向量在平面几何中的应用

PAGEPAGE1向量在平面几何中的应用摘要：向量在中学教学和研究中占有比较重要的地位，如何用向量的知识去解决平面几何问题是比较重要的。关键词：向量；平面几何；方法向量作为中学数学的必修内容，在知识体系中占的比例也较大，在中学平面几何中有着广泛的应用。向量的加法运算与全等、平行，数量的向量积与相似，距离、夹角之间有密切的联系。因此，利用向量可以解决中学平面几何中的相关问题。证明线段平行问题证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件：a//ba=λb()。例1．如图（1），若是平行四边形，，与、与分别相交于和。求证：。 分析：要证明，只要证明（）即可。证明：∵∴△∽△NMEFCBANMEFCBAD则∴图（1）∴图（1）同理，由于得于是=-==令，则（）∴二、证明垂直问题证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥ba∙b=0(或)。如证明两直线或线段垂直，四边形是矩形、正方形等。例2．如图（2）所示，为△的外心，为三角形内一点，满足。求证：⊥。EOBAC分析：要证⊥，即证·，选取，将，表示出即可。EOBAC证明：∵=（）-=图（2）图（2）∴=∵O为外心，∴即，⊥。三、求夹角问题求夹角问题，往往利用向量的夹角公式：或结合三角函数的知识。如利用面积公式求三角形的面积，可用夹角公式求的值。YBDACX例3．如图（3）所示，在△中，已知，，边上的中线。求的值。YBDACX解：以点B为坐标原点，为X轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限。由===则图（3）图（3）设，则，由条件得，从而有（舍去）故，于是有∴=四、求线段的长度求线段的长度或相等，可以利用向量的模。例4．如图（4），平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。分析：本题是求线段长度的问题，可以转化为向量的模来解决。解：设，则有，ABCABCD==图（4）=图（4）∴，即有又∵===6∴∴即AC=例5．如图（5），平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AE与BD交于点F。求证。FEDBAC证明：设FEDBAC∵图（5）∴图（5）有故得又∵与不共线∴｛｛∴∴例6．如图(6)，在△中，，，与交于点，且，，用，表示。解：∵，∴，因为，，三点共线，M AAAAPM AAAAP AAAAN AAAAA AAAAC AAAABB AAAA于是=图（6）=图（6）同理可设故∴即∴｛∴例题5和6的解题方法的综合性较强，运用了待定系数法和向量的知识：一是两向量共线的充要条件是。二是平面向量的基本定理，如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使。特别地，若，则。通过以上六个例子可以看到向量在中学的平面几何中有着广泛的应用。用向量的方法解决平面几何问题可以分为三步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。通过向量运算、研究几何元素之间的关系。把运算结果“翻译”成几何关系。向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性。因而向量方法是几何研究的一个有力工具。而“三步曲”给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想。在解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键。参考文献：姜