二次函数定区间上最值问题（教师版）

第页———口碑教关）微信同号二次函数在闭区间上的最值问题一、二次函数知识点回顾（一）二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．（二）二次函数的性质1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．（三）二次函数基本形式：1、的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：上加下减。3.的性质：左加右减。4.的性质：二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.如设：，求在上的最大值与最小值。方法思路分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。三、例题分析归类（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定函数在区间[0，3]上的最大值是______，最小值是______。答案：函数的最大值为，最小值为。已知函数，则函数在[1，4]上的最大值和最小值分别是（）A．﹣2，﹣3 B．﹣3，﹣6 C．﹣2，﹣6 D．0，﹣2答案：C．函数的值域为（）A． B． C． D．答案：D．2、轴定区间变如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，图3当时，求函数的最小值(其中为常数)．解：函数的对称轴为．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，；(2)当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，；(3)当对称轴在所给范围右侧．即时： 当时，．综上所述：3、轴变区间定已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。求在区间[-1,2]上的最大值。(2)求函数在上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为，当即时，；当即时，。综上所述：。函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3）时；由图可知；即函数在区间[1，4]上的最小值为，则（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数f（x）=ax2+4x+1，得到函数的对称轴为x=﹣，且闭区间[1，4]的中点为，则a＜0时：①﹣＜即a＜﹣时，得到函数的最小值g（a）=f（4）=16a+17；②﹣≥即0＞a≥﹣时，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5．a＞0时：①﹣≤即a≥﹣，即a＞0，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5；②﹣＞即a＜﹣，不合题意，舍去．综上，得到．故选D4.轴变区间变已知，求的最小值。解：将代入u中，得①，即时，②，即时，所以（二）、逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。解：（1）若，不符合题意。（2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。解：讨论对称轴中1与的位置关系。①若，则解得②若，则，无解③若，则，无解④若，则，无解综上，已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；（2）令，得此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。综上，或。已知函数在区间[0，m]（m＞0）上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是（）A．[1，2] B．（0，1] C．（0，2] D．[1，+）【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+4的对称轴为x=1，此时，函数取得最小值为3，当x=0或x=2时，函数值等于4．且函数f（x）=x2﹣2x+4在区间[0，m]（m＞0）上的最大值为4，最小值为3，∴实数m的取值范围是[1，2]，故选：A．当x∈[1，2]时，函数在x=2时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞） B．[0，+∞） C．[1，+∞） D．[，+∞）【解答】解：当a=0时，f（x）=4x﹣3，显然满足条件．当a＞0时，对称轴x=﹣2﹣＜﹣2，故函数f（x）=ax2+4（a+1）x﹣3在[12]上单调递增，故函数f（x）在x=2时取得最大值．当a＜0时，要使函数f（x）=ax2+4（a+1）x﹣3在[1，2]上单调递增，需对称轴x=﹣2﹣≥2，解得﹣≤a＜0．综上可得，实数a的取值范围是[﹣，+∞），故选：A．函数，在区间[t﹣1，t+1]（t∈R）上函数的最大值为M，最小值为N，当t取任意实数时．M﹣N的最小值为1，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：要使当t取任意实数时，M﹣N的最小值1，只要f（t+1）﹣f（t）=1，即[a（t+1）2﹣2014（t+1）+2015]﹣[at2﹣2014t+2015]=1，求得t=1007，故函数f（x）=ax2﹣2014x+2015（a＞0）的图象的对称轴方程为x==1007，求得a=1，故选：A．（三）、恒成立问题对任意的时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，3] C．[0，+∞） D．[，+∞）【分析】设f（x）=x2+2x﹣a，问题转化为3﹣a≤0，解出即可．【解答】解：设f（x）=x2+2x﹣a=（x+1）2﹣1﹣a，（x∈），由二次函数图象知，f（x）在区间[﹣，]上递增，只需f（x）max=f（）≤0即可，即﹣1﹣a≤0，解得：a≥，故选D．当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣10] B．（﹣∞，+∞） C．[﹣10，+∞） D．[﹣10，10]【解答】解：令函数f（x）=2x2+mx+8，则由题意可得f（1）=m+10≤0，且f（2）=16+2m≤0．解得m≤﹣10，故选A．设函数，对于恒成立，求实数m的取值范围（）A．m＞3 B． C． D．m＜1【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜﹣m+5，解得m＜6，故m=0；（2）当m≠0时，该函数的对称轴是x=，f（x）在x∈[1，3]上是单调函数．①当m＞0时，由于f（x）在[1，3]上单调递增，要使f（x）＜﹣m+5在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜﹣m+5即可．即9m﹣3m﹣1＜﹣m+5，解得m＜，故0＜m＜；②当m＜0时，由于函数f（x）在[1，3]上是单调递减，要使f（x）＜﹣m+5在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜﹣m+5即可，即m﹣m﹣1＜﹣m+5，解得m＜6，故m＜0；综上可知：实数m的取值范围是：m＜．故选B．

【二次函数最值问题课后习题】当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．抛物线，当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象过原点．答案：414或2，用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．答案：求下列二次函数的最值： (1)； (2)．答案：(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值，无最小值．求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值．答案：当时，；当时，．对于函数，当时，求的取值范围．答案：若x，y∈R且x2+y2=3x，则x﹣y2的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，3] C．[﹣1，3] D．[﹣1，+∞）【解答】解：若x，y∈R且x2+y2=3x，则有+y2=，故点（x，y）都在以（，0）为圆心，以为半径的圆上．故0≤x≤3，故所求的式子t=x﹣y2=x﹣（3x﹣x2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，利用二次函数的性质可得，当x=1时，t取得最小值为﹣1，当x=3时，t取得最大值为3，故所求式子的取值范围是[﹣1，3]，故选C．实数x，y满足x2+y2=4，则x2+8y+3的最大值是（）A．12 B．19 C．16 D．23【解答】解：令z=x2+8y+3，∵x2+y2=4，∴﹣2≤y≤2，∴z=4﹣y2+8y+3=﹣y2+8y+7=﹣（y﹣4）2+23，∵﹣2≤y≤2，∴当y=2时，z有最大值19，故选B．已知，则x2+2y的最大值为（）A． B． C．1 D．2答案：A求函数的最大值和最小值．答案：当时，；当或1时，．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？答案：当时，．已知关于的函数在上． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)当为实数时，求函数的最大值．答案：(1)当时，；当时，．(2)当时，；当时，．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．答案：．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．答案．已知函数在上的最大值为4，求的值．答案：或．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．答案：当时，，此时；当时，，此时．函数在区间（﹣∞，1）上有最小值，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1【解答】解：由题意，f（x）=（x﹣a）2﹣a2+a∴函数的对称轴为x=a．若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值所以a＜1，此时x=a时有最小值故选A．若函数在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3] B．[﹣1，3] C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，ymin=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，ymin=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，ymin=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．函数在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[1，2]【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，又∵f（1）=2，f（0）=f（2）=3，则a∈[1，2]．故选D．已知函数在区间[m，n]上的值域是[﹣5，4]，则m+n的取值范围是（）A．[1，7] B．[1，6] C．[﹣1，1] D．[0，6]【解答】解：f（x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴f（2）=4．又由f（x）=﹣5，得x=﹣1或5．由f（x）的图象知：﹣1≤m≤2，2≤n≤5．因此1≤m+n≤7．故选：A．若存在x∈[﹣2，3]，使不等式成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣12] D．（﹣∞，4]【解答】解：当x∈[﹣2，3]时，函数f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4，∵当x=2时，f（x）取得最大值为4．∴[﹣2，3]，最大值为4，由于存在x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，∴a≤4，故选：D．已知函数在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是A．[160，+∞） B．（﹣∞，40] C．（﹣∞，40]∪[160，+∞） D．（﹣∞，20]∪[80，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值根据二次函数的性质可知，函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间（5，20）上是单调函数∴或∴k≤40或k≥160故选C对于任意，函数的值总大于0，则x的取值范围是（）A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3 C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2【解答】解：原题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，只需⇒⇒x＜1或x＞3．故选B．已知是方程（a为实数）的二实根，则的最大值为A．20 B．19 C．18 D．不存在【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣（a﹣2）x+（a2+3a+5）=0的二实根，∴△=（a﹣2）2﹣4（a2+3a+5）≥0，解得﹣4≤a≤由根与系数关系可得x1+x2=a﹣2，x1x2=a2+3a+5，∴x12+x12=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣（a+5）2+19，由二次函数可知当a=﹣4时，x12+x12取最大值18故选：C已知在区间[0，1]有最大值﹣12，则实数a等于（）A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3【解答】解：∵f（x）=﹣4x2+4ax﹣4a﹣a2=﹣（2x﹣a）2﹣4a（a＜0）的图象是开口向下的抛物线，对称轴的方程为x=＜0，故函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，故当x=0时，函数f（x）有最大值为﹣a2﹣4a=﹣12，求得a=﹣6，故选：A．二次函数在区间的最大值为3，则实数a=（）A． B． C． D．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x+1是二次函数，∴a≠0．若a＞0时，其对称轴方程为x=．当，即a时，f（x）max=f（2）=4a+2（2a﹣1）+1=8a﹣1，由8a﹣1=3，得a=；当，即a＜时，=．由，得a=﹣（舍）．若a＜0，其对称轴方程为x=．当，即a＜﹣1时，=．由可知，次方程在a＜﹣1时无解；当，即﹣1≤a＜0时，．由，得a=﹣．综上，使二次函数f（x）=ax2+（2a﹣1）x+1在区间上的最大值为3的实数a等于或．故选：D．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，要想宾馆利润最大，每间房的定价为每天（）A．170元 B．300元 C．350元 D．400元【解答】解：设房价为（180+10x）元，则由题意利润y=（180+10x）（50﹣x）﹣（50﹣x）×20=﹣10x2+340x+8000=﹣10（x﹣17）2+10890∴当x=17，即房间定价为180+170=350元的时候利润最大，利润最大为10890元故选C．已知函数f（x）=2x2+bx+c（b，c∈R）的定义域是[0，2]，记|f（