2018年中考数学分类汇编考点22勾股定理

./2018中考数学试题分类汇编：考点22勾股定理一．选择题〔共7小题1．〔2018•滨州在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为〔A．5 B．6 C．7 D．8[分析]直接根据勾股定理求解即可．[解答]解：∵在直角三角形中,勾为3,股为4,∴弦为=5．故选：A．2．〔2018•枣庄如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F．若AC=3,AB=5,则CE的长为〔A． B． C． D．[分析]根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案．[解答]解：过点F作FG⊥AB于点G,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠FAD,∴∠CFA=∠AED=∠CEF,∴CE=CF,∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°,∴FC=FG,∵∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90°,∴△BFG∽△BAC,∴=,∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°,∴BC=4,∴=,∵FC=FG,∴=,解得：FC=,即CE的长为．故选：A．3．〔2018•XX"赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲．如图所示的"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b．若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为〔A．9 B．6 C．4 D．3[分析]由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．[解答]解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b,∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4,∴4×ab+〔a﹣b2=25,∴〔a﹣b2=25﹣16=9,∴a﹣b=3,故选：D．4．〔2018•XX我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形〔古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为〔A．20 B．24 C． D．[分析]欲求矩形的面积,则求出小正方形的边长即可,由此可设小正方形的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程求出x的值,进而可求出该矩形的面积．[解答]解：设小正方形的边长为x,∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即〔3+x2+〔x+42=72,整理得,x2+7x﹣12=0,解得x=或x=〔舍去,∴该矩形的面积=〔+3〔+4=24,故选：B．5．〔2018•XX如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα﹣cosα=〔A． B．﹣ C． D．﹣[分析]分别求出大正方形和小正方形的边长,再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值,进而可求出sinα﹣cosα的值．[解答]解：∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+〔7+AC2=132,整理得,AC2+7AC﹣60=0,解得AC=5,AC=﹣12〔舍去,∴BC==12,∴sinα==,cosα==,∴sinα﹣cosα=﹣=﹣,故选：D．6．〔2018•XX我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题："问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何？"这道题讲的是：有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大？题中"里"是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为〔A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米[分析]直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．[解答]解：∵52+122=132,∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000〔平方米=7.5〔平方千米．故选：A．7．〔2018•东营如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是〔A． B． C． D．[分析]要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解．[解答]解：把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5π,所以AC=,故选：C．二．填空题〔共8小题8．〔2018•XX如图,在平面直角坐标系中,A〔4,0,B〔0,3,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为〔﹣1,0．[分析]求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即可．[解答]解：∵点A,B的坐标分别为〔4,0,〔0,3,∴OA=4,OB=3,在Rt△AOB中,由勾股定理得：AB==5,∴AC=AB=5,∴OC=5﹣4=1,∴点C的坐标为〔﹣1,0,故答案为：〔﹣1,0,9．〔2018•XX如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是2＜AD＜8．[分析]如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；[解答]解：如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中,∵∠E=30°,AB=4,∴AE=2AB=8,在Rt△ABF中,AF=AB=2,∴AD的取值范围为2＜AD＜8,故答案为2＜AD＜8．10．〔2018•襄阳已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为2或2．[分析]分两种情况：①当△ABC是锐角三角形,如图1,②当△ABC是钝角三角形,如图2,分别根据勾股定理计算AC和BC即可．[解答]解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形,如图1,∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∵CD=,AD=1,∴AC=2,∵AB=2AC,∴AB=4,∴BD=4﹣1=3,∴BC===2；②当△ABC是钝角三角形,如图2,同理得：AC=2,AB=4,∴BC===2；综上所述,BC的长为2或2．故答案为：2或2．11．〔2018•XX如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ=或．[分析]分两种情形分别求解：①如图1中,当AQ=PQ,∠QPB=90°时,②当AQ=PQ,∠PQB=90°时；[解答]解：①如图1中,当AQ=PQ,∠QPB=90°时,设AQ=PQ=x,∵PQ∥AC,∴△BPQ∽△BCA,∴=,∴=,∴x=,∴AQ=．②当AQ=PQ,∠PQB=90°时,设AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA,∴=,∴=,∴y=．综上所述,满足条件的AQ的值为或．12．〔2018•黔南州如图,已知在△ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,则△ABC的面积为60．[分析]首先证明△AEF≌△BEC,推出AF=BC=10,设DF=x．由△ADC∽△BDF,推出=,构建方程求出x即可解决问题；[解答]解：∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°,∵∠BAC=45°,∴AE=EB,∵∠EAF+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°,∴∠EAF=∠CBE,∴△AEF≌△BEC,∴AF=BC=10,设DF=x．∵△ADC∽△BDF,∴=,∴=,整理得x2+10x﹣24=0,解得x=2或﹣12〔舍弃,∴AD=AF+DF=12,∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60．故答案为60．13．〔2018•滨州如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=,∠EAF=45°,则AF的长为．[分析]取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,则NF=x,再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA,利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．[解答]解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=BC=4,∴NF=x,AN=4﹣x,∵AB=2,∴AM=BM=1,∵AE=,AB=2,∴BE=1,∴ME==,∵∠EAF=45°,∴∠MAE+∠NAF=45°,∵∠MAE+∠AEM=45°,∴∠MEA=∠NAF,∴△AME∽△FNA,∴,∴,解得：x=,∴AF==．故答案为：．14．〔2018•XX《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在"勾股"章中记载了一道"折竹抵地"问题："今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何？"翻译成数学问题是：如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为x2+32=〔10﹣x2．[分析]设AC=x,可知AB=10﹣x,再根据勾股定理即可得出结论．[解答]解：设AC=x,∵AC+AB=10,∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=〔10﹣x2．故答案为：x2+32=〔10﹣x2．15．〔2018•黄冈如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm〔杯壁厚度不计．[分析]将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．[解答]解：如图：将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B===20〔cm．故答案为20．三．解答题〔共2小题16．〔2018•XX如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D；以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连结CD．〔1若∠A=28°,求∠ACD的度数．〔2设BC=a,AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC,求的值．[分析]〔1根据三角形内角和定理求出∠B,根据等腰三角形的性质求出∠BCD,计算即可；〔2①根据勾股定理求出AD,利用求根公式解方程,比较即可；②根据勾股定理列出算式,计算即可．[解答]解：〔1∵∠ACB=90°,∠A=28°,∴∠B=62°,∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=59°,∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；〔2①由勾股定理得,AB==,∴AD=﹣a,解方程x2+2ax﹣b2=0得,x==﹣a,∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；②∵AD=AE,∴AE=EC=,由勾股定理得,a2+b2=〔b+a2,整理得,=．17．〔2018•XX嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径R1,R2,R3,其行经位置如图与表所示：路径编号图例行径位置第一条路径R1_A→C→