第三章地下水中溶质迁移扩散理论

第三章地下水中溶质迁移扩散理论第一页，共98页。第三章地下水中溶质迁移扩散理论

地下水溶质迁移扩散模型（***）

模型的解析解（***）

参数确定（**）4/19/2023第二页，共98页。第一节地下水溶质迁移扩散模型扩散模型简介基本扩散方程定解条件4/19/2023第三页，共98页。扩散模型简介基本概念：地下水污染数学模型是描述地下水中污染物随时间和空间迁移转化规律的数学方程，可以给出排入地下水中的污染物数量与地下水水质之间的定量关系，为水质预测及影响分析提供理论依据。4/19/2023第四页，共98页。扩散模型简介模型分类：动态模型、静态模型；一维、二维、三维模型；单一组分、多组分水质模型；

确定性模型、非确定性模型，等4/19/2023第五页，共98页。基本扩散方程方程可以简化4/19/2023第六页，共98页。定解条件某空间区域R及时间区间（0,T），考虑的地下水动力弥散问题在这个时空区域上确定；已知R上的流场分布及有关参数分布；给定初始条件和边界条件。4/19/2023第七页，共98页。初始条件给定初始条件就是已知初始时刻t=0的浓度分布，即：4/19/2023第八页，共98页。边界条件第一类边界条件已知浓度变化规律，即：如与地表水体相连的边界，已知浓度。4/19/2023第九页，共98页。边界条件第二类边界条件已知弥散通量，即：如透水或不透水边界以及自由水面等，已知弥散通量。4/19/2023第十页，共98页。边界条件第三类边界条件已知溶质通量，即：4/19/2023第十一页，共98页。第二节地下水污染质迁移扩散方程的解析解保守物质一维弥散方程解析解平面一维径向一维4/19/2023第十二页，共98页。平面一维弥散方程解析解稳定源：条件是：污染地下水在半无限的均匀介质中流动，假定平均渗透流速V是不变的(Vx=Const，Vy=Vz=0)，弥散系数为常数(Dx=Const，Dy=Dz=0)。不考虑μ和ρ的变化。研究区中含某物质浓度为0，污水中浓度为C0，无穷远处浓度始终为0，该物质为中性物质(S=0)。4/19/2023第十三页，共98页。平面一维弥散方程解析解数学模型和定解条件为：4/19/2023第十四页，共98页。平面一维弥散方程解析解该方程为一般的二阶线性齐次偏微分方程的定解问题，可用拉普拉斯积分变换法求解，其解为：余误差函数4/19/2023第十五页，共98页。平面一维弥散方程解析解当D/(V·x)≤0.005时，解的第二项可以忽略不计而误差不会大于4％，即：4/19/2023第十六页，共98页。平面一维弥散方程解析解若用相对浓度表示，则相对浓度为的位置：这一点的运动速度为：若=0.5，这点速度为常数－活塞式推进4/19/2023第十七页，共98页。平面一维弥散方程解析解弥散过渡带－相对浓度从1到0的污染带。弥散带长度近似计算：4/19/2023第十八页，共98页。平面一维弥散方程解析解暂时源：当污水只是暂时的(tp)侵入，其余条件同稳定源，模型和条件可简化为：4/19/2023第十九页，共98页。平面一维弥散方程解析解方程的近似解为：4/19/2023第二十页，共98页。平面一维弥散方程解析解点x处污染物最大浓度出现的时间tmax。当tp/tmax<0.07时，可得近似式为：将上式代入解析解可得：4/19/2023第二十一页，共98页。径向一维弥散方程解析解稳定源：当从钻孔中投入固定浓度的污染物(C0=const)或固定数量的污染物(qC0=const)时，如果地下水的天然水力坡度为0，则形成以钻孔为中心的散开放射流。这种情况仍属于一维弥散，但其流速是沿程变化的，即随着远离源的距离增大而减少：4/19/2023第二十二页，共98页。径向一维弥散方程解析解稳定源：数学模型和定解条件为：4/19/2023第二十三页，共98页。径向一维弥散方程解析解稳定源：对于C0=const，解析解为：对于qC0=const，解析解为：其中：4/19/2023第二十四页，共98页。径向一维弥散方程解析解稳定源：若假定取平均流速，解析解可简化为：当(x-ut)>0时取负号，当(x-ut)<0时取正号。4/19/2023第二十五页，共98页。径向一维弥散方程解析解暂时源：当在短时期tp内投入污染物时，方程为：4/19/2023第二十六页，共98页。径向一维弥散方程解析解暂时源：当tp与t相比较很小时，其解析解为：当t足够大时，则给定时间上Cmax的空间位置xm为：0.3～4钻孔直径投入污染物的质量4/19/2023第二十七页，共98页。保守物质二维弥散方程解析解平面二维剖面二维4/19/2023第二十八页，共98页。平面二维弥散方程解析解含水层为单层水平均质岩层，u平行于ox轴，污染源为局部点源(C0,Q)，地下水中C0=0。令D/n=αu，α为弥散度，u=V/n，n为有效孔隙度4/19/2023第二十九页，共98页。平面二维弥散方程解析解方程的解析解为：其中W(t,b)为汉土什函数：4/19/2023第三十页，共98页。平面二维弥散方程解析解4/19/2023第三十一页，共98页。平面二维弥散方程解析解4/19/2023第三十二页，共98页。剖面二维弥散方程解析解延伸长度较大的贮污库的渗漏属于这种模型。库长为2L，r0相对较小含水层厚度m相对较大假定Vx和Vz固定不变4/19/2023第三十三页，共98页。平面二维弥散方程解析解方程的解析解为：其中具体参见教材4/19/2023第三十四页，共98页。非保守物质一维弥散方程解析解考虑污染物沉淀考虑污染物综合吸附考虑顶底板岩层吸附4/19/2023第三十五页，共98页。考虑污染物沉淀组分在沉降带总的饱和浓度由迁移过程中参加沉淀和不参加沉淀的组分浓度组成。参加沉淀污染组分在一维流中的迁移可以表示为：4/19/2023第三十六页，共98页。考虑污染物沉淀假定u为常数，且D=0，则可得出方程的近似解当溶解度大于4.8时：当溶解度小于4.8时：沉淀组分的饱和浓度4/19/2023第三十七页，共98页。考虑污染物综合吸附考虑岩层综合吸附（机械过滤、物理化学吸附、化学吸附、生物吸附）作用时，组分在含水层中的迁移可以用吸附的弥散方程、动力方程等描述吸附速度常数均衡吸附条件下的分配系数4/19/2023第三十八页，共98页。考虑污染物综合吸附当不考虑弥散作用时（D=0），解析解为：4/19/2023第三十九页，共98页。考虑污染物综合吸附当考虑弥散作用时（D≠0），解析解为：当当4/19/2023第四十页，共98页。考虑顶底板岩层吸附污染水在含水层中运移时，不仅有含水层本身对污染物的吸附，而且还可以扩散到相邻上下顶底板层中。4/19/2023第四十一页，共98页。考虑顶底板岩层吸附其解析解参见教材P884/19/2023第四十二页，共98页。在粗颗粒介质中考虑不动水体对于细颗粒介质（如粘土、土壤、土等）孔隙分布很不均匀，存在有更多的死端孔隙或不连通孔隙，使得地下水流动很滞缓，甚至不动，污染物质的运移和混合主要由大孔隙控制，而小孔隙和死端孔中的地下水不参加整体流动。由于分子扩散作用与相连的流动水体间能够进行物质交换，当盲孔中不动水体的溶质浓度大于外界浓度时，盲孔中溶质将通过分子扩散进入流动水体中，具有“源”的作用，反之，不动水体具有“汇”的作用。4/19/2023第四十三页，共98页。饱和水情况下：自70年代后期以来，国外学者对溶质运移机制和不动水体影响机制进行了试验研究。美国国家盐改中心的Genuchten教授，在对流-弥散模型的基础上，提出了考虑土壤中不动水体影响的动水-不动水体模型，溶质被视为存在动水和不动水两种孔隙中，而且还会在两个区域间相互运移，同时进行了不动水体（或盲孔）和线性吸附的实验研究。Smedt等研究发现不动水体区域的含水量与土壤总含水量成正比；溶质质量交换系数α与平均孔隙流速呈线性关系。4/19/2023第四十四页，共98页。基本方程

保守溶质在土壤中的迁移转化主要表现为：①对流迁移，溶质随水体迁移；②水动力弥散，包括分子扩散和水动力机械弥散。研究溶质在土壤可动水体与不可动水体中的迁移，可用下述方程来描述

α为描述溶质在流动区和不动水区土壤水之间迁移的传递系数，与平均孔隙流速呈线性关系。

4/19/2023第四十五页，共98页。在土柱实验中，当输入水量稳定时，土壤含水率θ在土柱内变化很小，可设定θ为不随时间变化的常数。根据Smedt等研究发现不动水体区域含水量与土壤总含水量成正比，可令，。又，代入基本方程可得到保守物质在土柱中迁移的数学模型为：4/19/2023第四十六页，共98页。边界条件和初始条件瞬时输入情况下边界条件：4/19/2023第四十七页，共98页。边界条件和初始条件连续输入情况下边界条件：4/19/2023第四十八页，共98页。边界条件和初始条件初始条件：当溶质为Br-时，；当溶质为Cl-时，，，其中Cf为土柱中Cl-的初始浓度。

4/19/2023第四十九页，共98页。模拟实验实验装置：土柱管材为硬塑料，柱内直径为37cm，外直径为40cm，柱高为150cm。土柱底部有出水口、反滤层（石英砂加上纺土工布），反滤层上分层填入试验土壤，严格控制土壤的密实度、含水率等。土壤采用长江南京江心洲沉积性细砂土，级配比在0.005～0.5mm之间，有机质含量较低，初期填土时体积含水率控制在30％，

4/19/2023第五十页，共98页。模拟实验土柱边壁安装间距分别为5cm、10cm、15cm、20cm、30cm和40cm的土壤测压头和取样头。输入方式分为连续输入和瞬时输入，输入时保持整个土柱断面均匀。

土壤质地干容重g/cm3比重孔隙率（％）机械组成（％）砂粒(0.5~0.02)粉粒(0.02~0.002)粘粒（<0.002）细砂1.452.2233.3355.336.68.14/19/2023第五十一页，共98页。模拟实验开始用自来水进行淋滤，直至流出溶液中浓度稳定，并确定土柱内土壤溶液中Cl-的本底分布情况。试验在两座相同的土柱中同时进行，对KBr溶液来说，一座土柱进行瞬时输入试验，另一座进行连续输入试验。试验配置的溶液浓度分别为：瞬时输入KBr溶液中Br-浓度为40g/L，连续输入KBr溶液中Br-浓度为7.52mg/L，NaCl溶液中的Cl-浓度为72mg/L。输入时间分别为：瞬时输入时间为5min（方案I）和15min（方案II），连续输入时间为240min。4/19/2023第五十二页，共98页。模型参数求解

参数求解采用最优化技术，使求出的一组参数代入方程后求解的计算结果与实验结果之间的误差E达到最小。即：先假设一组参数（αL、Dm、f和α）值代入方程的数值计算模式求得浓度值，其解记为，然后与实测值进行比较，以其平方差作为目标函数：4/19/2023第五十三页，共98页。模型参数求解

根据瞬时输入Br-溶液试验结果，所求得的最优参数见表。由表可知，土柱中Br-迁移的纵向弥散系数DL=80.19～80.22cm2/h，接近于常数。编号距进水端距离（cm）渗透流速vm（cm/h）αL（cm）Dm（cm2/h）fα(1/h)1#538.922.060.0180.9450.1722#1539.132.040.0180.9410.1653#3039.542.020.0180.9380.1624#5040.022.000.0180.9270.1545#8040.231.990.0180.9220.1536#12041.111.970.0180.9210.153出水口15041.131.950.0180.9070.158平均值40.012.000.0180.9290.1604/19/2023第五十四页，共98页。模型参数求解

同理，可求得连续输入情况下各参数的优化值分别为：vm=23cm/h，αL=1.89cm，f=0.910，α=0.154/h，纵向弥散系数DL=43.488cm2/h。4/19/2023第五十五页，共98页。瞬时输入结果分析

4/19/2023第五十六页，共98页。连续输入结果分析

4/19/2023第五十七页，共98页。结论分析

通过对Cl-和Br-的平均误差分析发现，当考虑土壤中不动水体时，在土柱z=30cm、z=80cm和z=150cm处计算值与实测值误差分别为7％、10％和5％；当忽略土壤中不动水体时，在土柱z=30cm、z=80cm和z=150cm处计算值与实测值误差分别为14％、15％和9％。采用考虑不动水体的数学模型模拟土壤中溶质运移是可行的，并且比忽略不动水体的计算结果更合理。

4/19/2023第五十八页，共98页。第三节参数确定参数的一般数值参数的实验室研究4/19/2023第五十九页，共98页。参数的一般数值（1）分子扩散系数DM(一般值约为10-5cm2/s)黑土和灰化的亚粘土，DM＝0.3～0.4×10-5cm2/s石英砂土，DM＝0.3～0.7×10-5cm2/s高岭土及蒙脱石土，DM＝0.5～0.8×10-5cm2/s冰碛土、黄土、粘土，DM＝0.05～0.1×10-5cm2/s（上述数值是扩散物质在含有NaNO3、NaCl、KNO3等溶液时取得的。）4/19/2023第六十页，共98页。参数的一般数值（2）弥散系数D据不同粗细砂土试验，当渗透速度变化在0.3~38m/d时，D值相应为2×10-5~2×10-2cm2/s。4/19/2023第六十一页，共98页。参数的一般数值（2）弥散系数D在孔隙－裂隙及裂隙岩石中，污染物的弥散作用及弥散系数加大了。实验室砂岩，D=4.2×10-2cm2/s；裂隙岩石块状模型实验，当V=16.5~66.4m/d时，D=2.4×10-2cm2/s4/19/2023第六十二页，共98页。参数的一般数值（3）分配系数β和吸附速度常数α据阳离子同位素Ca45、Sr89、Cs137渗透过砂的实验结果表明，其吸附参数值为：β=0.007~0.57，吸附速度常数α=1~101/hour。合成橡胶工业废水中经常有镍，是一种表面活性很强的物质，用这种污水渗过冲积砂含水层时：β=7.1~18.2，吸附速度常数α=0.1~2.0/hour。4/19/2023第六十三页，共98页。参数的一般数值（4）彼克莱数Pe分子扩散和对流运移的相对比重可用Pe=V·L/DM的大小来判别(式中L表示含水层的尺寸，例如长度）。仅当Pe<<1时，分子扩散才达到相对可观的程度。一般Pe总是大于1，甚至渗透速度很小时，例如V=0.001cm/d，渗透途径短(L=500m)，当DM=10-5cm2/s时，Pe也达到50，即以对流占优。4/19/2023第六十四页，共98页。参数的实验室确定（1）污水、地下水和岩石的混合试验污水与地下水的相互作用污水与地下水和岩石的相互作用污水与岩石的相互作用

4/19/2023第六十五页，共98页。参数的实验室确定（1）污水、地下水和岩石的混合试验

4/19/2023第六十六页，共98页。参数的实验室确定（2）弥散带演化模拟试验——圆球筛砂箱观察：渗透分散机理；弥散体形状；物质运动方向；不透水边壁的影响4/19/2023第六十七页，共98页。参数的实验室确定（2）弥散带演化模拟试验——渗流槽观察：物质弥散随时间的变化规律；物质弥散的空间分布规律。4/19/2023第六十八页，共98页。参数的实验室确定4/19/2023第六十九页，共98页。参数的实验室确定重力对弥散体的影响表现在指示剂和运载流的密度上。两者密度接近——垂向两者密度接近——水平指示剂密度过大——垂向4/19/2023第七十页，共98页。平面二维弥散方程解析解4/19/2023第七十一页，共98页。平面二维弥散方程解析解4/19/2023第七十二页，共98页。参数的实验室确定（3）分子扩散系数Dm实验装置及过程试验开始时粘土试样和上下空隙都充满水，然后指示剂大量地进入上部空隙1，放射性指示剂穿过粘土试样2而进行扩散，可以进入试样下部空隙3。4/19/2023第七十三页，共98页。参数的实验室确定

Dm的计算上部空隙浓度不变，下部空隙浓度C不断增加，当t≤0.25L2n/Dm时，可表示为：其中：4/19/2023第七十四页，共98页。参数的实验室确定

Dm的计算根据实验成果用标准曲线法确定Dm，步骤:①对每个试样来说是常数，λ是变数。可按上述公式在的坐标上绘出标准曲线，这里;t为从开始实验时算起的时间，t0为选择的某个特定时间（例如在下部空隙开始测定浓度的时间）4/19/2023第七十五页，共98页。参数的实验室确定

Dm的计算②根据实验时在下部空隙测得的指示剂浓度C(τ)，在同一图上绘出C(τ)～lnτ的曲线。4/19/2023第七十六页，共98页。参数的实验室确定

Dm的计算③将实际曲线与标准曲线相重合，则水平轴lnF0和lnτ就要错动lnA的值，它等于：4/19/2023第七十七页，共98页。参数的实验室确定

Dm的计算④从图上测量出lnA的值，并换算出A值，则：4/19/2023第七十八页，共98页。参数的实验室确定（4）弥散系数的测定实验装置和实验过程

实验装置由两部分组成：试样圆筒I和供给液体的装置II，它是在保持给定压力H下供给水和指示剂溶液。液体自下而上运动。由取样管采取不同距离的浓度。测定弥散系数时开始先用不含指示剂的普通水将试样饱和，然后再加指示剂，并在不同断面观测浓度的变化。4/19/2023第七十九页，共98页。参数的实验室确定4/19/2023第八十页，共98页。参数的实验室确定弥散系数的计算根据实验资料，在一维弥散解析解基础上可以计算D。当试样长度超过15～20cm时，试样中指示剂的浓度变化为：4/19/2023第八十一页，共98页。参数的实验室确定弥散系数的计算将实验观测结果绘制成图，可取x<L的某些值或用终端断面x=L的值，用不同方法计算D。4/19/2023第八十二页，共98页。弥散系数的计算末端曲线微分法求出曲线的微分，并绘制曲线，其中时间τ=Vt/(nL)，L为土柱长度，弥散系数可按下式计算：式中是这一点上的导数。因此计算D值仅需应用末端曲线的附近的一段。4/19/2023第八十三页，共98页。弥散系数的计算用曲线上个别点的数值计算D值解析解相对于D可写成下式：式中，因此按照上式计算D，只需在任一时刻t1测定滤出液中的浓度C1就足够了，当有一对实验点的资料t1、C1及t2、C2时，消去x后：4/19/2023第八十四页，共98页。弥散系数的计算曲线直线化法解析解写成下式：式中ξ与t呈直线关系，可根据实验资料绘制ξ与t的直线图系数。D由下式确定：4/19/2023第八十五页，共98页。弥散系数的计算曲线直线化法

4/19/2023第八十六页，共98页。有效孔隙度的计算及测定方法用与岩土不发生作用的指示剂进行渗透实验，所得的末端曲线的资料可按下式计算岩土的孔隙度：式中V是渗透速度，l是岩土样长度，t是渗出液中指示剂浓度为的时间。4/19/2023第八十七页，共98页。参数的实验室确定（3）吸附参数分配系数β，表示平衡时，固相及液相中物质分布状态，即β=Cp/N，式中Cp为溶液中物质的平衡浓度；N是固相吸收的物质的相应数量。吸附速度常数α4/19/2023第八十八页，共98页。吸附参数的测定

静式实验测定法：用一定的吸附剂或土样与某组分初始浓度为C0的一定梯级的溶液相互作用，并测得其平衡浓度Cp。可根据溶液中该组分减少的情况，计算土样上吸附量N及吸附系数。用不同的初始浓度C0做