理论力学精品课程第十三章 动量矩定理

第13章动量矩定理※

几个有意义的问题※

质点和质点系动量矩※

动量矩定理※

结论与讨论※

刚体绕定轴转动的微分方程※

相对于质心的质点系动量矩定理※

刚体平面运动微分方程？谁最先到达顶点几个有意义的实际问题？

直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象几个有意义的实际问题？

为什么二者转动方向相反几个有意义的实际问题？

航天器是怎样实现姿态控制的几个有意义的实际问题1.质点的动量矩§13-1质点和质点系的动量矩Mo(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz

MO(mv)=mvh=2△OAB

MO(F)定位矢量2.质点系的动量矩Orimiviyxzm1mim2质点系中所有质点对于点O

的动量矩的矢量和，称为质点系对点O

的动量矩。virimiyxz令：

Jz——刚体对z轴的转动惯量★绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。定轴转动刚体对转轴的动量矩§12-2动量矩定理1.质点的动量矩定理Mo(F)Mo(mv)OA(x,y,z)BrmvyxzF★质点对某定点

的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。2.质点的动量矩守恒定律rmvFMOh有心力作用下的运动问题★有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。3.质点系的动量矩定理其中：★质点系对某定点

的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力

对同一点的矩的矢量和。4.质点系动量矩守恒定律

如果外力系对于定点的主矩等于0，则质点系对这一点的动量矩守恒。

如果外力系对于定轴之矩等于0，则质点系对这一轴的动量矩守恒。例题1均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPWOPWmg解：取系统为研究对象FOxFOyv应用动量矩定理:OPWmgFOxFOyv应用动量矩定理:例题2水流通过固定导流叶片进入叶轮，入口和出口的流速分别为v1和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和

2，水的体积流量为qV、密度为

，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2，叶轮水平放置。求：水流对叶轮的驱动力矩。abcdabcd解：在dt时间间隔内，水流ABCD段的水流运动到abcd时，所受的力以及他们对O轴之矩：

重力——由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；

相邻水流的压力——忽略不计；

叶轮的反作用力矩——与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。abcd应用动量矩定理:Mz例题3求：此时系统的角速度zaallABCDozABCDzABCDmgmg解：取系统为研究对象§13-3刚体绕定轴的转动微分方程virimiyxzF1F2FnFi——刚体z轴的转动惯量★质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。

★

转动惯量——是刚体转动时惯性的度量解：取摆为研究对象例题5求：

微小摆动的周期。已知：m，a，JO。此方程的通解为周期为摆作微小摆动，有：aCmgO0OFNF例题5求：

制动所需的时间。已知：

JO

，0，FN，f。解：取飞轮为研究对象解得:ⅠⅡM1M2例题6已知：

J1

，J2，R1，R2，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

轴Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象解得：§13-4刚体对轴的转动惯量

刚体对转轴的转动惯量转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。其单位在国际单位制中为kg·m21.简单形状物体的转动惯量的计算（1）均质细直杆CBAlxdxxz（2）均质圆环ROz（3）均质圆板2.惯性半径（或回转半径）RdO3.平行轴定理★两轴必须是相互平行★JZC必须是通过质心的CBAzCzllOCdm1m2OC例题6求：O处动约束反力。已知：

m

，R。解：取圆轮为研究对象mgFOyFOx解得：由质心运动定理§13-5质点系相对于质心的动量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC

质点系相对于质心(平移系)的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，这就是质点系相对于质心(平移系)的动量矩定理。

这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。

当外力对质心的主矩为0时，由质心坐标公式，有miri′Oyxzriy′x′z′CvirC§13-6刚体的平面运动微分方程

由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有：

F1F2FnOyxx′y′CD

刚体平面运动微分方程例题7已知：

m

，R,f，。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圆轮为研究对象

圆盘作平动C(b)斜面足够粗糙F由

得：

满足纯滚的条件：FNmgaC(c)斜面介于上述两者之间圆盘既滚又滑CFFNmgaCFC例题8已知：m1,m2,R,f,F。求：板的加速度。FCFCF1FN1FN2F2′FN2′F2m1gm2gaaCar解：取圆轮和板为研究对象对板：对圆轮：关于突然解除约束问题OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除约束瞬时：

FOx=？,FOy=？例题9关于突然解除约束问题突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，0，0。需要先求出，再确定约束力。应用定轴转动微分方程应用质心运动定理OFOxFOyW=mg

解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。突然解除约束问题的特点系统的自由度一般会增加；W=mgOABC例题10已知：

OA=OB=AB=l。求：剪断OB绳瞬时，OA绳的张力。BW=mgACFA解：取AB杆为研究对象应用平面运动微分方程:60°aAaCAaA应用平面运动加速度分析，取A为基点。ACB解得：请问能否直接对A点列写动量矩方程？BW=mgACFA60°aAaCAaAACBW=mgOABCW=mgABC请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数为k

的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计算方法是否还不变？结论与讨论质点系动力学中的两个矢量系

作用在质点系上的外力系——力系及其基本特征量

作用在质点系上的动量系——动量系及其基本特征量结论与讨论质点系动力学中的两个矢量系之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之二：质点系动量定理与相对质心(平移系)动量矩定理之三：刚体平面运动微分方程结论与讨论外力系与动量系之间的关系质点系动量定理质点系相对定点动量矩定理质点系相对定轴动量矩定理之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之二：质点系动量定理与相对质心(平移系)动量矩定理质点系动量定理质点系相对质心(平移系)动量矩定理——描述质点系质心的运动——描述质点系相对质心的运动定轴转动的特殊情形之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理之三：刚体平面运动微分方程——动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。描述刚体质心的运动－描述刚体相对质心(平移系)的转动静力学静力学是动力学的特殊情形应用动量矩定理时一般情形下，应该以定点、定轴或质心(平移系)为矩心，或取矩轴；对于加速度指向质心的速度瞬心，对质心(平移系)动量矩定理与对定点的动量矩定理形式相同。动量矩定理主要应用于分析具有转动系统的动力学问题。对于定轴问题，系统各部分对定轴的角速度必须是同一惯性参考系中的角速度，也就是绝对角速度。计算动量矩以及外力矩时，都要采用相同的正负号规则——右手定则。？谁最先到达顶点与动量矩定理有关的若干实际问题问题？

直升飞机如果没有尾翼将发生什么现