一类四阶椭圆方程非平凡弱解的存在性(图文)

一类四阶椭圆方程非平凡弱解的存在性(图文)本文将介绍一类四阶椭圆方程的非平凡弱解的存在性问题。首先，让我们回顾一下椭圆方程的一些基本概念。椭圆方程，是指形如$\\Deltau+f(u)=0$的偏微分方程，其中$\\Delta$表示拉普拉斯算子，$f(u)$是一个关于$u$的非线性函数。当$f(u)$是关于$u$的线性函数时，这个方程就是著名的泊松方程。椭圆方程通常在物理、数学和其他领域中被广泛应用。现在，我们考虑一类四阶椭圆方程：$$Lu=-\\Delta^2u+f(x,u)+g(u)\\quad\\text{in}\\Omega,$$其中的函数$f(x,u)$和$g(u)$均为非线性，$\\Omega$是一个有界开区域，且满足一定的边界条件。我们假设$f(x,u)$满足以下条件：$$\\begin{aligned}&\\text{(H1)}\\quad\\exists\\delta>0,\\quad\\text{s.t.}|x|<1,|u|\\leq\\delta\\Rightarrowf(x,u)=0,\\\\&\\text{(H2)}\\quad\\forallu\\in\\mathbb{R},\\quad|f(x,u)|\\leqC(1+|u|^q),\\end{aligned}$$其中$q$是一个正常数。此外，我们假设$g(u)$满足以下条件：$$\\begin{aligned}&\\text{(G1)}\\quad\\exists\\gamma>4,\\quad\\text{s.t.}g(u)\\geqc|u|^\\gamma,\\quad\\forall|u|\\geq1,\\\\&\\text{(G2)}\\quad\\exists\\alpha\\in(0,1),\\quad\\text{s.t.}|g(u)|\\leqC(1+|u|^\\alpha).\\end{aligned}$$这些条件是针对$f(x,u)$和$g(u)$的，它们保证了方程的非线性项的有界性和非平凡性。接下来，我们需要定义一些变量。对于$P\\subset\\Omega$，我们定义$H^1(P)$为在$P$上平方可积的函数的空间，并定义$H^2(P)$为在$P$上平方可积的二阶弱导数的空间。我们还定义$H_0^1(P)$为在$P$上平方可积且在$P$的边界上等于零的函数的空间。类似地，我们定义$H_0^2(P)$为在$P$上平方可积且在$P$的边界上等于零的函数的二阶弱导数的空间。最后，我们定义$\\mathcal{M}(P)$为$H_0^1(P)$的闭子空间，它满足：$$\\mathcal{M}(P)=\\{u\\inH_0^1(P):\\Deltau\\inL^2(P)\\}.$$$\\mathcal{M}(P)$中的函数是方程$Lu=0$的弱解。下面的定理说明了方程存在非平凡弱解：存在一个$\\delta_0>0$，以及一列$\\{u_n\\}$，使得$\\foralln\\in\\mathbb{N}$，$$u_n\\in\\mathcal{M}(\\Omega),\\quad\\|u_n\\|_{H^2(\\Omega)}+\\|u_n\\|_{L^2(\\Omega)}\\leq\\delta_0,$$并且，$$\\int_\\Omega|\\Deltau_n|^2dx\\rightarrow\\infty,\\quad\\int_\\Omega\\left(|u_n|^{\\gamma-1}+|u_n|^{2^*-2}\\right)u_ndx\\rightarrow\\infty,$$其中$2^*=\\frac{4N}{N-4}$，$N$是$\\Omega$的维度。此外，如果$g(u)\\equiv0$，则存在一个正常数$\\varepsilon_0>0$，以及一列$\\{v_n\\}$，满足$\\foralln\\in\\mathbb{N}$，$$v_n\\in\\mathcal{M}(\\Omega),\\quad\\|v_n\\|_{H^2(\\Omega)}+\\|v_n\\|_{L^2(\\Omega)}\\leq\\varepsilon_0,$$并且，$$\\int_\\Omega|\\Deltav_n|^2dx\\rightarrow\\infty,\\quad\\int_\\Omega|v_n|^{2^*-2}v_ndx\\rightarrow\\infty.$$上面的定理可以用来证明方程存在非平凡弱解。证明的关键在于构造一列满足定理条件的函数。这个构造方法比较复杂，需要运用一些高等数学的工具，包括Sobolev空间、变分原理和紧性定理等。如果你