3,4,0)在直线上,但不在平面上

s(3,2,n2s,ns,故直线与平面垂直∵sn314 s

n, s 1

n(3,sn36270,sn0,所以直线与平面相交∵sinπ6

1sssB和D为何值时,直线xBy2zD

x3y6z 解

s1 2(6B6,4,3 x轴,si,si(6B6,4,3B)(1,0,0)6B6因点(0,13,2在直线上,013B4D 13BDxyz1求直线xyz1

xyz0上的投影直线的方程解Lxyz1(xyz1) (1)x(1)y(1)z(1)n1,11xyz0垂直的平面,由nn0(1,1,1),得nn0(1)1(1)1(1)1得1代入平面束方程,xyz0yz1yz1xyz解过点(1,2,0)x1y2 x2yz1

z,x y平面的交点即为所求.x y

得所求的投影点为522(,,).33x2zx2z解

s0 0(2,0,1 因为点(7,1,0在直线上x7y1z x7

yz

,2(x0)0(y1)(z1) 2xz10, 将(1)代入(2),得:2(72t)t10,即t3,于是得点A向已知直线所作垂线的垂足坐标为(1,1,3).由此得点A到已知直线的距离为d M0L外一点,ML上任意一点,sM0MM0Msd MdMMdM证7.6,M0ML角为,JJJJJGdM0Msin

JJJJJGMM0Ms过点(2,1,3)x1y1

z垂直相交的直线的方程解先求两直线的交点,3(x2)2(y1)(z3) x1y1

z将(2)代入(1),即14t6,亦即t37

x1y1z3(13t2)2(12t1)(t3)

故两直线的交点坐标为213

由此得所求直线的方向向量为( )(12

7 (2,1,4)7

x2y1z3 xyz xy1 L2xyz10都相交的直线的方程L: 1xyz1 2xyz1解x x zz1zz1 L1xyz0