协方差相关系数定义

协方差相关系数定义第1页，共24页，2023年，2月20日，星期五研究生概率论与数理统计课通过抽样调查或试验得到样本根据样本的观测值对总体作定性分析对总体的数字特征进行估计与假设检验，用数字、图表、方程式作定量分析撰写研究论文讲述：统计分析常用方法的原理及新方法为了解总体（指它的某一项指标）第2页，共24页，2023年，2月20日，星期五研究生概率论与数理统计课

用到微积分与线性代数知识（不必系统复习）学习要求：理解概念，熟悉原理，掌握方法，上机计算，解释结果

系统听课，仔细解答习题，上机看结果研究生处规定：凡选课者，必须参加考试第3页，共24页，2023年，2月20日，星期五第一章概率论专题§1.1二维随机变量的协方差及相关系数

1.

协方差的定义及其性质

2.

相关系数的定义及其性质

3.协方差矩阵的定义及其性质

4.相关系数矩阵的定义及其性质已学习过一维随机变量的数字特征：数学期望及方差二维随机变量的协方差及相关系数是二维随机变量的数字特征第4页，共24页，2023年，2月20日，星期五可由二维随机变量的分布确定二维随机变量的协方差及相关系数可用来说明两个随机变量的线性相关关系若（X,Y）为离散型随机变量且分布律为第5页，共24页，2023年，2月20日，星期五若（X,Y）为连续型随机变量且分布密度为，第6页，共24页，2023年，2月20日，星期五定义为

X与Y的（线性）相关系数。计算时用到数学期望与方差的性质。第7页，共24页，2023年，2月20日，星期五数学期望的性质：1）;2）;推论：

;推论：

;3）第8页，共24页，2023年，2月20日，星期五方差的性质：1）;2）推论：

;第9页，共24页，2023年，2月20日，星期五证明：第10页，共24页，2023年，2月20日，星期五1.

协方差的定义及其性质第11页，共24页，2023年，2月20日，星期五①;

②;

③第12页，共24页，2023年，2月20日，星期五2.

相关系数的定义及其性质当X与Y不相互独立，也就是X与Y之间有某一种相互的关系时，这一种关系很可能就是线性关系或者与线性关系近似。因此有必要研究以X的线性函数a+bX近似地表达Y时，Y与a+bX的均方误差

第13页，共24页，2023年，2月20日，星期五第14页，共24页，2023年，2月20日，星期五配方，合并同类项，提公因式后第15页，共24页，2023年，2月20日，星期五第16页，共24页，2023年，2月20日，星期五比较Y对于X的线性回归方程的均方误差与X对于Y的线性回归方程的均方误差

两者都与成正比。因此定义为

X与Y的（线性）相关系数。第17页，共24页，2023年，2月20日，星期五因为Y对于X的回归系数X对于Y的回归系数b与d的符号均由决定，故当第18页，共24页，2023年，2月20日，星期五又因为较大时，较小，称X与Y的线性关系紧密;有时候，又记作。因为较小时，较大，称X与Y的线性关系松懈;第19页，共24页，2023年，2月20日，星期五①;

②;

③第20页，共24页，2023年，2月20日，星期五3.协方差矩阵的定义及其性质第21页，共24页，2023年，2月20日，星期五①;

②;③第22页，共24页，2023年，2月20日，星期五4.相关系数矩阵的定义及其性质第23页，共24页，