关于实数基本理论课件

雄关漫道真如铁而今迈步从头越4/18/20231当代著名数学家，柯朗曾指出：“微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成就之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶。”4/18/20232学习重在“习”，知识重在“识”，文化重在“化”,教育重在“育”。4/18/20233二.上确界和下确界一.子列三.几个实数基本定理

4/18/20235一.子列

可见一个数列可以有无穷多个子列.为了方便,用另一种下标来表示它.4/18/20236在选出的子列中,4/18/20237定理1:证毕

此定理用来判别数列不收敛很方便.若在数列中有一个子列不收敛,或有两个子列不收敛于同一极限,就可以判断不收敛.证明:如：数列0,1,0,1…一定发散,因为它有两个子列分别收敛于0和1.故数列不收敛.4/18/20239例1:第一个子列收敛于0,第二个子列收敛于1,4/18/202310在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):现在进一步有以下推论:推论:证明:只要证明对任何满足上述条件的数列都收敛于同一个极限即可.(反证法)4/18/202311二.上确界和下确界

第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍然不能满足今后继续深入研究讨论的需要.这里将要介绍关于实数的几个基本定理,这几个基本定理是进一步深入研究函数的严格的理论基础,为此需要引进两个新概念:上确界和下确界.我们以应用比较广泛的数集为背景,给出上确界和下确界的一般性定义.4/18/202313数集分为有限数集和无限数集.通常也说数列是一个数集.

任何有限数集都有一个最大和最小数,但对于无限数集来说就未必了.例如：4/18/202314

因而,若它有最大数,则这个最大数是它的一个上界,并且所有比这个最大数小的任何数都不是它的上界,对于有界数列来说,它有无穷多个上界和无穷多个下界.此时这个最大数自然就是它最小的上界;

同样,若它有最小数,则这个最小数是它的一个下界,且比这个最小数大的任何数都不是它的下界.4/18/202315定义:设给定一数集E,若一个数,适合以下条件:即就是E的最小的上界.(2).(1).条件(1)说明是E的上界之一,条件(2)说明凡是小于的任何数都不是E的上界.4/18/202317定义:设给定一数集E,若一个数,适合以下条件:即就是E的最大的下界.由以上定义可得上(下)确界的唯一性定理.条件(1)说明是E的下界之一,条件(2)说明凡是大于的任何数都不是E的下界.4/18/202318定理2:设数集有上(下)确界,则上(下)确界是唯一的.说明:

1.

并不是任何数集都有上(下)确界.对任何有限数集来说它们一定存在.而且由定义知:最大数就是它的上确界,最小数就是它的下确界.对任何无限数集来说它们就不一定存在了.4/18/202319对下确界可达到必是数集E的最小数的情况也可同样说明.例2:4/18/202321数集E的上(下)确界还有一个重要性质:如何求数集E的上(下)确界,有下面的定理.定理3:有下界的非空数集必有下确界.

(确界定理)有上界的非空数集必有上确界,(直观上容易理解,不加证明予以承认)4/18/202322定理4:单调有界数列必有极限.证明:(就单调增加的有界数列予以证明)由上确界定义有:(证毕)4/18/202323定义:三.区间套定理

具有如下性质若无穷闭区间列为闭区间套,称区间集合简称区间套.(1)(2)则数列收敛于同一极限,且是所有区间的唯一公共点.定理5:后在前内几何意义●4/18/202325证明:.

,

2

,

1

L

=

£

，n

a

n

x

且

{

}

有

并按区间套的条件

也有极限

递减有界数列

同理

)

(

2

，

b

，

n

,

lim

lim

x

=

=

¥

®

¥

®

n

n

n

n

a

b

.

,

2

,

1

L

=

³

，n

b

n

x

且

.

,

2

,

1

L

=

£

£

，n

b

a

n

n

x

从而有

.

是唯一的

的

下面证明满足题设条件

x

,

,

2

,

1

,

'

'

L

=

£

£

n

b

a

n

n

x

x

也满足

设

由区间套定义知为递增有上界数列依单调有界定理有极限(

是所有区间的公共点)4/18/202326四.致密性(聚点定理的特殊情形)定理:设

为数轴上的点集,为定点,(它可以属于,也可以不属于若

的任何邻域内都含有

中无穷多个点,则称

为

的聚点.

聚点概念和下面两个定义等价:

对于点集,若点

的任何

邻域都含有

中异于

的点,即,则称

为

的聚点.

若存在各项互异的收敛数列,则其极限

称为

的聚点.(定理证明用到)说明:定义若数列仅仅是有界的,则它不一定收敛.那么有界的发散数列是否有收敛的子列呢?致密性(聚点)定理对这个问题给出肯定的回答.4/18/202329外尔斯特拉斯（KarlTheodorWilhelmWeierstrass，1815-1897）德国数学家。被誉为“现代分析之父”，主要贡献在函数论和分析方面.发现函数项级数一致收敛性,第一个给出行列式的严格定义.大器晚成对整个数学界带来巨大影响的伟大数学家。4/18/202330定理6(Weierstrass):(实轴上任一有界无限点集

至少有一个聚点.)证明:任一有界数列必有收敛的子列.则得到一个区间列并适合下列条件:(1).(2)4/18/202331证毕.其中:(两面夹)4/18/202332当数列无界时,虽然不能应用致密性定理,但也有一个类似的性质,它刻画了无界数列的特性.性质:证明:4/18/202333五.Cauchy收敛原理(单调有界数列必有极限)4/18/202334

柯西（AugusitnLouisCauchy，1789-1857）法国数学家。对数学最大贡献在微积分中引进清晰严格的表述和证明方法，形成微积分现代体系。第一个使用极限符号,定义上\下极限和证明重要极限.许多见解被普遍接受并沿用到今.多产的数学家一生发表论文800余篇.著书7本<柯西全集>共27卷.数学分析的奠基人.4/18/202335定理7:证明:(Cauchy收敛原理)(这里用k是为区别于表述中的m和n)首先,证明满足条件的任何数列一定有界.4/18/202336其次,证明数列收敛.由的有界性和定理6,必存在收敛子列根据子列收敛定义,对任意给定的所以,●4/18/202337这个定理的充要条件表明,在收敛数列中必有这样一项,在这项以后任意两项之差的绝对值为任意小.由于定理给出的是充要条件,所以也可以用来判定某些数列不收敛.例3:证明:于是若取则不会有正整数N,使得当时,有(缩小)4/18/202338六.有限覆盖定理

定理8(Heine-Borele有限覆盖定理)

定义:如:(有限覆盖)4/18/202339证明:(反证法)4/18/202340(假设)(证毕)4/18/202341定理条件中,若E不是开区间集或为非闭区间,则从E中就不一定能选出有限个区间来覆盖.(E为非开区间集)(i=(0,1)为非闭区间)如下面两例虽然能覆盖但不能有限覆盖。4/18/202342说明:1.六个实数基本定理是相互等价的.即可以以其中任意一个为公理,推出其他所有定理.(推证能构成一个闭合的循环).2.各种教材有不同的理论体系和不同的表述方式,本教材是以确界定理(定理3)为公理,有的以单调有界数列存在极限定理(定理4)为公理,还有的以区间套定理

(定理5)为公理,来论证其他定理.3.更基本的原理的讨论,涉及更深入的实数理论,超出数学分析研究的范围.